D" f{a + bx) = 6» /■» {a -h bxj

10. Dérivée n^*""^ d'une fonction de fonction, — On prouve de proche en proche que, pour w = »(a:;), on a

en désignant par Pu un polynôme, indépendant de la forme de f homogène et de degré k par rapport aux dérivées Du, D^it,,.. (Pour la manière de former ce polynôme, voir n" 91^.

11. Soit u = Log X ; si la lettre D désigne des dérivées par rapport à u et si l'on convient d'eflectuer les multiplications algébriquement, on aura la formule symbolique

R. On a d'abord, par l'exercice précédent,

(1) DV(Log.f) = SPAp)(w).

Faisant, en particulier, f{ic) --^ e°", ce qui ne change pas Pa,

(2) D"e«i'fs^^ S P/ja^c^'".

Mais on a, d'autre part,

(3) We^'i-og-y = D»x^ ^ a{a — l)...(a — n\-l)x"-"

gau

-=rt (« — ri...(rt— «-I-1)— .

Le second membre de (1) se déduit de celui de (2i, en supprimant lo facteur c'"" et en remplaçant a''^ par \)'^ f[H). Si, au lien de faire ce changement dans (2), on le fait dans (.'Ji. on obtient lo formule à démontrer.