A BA'-AB

Donc une fraction rationnelle a une dérivée déterminée par toutes les valeurs de z sauf les racines du dénominateur B.

m. Lorsque /(:;) est un polynôme décomposé en facteurs linéaires, sa dérivée s'obtient aussi par la règle de dérivation d'un produit. Soit

fi^z) = {z-a.)"'{z-by'--.; on aura

r w = (. - «)'»(^ - 0» - [jêï + ï^ + -j

Remarque. — Comme nous le verrons, on se sert souvent de la considération des variables complexes pour obtenir plus facilement des résultats relatifs aux variables réelles. Ceux-ci, en ellel, se déduisent comme cas particuliers des premiers en supposant que la variable devienne réelle.

Exercices.

Démontrer les formules suivantes :

. hx abdx ,1 . , - o- -I- ^^ 2abd^

d. arc tg ^ .^rrpp^ • ^^ a—bx~a^ — ô^ar^

(Le , . X dx

d. Logsin x = cot.T dx d. Log cosx — igx d.v

d. Log tg ^ = -. — '/. Log tg -- — -

° ° 2 sina; ° ° ,2 1 cos.r

, fb, \ abdx ,. a{^bigx 2ab dx

d. arc tg - tgx -—„ — :; — —i^r^-T- d. Log r-^- =^ — — ^ ,, . .,

°Vfl y n-co&-x -\ rrsnvx ° a — btgx n-coS'X — o^sm-r

d tga; + ôtg^a; = j-

-^ + ( 9 <^os X + cos^a; j sin <» = 4 cos^^ dx,

% 2. Propriétés de la dérivée.

66. Théorème. — Si l'on suppose \x infiniment petit et que f{x) ne soit pas nulle au point donné x, ^f{x) qui est égal à f{x + \x) — f{x) et df[x) qui est égal à f'{x)\x sont deux infiniment petits dont le rapport a pour limite l'unité.

En etfet, on a, par définition de la dérivée, \f{x)

£ ayant pour limite 0 avec A.r. D'où en divisant par f'{x], qui n'est pas nulle par hypothèse,

r{x).\x ' fix)

Le théorème résulte de cette égalité, dans laquelle s : f'{x) a pour limite 0 avec àx.

Donc, quand \x est infiniment petit, ly et dy sont deux infiniment petits, susceptibles d'être substitués l'un à l'autre sous les conditions exposées plus haut (n° 18). On doit se garder toutefois de les confondre entre eux (^).

Corollaire. — Si en un point donné x, f\x) n'est pas nulle, on peut assigner un nombre o tel que lf(x] et df[x) = f'{x]ùix aient le même signe sous la condition \ ^x \ < 8.

En effet, ^f{x) -. df[x], ayant pour limite l'unité quand A.r tend vers zéro, doit nécessairement devenir et rester positif à partir d'une valeur suflisamment petite de ^x, par exemple à partir de | Ai- | < 5. Cette condition réalisée, ^f[x) et di{x) auront le même signe pour toutes ces valeurs de Aa;.

67. Fonction croissante, décroissante en un point. — Si l'\x) est positif au point x, il résulte du corollaire précédent que, pourvu que Aa; soit suffisamment petit, A/'(a;) sera de même signe que ^x. On dit dans ce cas que la fonction est croissante au point x.

(1) Dans les ouvrages d'application, on a souvent le tort de les confondre, au moins dans le langage.

Si, au contraire, l''(x) est négatif, \f{x) et \x seront de signes contraires pour les valeurs sufîisaniment petites de \x. On dit, dans ce cas, que la fonction est décroissante au point x.

Il résulte de là que, si f'{x) n'est pas nulle, la fonction peut toujours acquérir, dans le voisinage immédiat du point x, des valeurs supérieures et inférieures à celles qu'elle acquiert au point x. Les valeurs supérieures, par exemple, s'obtiendront à droite du point x si la fonction est croissante et à gauche si elle est décroissante. Celte simple remarque sert de base au théorème de Rolle :

68. Théorème de Rolle. — Si la fonction continue f{x) admet une dérivée dans l'intervalle {a, b) et s'annule pour x — a et pour x =^ b, sa dérivée s'annulera en un point intermédiaire.

