CHAPITRE I

Dérivation des fonctions explicites d'une variable.

g 1. Dérivées et différentielles.

55. De la dérivée. — Soit y = f[x) une fonction simple et continue (le X dans un intervalle {a, b) vXx un point de cet intervalle ; donnons à j^ un accroissement positif ou négatif A iç^^^i/i, l'accroissement A // de la fonction sera f{x + h) — f{x) et le rapport de ces accroissements

Si ce rapport tend vers une limite déterminée lorsque h tend vers zéro d'une manière quelconque, cette limite s'appelle la dérivée de IXx) au point x.

Si f{x) admet une dérivée pour tous les points de l'intervalle {a, />), l'ensemble de ces valeurs constitue une nouvelle fonction que l'on représente par f'[x) (Lagrange) ou par Df{x) (Cauchy).

66. Théorème. — Toule fonction qui a une dérivée pour une valeur donnée de x est continue en ce point.

En effet, l'égalité

donne

lim \f{x h /') — f{x)\ -- lim h f{x) = 0.

57. Cas particuliers. — 1. Si f\x) se réduit à une constante, sa dérivée sera nulle.

On a, en effet, dans ce cas,

,. f{x -\~ h) — f{x) ,. 0 ,, lim — — ' — i — ^^'-^ -- lim y- = 0.

II. Si f{x) = x, sa dérivée est énale ii ï unité. On a, en effet,

lim

lini-r - 1.

58. Signification g-éométrique de la dérivée. — C'est le problème des tangentes aux courbes planes (pii a conduit à la considération des rapports d'infiniment petits et à la définition de la dérivée. Nous allons montrer ,en etïét, que la détermination d'une tangente à une courbe plane revient à celle de la dérivée d'une fonction.

Considérons une courbe rapportée à des axes rectangulaires et soient x q,\, y les coordonnées d'un point M de la courbe (fig. 1^. Nous supposerons que celle-ci ait pour équation

Pour définir la tangente à la courbe an point M, considérons une sécante MM' menée par ce point ; si, lorsque le point M' se rapproche

indéfiniment du point M, la sécante MM' tend vers une j)Osition limite MT, cette limite se nomme la tangente à la courbe au point M.

Le point M étant donné, la détermination de la tangente revient à celle de son coelticient angulaire t, c'est-à-dire à celle de la tangente trigonométrique de l'angle que fait MT avec OX. Appelons <j le coefficient angulaire de la sécante M M' et désignons par j- + Aj- et y \- ly \es coordonnées du i)oint M'. Menons MI' parallèle à 0\ ; on aura, dans le triangle rectangle MPM',

M'PA.v "'^ MP~Ax"

Quand M' se rapproche indéfiniment du point .M, - a pour limite -. Il vient donc

Fig. 1.

uni

^.^j{x-^\j-)-lix) ^^,

La dérivée de la fonction ((x)est donc égale au nn'Hicienl angulaire de la lungcntc à la courbe qui a pour étfuation ii f{Xj, cette tanaente étant menée an point de roiinlnnnécs .i. ii.

59. Des différentielles. — La dilférentielle d'une fonction f{x) est,

par définition, le produit de la dérivée / ' (x) par l'accroissement \x de la variable indépendante. Cette différentielle se représente par d/"(a;). On a donc, par définition,

(1) df{x)==f'{x)^x

Dans le cas particulier où f(x) se réduit à x, on a vu que /' [x] =i, de sorte que l'équation précédente se réduit à

(2) (Ix - Ix.

La differenlielle de la variable indépendante se confond donc avec r accroissement généralement arbitraire de cette variable. La formule (1) peut ainsi être remplacée dans le cas général par

(3) dfix) =f'{x)dx.

Donc la différentielle d'une fonction est le produit de sa dérivée par la différentielle de la variable indépendante. Si l'on divise cette formule par dx, on trouve

Doncja dérivée d'une fonction est égale au rapport de la différentielle de lafariahle à la différentielle de la fonction, ce qui fournit une nouvelle expression de la dérivée (Leibnitz) et celle qui est la plus employée.

Remarque. — La substitution de dx à A^' dans l'équation (1) n'a rien de nécessaire, Jmais elle est consacrée par l'usage et cet usage est justifié. Nous verrons en effet (n° 61, V) que l'équation (3) est plus générale que l'équation (1) : celle-ci suppose que x soit la variable indépendante tandis que l'équation (3) n'est pas soumise à cette restriction.,

60. Signification géométrique des différentielles. — La différentielle est aussi susceptible d'une interprétation géométrique qui se rattache à celle de la dérivée. Considérons encore la courbe, rapportée à des axes rectangulaires, qui a pour équation

Menons la tangente au point M qui a pour coordonnées x et y. Donnons ensuite à x un accroissement arbitraire Ai- et soit M" le point de la tangente qui a pour abscisse x-\' ^.x. On aura Aj; = MP (fig. i) et l'aecroissement correspondant de l'ordonnée de la tangente sera PM". Or on a

M"P = iMP tg (PMM") - \xf' [x] = df{x).

La différentielle de f[x) est donc égale à l'accroissement de l'ordonnée

de la tangente à la courbe y == f{x), lorsqu'on ixissc de rabsrisse x du point de contact à une autre abscisse x |- S.x.

61. Règles de dérivation. — L'opération par laquelle on déleriiiine la dérivée d'une ronelion s'appelle dérivation ; celle par laquelle on détermine la différentielle, difj'érentiation. Le premier objet du calcul différentiel est d'établir les règles de ces opérations.

Nous examinerons d'abord le cas où la fonction proposée est composée au moyen d'un certain nombre de fonctions plus simples, dont la dérivée est supposée connue

\. Dérivée d'une somme. — Soit j/ -= m + i» — w -\-... une somme algébrique de fonctions ayant des dérivées connues u\ /•', w\... Donnons à x un accroissement Ix et désignons par lij, A//, Ar, A»-,... les accroissements correspondants des fonctions ; on aura :

Ai/ Alt Av A»'

\x ~~ Aa; Ax '\x

d'où, en faisant tendre Aa; vers zéro et en passant à la limite. y'. = w' -h v' — w' +...

En multipliant les deux membres par dx, il vient

dy == du -\- dv — dw |- . . .

Donc la dérivée (ou la différentielle) d'une somme algébrique de fonctions est la somme des dérivées (des différentielles^ de chacune de ces fonctions.

IL Dérivée d'un produit. — Soit </ - uv un produit l\o doux fnnrtion.^^ ayant des dérivées connues ».' et v'. On aura :

Ai'

(m I-A») [v 1 Ar

Ai'

et,

faisant tendre \x vers zéro,

,. A» ,. , hm , lim [V !

Ai- ^