rw / 1 1 sin u
1) sec X = D =- — , - Ig .1- sec x.
W Eulin, en changeant .r en % — '^ «^l^'is les deux dernières fonctions, on obtient par la règle des (onctions de fonctions
D eut X . - , l) cusec x — cot x cosec x.
sur û^
V. Fonctions trigonométriques mverses. — 1" Soit // = arc sin x ; la branche principale de la fonction est définie par les conditions
Pour en trouver la dérivée, appliquons la règle des fonctions inverses. On a x = sin y ; donc
BijX = cosy = V 1 — sin* y = \/i — x^. Ce radical doit être pris avec le signe -|-, car cos // est positif quand // varie de — ^ à + ^- On a donc
D,,x = + \/l —X', d'où
D,r y = D arc sin x -= r- /
+ Vl — x-^ -^
Les autres branches de la fonction arc sin x se partagent en deux classes liées à la principale par les deux systèmes de formules (n° 41) : y ^ arc sin x + 2A:-, y = {- — arc sin x] + ^kTz.
Les premières auront donc même dérivée que la branche principale et les secondes une dérivée de signe contraire.
2° La dérivée de y = arc tg x s'obtient aussi par la règle des fonctions inverses. On a a; = tg ?/ ; donc
cos'^ y ' s j
On en conclut
D:,y^ Darctgx = ^-^—
et le résultat est le même pour toutes les branches de la fonction. 3" Les dérivées des autres fonctions circulaires inverses se calculent au moyen des précédentes par les formules
I) arc cos x -- h (- — arc sin x\ ^ — D arc sin x b arc col X =- D ([^ — arc tg A — \) arc tg x
1) arc sec x ---D arc cos - -^ —
D arc cosec a; -= D arc sin — ,
, — oO —
63. Différentielles des fonctions élémentaires. — Ces dilTérentielles s'obtiennent en niiillipliant les dérivées par djc. On obtient ainsi le tableau suivant, qu'il est indispensable de connaître jiar cœur :
d x^' ^ ax" - * dx d\x-= —r-^-
d A-'- ^ Â'-- I.og A dx d LogA X ^ V'- ,-
^ X Log A
d ef ---- c-'' dx d Log x =- —
d sin X ^ ces xdx d arc sin x
d\%x ^ — ^ r/ arc tg x ^-- j-, — ^
d sec 5; -= tg a: sec a-rfi; rf arc sec x -=
d cos X =-- — sin xdx (/arccosa- — (/arcsin j:
d cot X -^ i~i— d a'c col X — rfarc tga:
sin'^ X °
rfcoseca; = — cota; cosecaï/a: d arc cosec x -^ — rfarcseca.-
Il est essentiel de remarquer que les formules de ce tableau
subsistent encore quand on y remplace la variable x par une fonction
quelconque u de x. Ainsi
dk" = A"LogArf», etc.
64. Différentiation des fonctions composées. — Les règles générales du n° (')[ et les formules du tableau précédent sulVisent pour déterminer la dillérentielle d'une fonction explicite quelconque y, pourvu qu'elle soit exclusivement composée par addition, soustraction, multiplication, division ou superposition du signe fonctionnel au moyen des fonctions élémentaires. En elïét, par l'introduction de variables auxiliaires on ramènera la fonction y à des sommes, produits,... de simples lettres ou à des fonctions élémentaires d'une seule lettre. La dilïérenlielle s'exprimera par les règles des n"' Gl cl 63 au moyen des dillérentielles des variables auxiliaires. On recommencera la même opération pour calculer les différentielles des variables auxiliaires et l'on continuera ainsi de suite jusqu'à ce que les différentielles puissent s'exprimer en fonction de .r et de dx seulement. En éliminant alors les variables auxiliaires et leurs différenlielles, on obtiendra dy en fonction de x et de dx. Pour trouver la dérivée by il sulîira de diviser par dx.
— ol —
Avec un peu d'exercice, ces calculs se font très rapidement. On peut même se dispenser d'introduire de nouvelles lettres et la série des substitutions se fait mentalement. Soit, par exemple, à trouver la différentielle de esin-rcosx- ; on a successivement cl.e *"i '-' cos X = CCS X d.e^i"'' + gsïn .r dxos x
= cos X e^'" ^ il. sin x — e^"^ -'^ sin x dx
= g sin a? (^COS^ X — Sin x) dx.
Remarque. — Certaines fonctions de fonctions revêtent parfois une forme sous laquelle le mode de composition n'est pas immédiatement apparent, et il faut alors les transformer avant de les différentier.
C'est le cas pour les fonctions u^ et Log^v, dans lesquelles u et v désignent des fonctions de x. On commencera par les exprimer au moyen d'une base constante, par exemple e ; on aura ainsi
Log V
uv = e "-- Log V Log„ V = j-^'
' ^ Logw
et les différentielles s'obtiennent alors par les règles précédentes.
65. Extension des définitions au cas d'une variable complexe. — Soit
z = X -{- yi une variable complexe, la dérivée d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle fiz) se définit comme dans le cas oti la variable est réelle. C'est la limite, /' [z), vers laquelle tend le rapport
des accroissements correspondants de la fonction et de la variable quand on donne à celle-ci un accroissement h, réel ou complexe, qui tend vers zéro d'une manière quelconque. Lorsque cette limite n'existe pas, on dit que la fonction n'a pas de dérivée pour la valeur correspondante de z.
Les différentielles se définissent aussi, comme dans le cas des variables réelles, en multipliant les dérivées par la différentielle dz de la variable indépendante. Cette dernière différentielle n'est autre chose que l'accroissement arbitraire h - \x -^- i A<y que l'on attribue à cette variable.
Les règles qui ont été établies (n° 61; pour lormer la dérivée d'une somme, celle d'un produit, celle d'un quotient de deux fonctions, celle d'une puissance entière de la variable indépendante, règles qui résultent immédiatement do la définition de la dérivée comme limite
d'un quotient, subsistent intégralement dans le cas où la variable est complexe. Ces règles suflisent pour former la dérivée d'un polynôme et d'une fraction rationnelle.