En effet, f{xj a une plus grande valeur M et une plus petite valeur m dans l'intervalle (a, b) {n° 22). Si ce maximum et ce minimum sont nuls tous deux, {\x), étant égale à zéro dans tout l'intervalle, est une constante et sa dérivée sera nulle dans tout l'intervalle. Dans ce cas, le théorème est démontré. Si, au contraire, le maximum est plus grand que zéro, la fonction f{x) atteindra ce maximum (n°27), pour une valeur que x comprise entre a et b. On aura f'(q) = 0 ; car, s'il en était autrement, la fonction fix) serait croissante ou décroissante au point ; et acquerrait dans le voisinage immédiat de ce point des valeurs supérieures à f(c.), comme on l'a montré au n° précédent. Donc fil) ne serait pas le maximum que nous avons supposé.

Hemarques. — On observera : I") que cette démonstration ne suppose pas la continuité de la fonction dérivée ; 2'' qu'elle subsiste intégralement même si la dérivée cesse d'exister pour les valeurs extrêmes a et b, pourvu que f{x) reste continue.

Corollaire. — Si f{x) reprend la même valeur pour x - a et pour X --= b, sa dérivée s'annulera en un point intermédiaire, car la fonction f(x) — f{a), qui a la même dérivée, s'annulera pour .r a et pour X ^ b.

69. Formule des accroissements finis. — Soit/ ^j') une fonction continue ayant une dérivée dans l'intervalle {a, b]; il en sera de même pour la fonction -^ (.r), définie par l'équation

Mais cette fonction s'annule pour x = a et pour d ^ h, donc, en vertu du théorème de Rolle, sa dérivée, qui a pour expression

'^' ix) = {b-a)r [x] -[f{b) -fia)], s'annulera pour une valeur ; de x comprise entre a et b. La substitution de cette valeur donne donc

f{b)-na)^{b-a)rrz).

Telle est la formule des accroissements finis. On la met le plus souvent sous une autre forme. Remplaçons-y a par xetb par (x + //), alors l (qui est compris entre x et x -f- h) peut être remplacé par x + hJi, h désignant un nombre généralement inconnu > 0 et < 1. On trouve ainsi

L'¥ -\-hl—f{x) =3J [x + Q h) (0 < 6 < 4).

Cette formule suppose simplement que la dérivée soit déterminée dans l'intervalle de x 2^ x + h, ces valeurs extrêmes pouvant faire exception. Le nombre 6 reste inconnu, il dépend de x et de h, mais on sait qu'il est toujours compris entre 0 et 1.

La formule des accroissements finis est une des formules fondamentales du calcul différentiel. Elle est d'un usage continuel. On en déduit les théorèmes suivants :

70. Théorème. — Toute fonction continue f(x), dont la dérivée est constamment nulle dans un intervalle [a, b), se réduit à une constante dans cet intervalle.

Soient, en effet, x et x -\- h deux valeurs de x appartenant à l'intervalle'(a, b), on aura, par la formule précédente,

fix L h) — f [x) - 0, d'où f{x^h) =--f [x) , c'est-à-dire que la fonction est une constante.

71. Théorème. — Deux fonctions f'{x) et -^ (x) dont les dérivées sont constamment égales dans un intervalle («, b) ne peuvent différer que par une constante dans cet intei^valle.

En effet, la fonction f(x) — -j [x), ayant une dérivée constamment nulle se réduit à une constante C dans cet intervalle et l'on a

Ce théorème est le tliéorème fondamental du calcul intégral. Dans celui-ci on se propose de trouver toutes les fonctions ayant une dérivée connue. On voit que le problème sera résolu si l'on peut en

— retrouver une seule, car toutes les autres pourront se déduire de cellelà par Taddition d'une constante.

72. Théorème. — Si f(.r) a une dérivée f {x) et tend vers rin(ini quand x tend vers une valeur finie a, il est impossible que f [x) conserve une valeur finie quand x tend vers a.

En effet, si | f {x) \ avait pour limite supérieure M, la formule des accroissements finis donnerait

\f{x\-h,-f{x) \ <\mh\

et comme on peut faire tendre x vers a dans cette formule et choisir h de manière que f{x + h) reste fini, on voit que l'{x) ne croîtrait pas indéfiniment quand x tend vers a.

