VI. On a trouvé

D arc Igx = ^— - — - ; donc D'* arc tg x ^ D'^-' . ^^-

On simplifie le calcul, en rendant la variable complexe. On peut alors faire la décomposition suivante :

i ~\- x^ 2i \x — i X -{- iy d'oLi l'on conclut

1+^2 ^iL L* '^-Ja; — i)" {x + iY\

On se débarrasse facilement des imaginaires. Posons X — i = p (cos cp — i sin 'f ), d'où (en observant que sin cp est > 0)

p = \/l + ^2, ? =- arc cot ^- (0 < cp < 7î),

il viendra, par la formule de Moivre,

1 coswcp + isinncp

1 cos n cp — i sin n cp

Par conséquent,

D"-i-r— — , = (— 4)«-* ^^^r— sin «cp,

. D" arc tg j: -= (— 1 )n-i^ Li sin (n arc cot ^),

(1 + x^)-^ (0 < arc cot a; < -û;).

77. Dérivée n'^""' d'un produit. Formule de Leibnitz. — Soit iiv le produit de deux fonctions de x ; on a trouvé

D. uv = vl)u I u Dv.

Dérivons ; il vient, par la règle précédente,

D^uv ^v D-M + 2 bu. Dv + u D^v.

Dans la dérivée première, la somme des indices de dérivation est égale à 1 dans chaque terme ; dans la dérivée seconde, elle est égale à 2 ; on voit de suite qu'elle sera égale à n dans la dérivée n'''"'^. Un peut donc poser la ibrmule

(1) Wîiv = A„M D'*r -f A, Du D'" v + A2 D^u D'^'-v +■••■

dans laquelle les lettres A désignent des constantes numériques qu'il s'agit seulement de déterminer. Faisons, i)Our cela,

a = e'-^-'' , V = e'' d'où uv == e(n-a:aon aura

D"uv = (1 + a)«e(*+a)^ D"u D>^-''v ^ 7.'<e^^. t'^ = a.'^e^i + :i)oc

Substituons ces valeiu\s dans l'équation (1) ; elle deviendra, après' suppression du facteur commun e^+'^^,

(1 + y-)" = Ao -h Aia -I- Aja2 -\

Donc les coefficients Ao, A,, A„,... ne sont autres que ceux du binôme. On peut ainsi donner à l'équation (li la forme symbolique suivante :

D" uv {Du -\- Dvj" .

Mais on convient d'observer les conditions suivantes dans le développement du second membre : \° on écrira Du et Dv dans tous les termes, même dans les termes extrêmes où l'un d'eux re^,oit l'exposant 0 ; 2" on remplacera ensuite 1)//'' par D''u, Dv par D''v et enlin, Ir» i)ar n et D^r pai- v.

78. Propriétés des dérivées d'une fonction rationnelle. — Soitiil : une variable com|)lexe et l'(z-) une fonction rnlionnelle de ^-

les iiolynomcs l' et O n'ayant pas de racines communes. Soit a une racine de degré m de V{z), nous disons aussi que c'est une racint' dr degré m de /'(:•). On a. dans ce cas,

et 'f (2) est une fonction rationnelle qui a une valeur tinie et ne s'annule plus pour z = a. Dérivons ; il vient

f'iz) =^ [z. - fl)-^ {mz{z, + {z - a) -f'iz)]

La quantité entre crochets est une fraction rationnelle qui ne s'annule plus pour z =^ a ; on a donc le théorème suivant :

I. Toute racine de degré m d'une fonction rationnelle f{z) est une racine de degré [m — i) de la dérivée ; en particulier, une racine simple de f{z) ne sera plus racine de la dérivée.

Si l'on applique ce théorème, de proche en proche, aux dérivées successives de f{z) on en déduit le suivant :

II. Toute racine de degré m de f(z) est commune à f{z) et à ses m — 4 premières dérivées. Réciproquement, toute racine commuiie à [{z) et à ses (m — 1) premières dérivées et qui n'annule pas la dérivée d'ordre m est une racine de degré m de f[z).

Ces théorèmes jouent un rôle important en algèbre, dans le cas particulier où f{z) se réduit à un polynôme.

Exercices.