Théorèmes analogues sifr la dérivée à gauche

S 3. Dérivées et diflérentielles successives.

74. Définitions. — Soit y = f{x) une fonction ayant une dérivée y' = ['(x). Si cette noiivelle fonction admet elle-même une dérivée, on la représentera par y", f"{x) ou D'^y,cl on l'appellera la dérivée seconde dey.

La dérivée de y" sera la dérivée (roisicmi' de y et se représentera par y'", {'"'(x) ou l)^y et ainsi de suite.

On appelle diUérenlielle seconde de y et l'on représente jiar d^y la différentielle de sa dilîérentielle dy.

Cette nouvelle dilîérentielle dépend de la relation que l'on veut établir entre la variable x et son accroissement dx ^ Ix. Si l'on convient que cet accroissement doit avoir une valeur constante, indépendante de X, on aura

d'y d.r[x)dx l"(x)dx'

De même d^y aura une diflérentielle qui sera h diUérenlielle Iroisii'me de y. On la représente par

d^y -/"'(x)rfx' ^y"'dx\ On continue ainsi de suite et l'on a, en général, d»y = f.» {x) dx" = y"'dx" .

On tire de là.

•' ~ dx ^ dx^ ^ dx>'

Donc la dérivée n'^"^^ d'une fonction est le quotient de la difjérentielle jiU'me (jf, ifi fonction par la puissance n^''''^'' de la dijjérentielle de la variable prise comme constante, ce qui fournit une nouvelle manière de représenler celte dérivée et celle qui est la plus généralement employée. m

75. Des différences finies. — Si l'on donne à x un accroissement Aa;, la fonction f{x) prendra un accroissement

que nous appellerons différence première de f{x).

La différence de la différence première sera la différence seconde, qui se représentera par ^^'{x), et ainsi de suite. On convient de considérer l'accroissement ^x comme indépendant dex,àe sorte que l'on a

l^f{x)=^f(x + 2Aa') - ^2f[x + Ax) 4- f{x) \^f{x) = f{x 4- 3Aa:) — 3f[x + 2 \x) + 3f{x + A.r) — f{x]

et auisi de suite.

Il existe une relation importante entre cis différences successives et les dérivées successives de f(x), supposées déterminées. Nous connaissons déjà, pour la premier ordre, la formule des accroissements finis :

( Ifix) ^ f[x H- \x) - f[x) -^ \x f ' {X + e A ^) ^' ( (0<:.e<lj

Afin d'obtenir une formule analogue pour le second ordre, remplaçons, dans cette formule, t{x) par f{x + \x) — f{x) ; il viendra l'f{x) = \x [f'{x -\-hx + \x) — /•' {X + 0 IX)]

Mais la quantité entre crochets s'obtient en remplaçant f{x) par f'ix + H^x) dans la formule (1). ce qui donne

f'(x A-h\x-h Aj:) — f (i' + OA.f) - \xf"{x -h H\x + h^\x). (0< 0, < 1)

et, en substituant cette valeur dans l'équation précédente, on trouve

(2) A- f(x) ^- Aa'- /■' \x V 0 Aj: 4- e, A.r) .

C'est la formule relative au second ordre.

Pour passer au troisième, remplaçons, dans la iormule (2), f{.v) par f{x + ^x) — f{x) ; on trouvera, de même,

(3) ^y^{x] - A.r3 /• ' "{X + 0 \x f 9, A a: + 0., Ao:),

oîi 8o est une troisième quantité comprise entre zéro et un.

On peut recommencer la même opération sur l'équation (3) et continuer ainsi de suite.

Supposons que les dérivées de f{x) soient des lonctions continues; divisons respectivement les équations (1), (2), (3) par Ix, \x-, \x^; il viendra, en faisant tendre \x vers zéro, ,. ù^fix) „,, , ,. AV'U") .,,1 \ r AY(a:) ,.,,,, ,

et, en général.

,. \''f{x) ..... . d»fix)

^X" 1^1 dx'

Donc la dérivée »'^""' d'une fonction est la limite du rapport de lu différence n^''"^^ de la fonction par la puissance n''-''"'' de la différence de la variable, quand cette différence, supposée indépendante de x, tend vers zéro.

IQ. Dérivées 7i*^"'^« des fonctions élémentaires. — La détermination de la dérivée d'un ordre quelconque pour une fonction élémentaire ou composée, ne peut présenter d'autre difticulté que la longueur des calculs, si l'ordre de la dérivée est donné numériquement. Mais, si l'on demande d'exprimer la dérivée ?j"'""^ en fonction de «, n restant arbitraire, le 'problème devient plusdillicile. Toutefois, pour quelques unes des fonctions élémentaires, la solution en est assez simj)le.

1. On a trouvé Y)x" =- ax"-^ ; on en tire successivement D^x" ^ a [a — \) X"--

])"x" - a {a — \)...[a — n |- 1) x'"" Si a est entier et > 0, cette dérivée se réduira à la constante a pour n = a, et sera nulle pour n > a. Donc la dérivée n"^"" d'nn polynôme de degré inférieur à n est identiquement nulle.

11. De l'équation DLogx = x-^ , on tire immédiatement, par la règle ci-dessus,

D" Log.r -: D"-» 2-' :- (— 1) (— 2) ... (— « -h 1) .r "

D" Log .r = (— 1)»-^ ^^^z^''