73. Formule de Cauchy. — Soient f[x) et F {x) deux fonctions continues et admettant des dérivées dans Vintervalle de aàa + h ; supposons, en outre que F' {x) ne s annule pas dans cet intervalle. Si l'on désigne par 0 une quantité ijénéralement inconnue mais comprise entre 0 et 1, on aura la relation

f{a^h)-f{a) f'ia-{-^h) F(a + /0 — F(rt)~ F'(a + 0/O"

Cette (ormule est due à Cauchy ; pour la démontrer, considérons la fonction -s {x}, définie par la formule

. (X) ^-^ ir W - /■(»)! - [F (X) - F (»)1 ^f'^^-Ç^f

elle s'annule pour x - a et pour x - a \ h; donc, en vertu du théorème de Kolle, sa dérivée -f ' (x) s'annule en un point intermédiaire (a + 6 ^). On obtient ainsi

On peut diviser les deux membres par F' {a ( h h) qui n'est pas nulle par hypothèse et l'on trouve la formule de Cauchy.

liemarque. — La formule des accroissements finis n'est qu'un cas j)articulier de celle-ci : elle s'en déduit en posant F [x) -^ x, ce qui est permis puisque F' [x) ~^ 1 et ne peut s'amuder.

EXF.RCICKS.

1. Si f (./•) est déterminée et si .c' et x" t,^,,ihuit rprs: •■ r» xn/iM faisant aïuv conditions x' < x < x", on aura

— st —

On remarque que le premier membre a une valeur intermédiaire entre les quantités

f,cc")-f{œ) f[x)-f[x')

qui tendent toutes les deux vers f"[x).

2. Si ce' et x" sont tous deux > x ou tous deux < x, la formule précédente subsistera, pourvu que f'[x) soit continue au point x.

On considère la relation

3. Si la dérivée f [x^ est conti)iue dans l'intervalle (a, b), à tout nombre positif t, si petit qiCil soit, correspond un nombre o tel qu'on ait

j^'" + ^-^'-'-'-rw;<^ s. iH--;.

poui^u que x et x -\- h apxjortiennent à Viyitervalle {a, b).

Par la formule des accroissements finis, le premier membre devient

La dérivée étant continue, on peut supposer son oscillation < z dans tout intervalle < r. (n° 27, IV), alors cette différence sera a fortiori < s.

On exprime ce théorème en disant que ^f{x : A^^ converge uniformément vers sa limite d f\x) : d.r dans l'intervalle {a, b).

4. Réciproquement, si ^f{x) : \x converge unifoj^mément vers su limite f (x), celle-ci sera continue dans l'intervalle [a, b).

5. Si f{x] a une dérivée déterminée dans V intervalle [a, b), f'{x) est une fonction qui rœ peut passer d'une valeur d une autre dayis cet intervalle sans jjasser aussi par toutes les valeurs intermédiaires.

On montre d'abord que si f (a et f'[b) sont de signes contraires f {x) peut prendi'e la valeur intermédiaire 0. A cet effet, on prouve que f{x) a un maximum ou un minimum qu'elle atteint pour une valeur ; de x comprise entre a et b et que l'on a Z'' (:) = 0. Les autres cas se ramènent au précédent.

6. Définitions. — Lorsque le rapport Ay : \x tend vers une limite déterminée quand Ix tend vers zéro par des valeurs positives, cette limite est la dérivée à droite de //. La dérivée d gauche se définit de même, ^x restant négatif.

Théorème I. — Si la fonction continue f [x] a une dérivée à droite

déterminée et positive en tout point de f intervalle {a,l'>,) le maximum de f[x) dans cet intervalle sera f{b).

Le maximum ne peut avoir lieu eu un point ? < è, c^v f{\ -\- h) — f{l) sera positif avec la dérivée prise à droite f (?) pour h. positif et suffisamment petit.

Théorème II. — Si, au lieu de cela, la dérivée d droite était négative, f[b] serait le minimum de f[x) dans l'intervalle {a, h).

Théorème III. — Si la fonction continue f{x) a une dérivée à droite constamment nulle dans VintervaUc [a, b), f{x) est constant.

Soit £ un nombre positif, les deux fonctions

ont respectivement des dérivées à droite {)0sitive, z, et négative, — z; elles ont donc respectivement pour maximum et pour minimum :

d'où l'on conclut, respectivement,

f{cc)<r{b)^z{b-x), fix) . /■{b)-z{b-x),

ce qui ne peut avoir lieu pour s infiniment petit que si /'(.r) - f{b).