VA

il viendra donc, à la limite,

Donc la dérivée de y considérée comme fonction de x est l'inverse de la dérivée de x considérée comme fonction de y.

Si l'on convient de représenter par un indice la variable considérée comme indépendante dans la dérivation, ou en d'autres termes, la variable par rapport à laquelle on dérive, la règle précédente pourra s'écrire

V. Dérivée d'une fonction de fonction. — Soient y = F (u) et u ^ f{x),

de sorte que y s'exprime en fonction de m, u étant lui-même fonction

de X. Supposons que F (w) et fix) aient des dérivées déterminées F' (m)

eif'ix). On a

A /y \y Au

^xlu A.r

et à la limite. A» tendant vers zéro avec Aa-,

Donc la dérivée de y par rapport à x est le produit des dérivées su])posées existantes de y par rapport à n et de u par rapport à x. Si ces dernières dérivées n'existaient pas, la règle ne serait plus applicable, mais il n'en résulterait pas nécessairement que // n'admit pas de dérivée par rapport à .r.

Si l'on mullij)lie l'équation j)récédente par dx, on obtient dy -- F' {u)du.

Donc, .si y -- F (m), dy s'exprime au moyi'ii de du comme si u était la variable indépendante. Toutefois celte règle est soumise à cette restriction que du et F' (m) sont supposés délermiii'js.

Cette règle est fondamentale, car elle montre que la ditférentielle d'une fonction de x se calcule toujours par les mêmes règles, qu'elle soit expiiinée direclemenl en foncliun de x uu au moyen de variables auxiliaires.

62. Dérivées des fonctions élémentaires. — I. Fonction exponentielle. On a, par définition de la dérivée,

px + h f>:r ph -1

D e^ = lim - — ^--^ = e^lim , •

7? = 0 fl h=o II

Posons e^' — 1 = a, d'où // = Log (1 + a) ; a aura pour limite 0 avec h. Donc

lim f = lim = rj—, — ; = = -f = 1 .

h Log (1 + a) 1 Log e

lim Log (1 + y.f Il vient ainsi

Donc la fonction e^ se reproduit par dérivation. La dérivée d'une autre exponentielle quelconque s'obtient par la règle des fonctions de fonctions. On a

D A^- = D e-^- Log A g.rLog A Q (^j. Log ^) A^ Log A.

IL Fonction logarithmique. Considérons d'abord les logarithmes pris dans la base A et soit

i/ = Log..j;.

Cette fonction est l'inverse de l'exponentielle x =- A^ et sa dérivée se calcule par la règle des fonctions inverses. On a

''^ \}yX A ^ Log A arLogA' Eu particulier, si les logarithmes sont naturels, on a

D Log X = -'

III. Puissance quelconque. Soit a un nombre donné etx une variable ])0sitive. On a, par les propriétés des logarithmes,

^a __ pa Log :>■

On en lire, par la règle des fonctions de fonctions,

D X" ^- e" Log ■■^ [) {a Log x) ^ x" ^ = a^"-'.

Donc, la règle établie précédemment (n" 61) pour a entier, est générale.

En particulier pour u = ^, on a

IV. Fonctions tr'ujonométrïqiu's. 1" Soit d'abord// = sina;. On a, par

définition,

h f , li\

■ 1 , i\ ■ ^1" ^ CCS .1' -h s^

D y = lim ^^ — -~ = i2 lim j -•

/( = 0 " h = o II'

Or cos \ X -\- ^ ] ù pour limite cos x, il vient donc en remplaçant

h : 2 par y.

^ lim sin a D w = cos a- •

On sait, par les éléments de trigonométrie, qu'un arc moindre qu'un quadrant est compris entre son sinus et sa tangente ; donc, si a est

positif, on a

sin a < a < tg a, d'oÙ 1 < -. — <

sm a cos a

Ainsi, si a tend vers zéro en restant positif, -r^- reste compris entre deux quantités (pii ont pour limite l'unité et l'on a aussi (n» 18)

lim^ — -- 1.

sma

D'ailleurs, comme a : sin a ne change pas de signe avec a, celte

limite subsiste pour a négatif et on peut la substituer dans la valeur de

D !i, ce qui donne

D i/ --= D sin .1- =^ cos x.

2" On a ensuite par la règle des fonctions de fonctions,

D cos X -- 1) sin '' — x cos ' — x , [) ^ [a — x ,

On conclut de là

1) cosi' = — sin X.

8*> La règle pour dériver un quotient donne

,, sin a; cos a:!) sin a- — sin.rDcosx ° cos .r cos-' .r

d'où

" cos" .r

4'' On trouve de même