CHAPITRE II
Formule de Taylor. Applications diverses.
§ 1. Théorèmes préliminaires.
79. Théorème I. — Soient f{x) et F (.r) deu.v functions ayant des dérivées déterminées du premier ordre dans r intervalle de a à a -\- h ; si ces deux fonctions s'annulent pour a- =^ a et si F' (.r) ne s'annule pour aucune des valeurs de x interinédiaires entre a et a -\- li, on aura
En elTet, la formule de Cauchy (n° 73) se réduit à la précédente, quand on y fait
Il est important de remarquer que, dans la formule (1), /tpeut être aussi bien négatif que positif.
80. Théorème II. — Soient f{x) et F (.r) deux fonctions ayant des dérivées déterminées jusqu'à l'ordre n inclusivement dans l'intervalle de a à a -\- h ; si ces deux fonctions et toutes leurs dérivées jusqu'à l'ordre {n — 1) i^'<rnnulent pour x --- a, et si aucune des n premières dérivées de ¥ {x) ne s' annule pour une valeur de x intermédiaire entre a et a -\- h, on aura la relation
/(. + A) f^"Ku-\hh) (o^o^^)
^^> F(a-t-/ij"-F(»H« + 6^) ^ '■
Ce théorème résulte de l'application répétée ^\u théorème précédent. On a d'abord
f{u -I- /ij / yi -r Oi/Q . .
Mais on peut appliquer la même formule, en y remplaçant les fonctions par leurs dérivées et // jiar h^h, ce qui donne f'{a \%Ji) f"ia\ %h) ^
On continue ainsi de proche en proche jusqu'à ce qu'on obtienne
. f}^^^:^Ha±^n-ih) P^a + ^nh) .n <- fi <- 6 )
Donc, ce dernier quotient est aussi égal au premier, et en remplaçant 0,j par 9, ce qui est permis, on obtient la formule à démontrer.
81. Théorème III. — Soit f{x) une fonction ayant des dérivées déterminées jusqu'à l'ordre n inclusivement dans l'iiitervalle de a à a -{- h ; si cette fonction et ses (n — 1) premières dérivées s'annulent pour !■ = a, on aura
(3, /■ (rt. ^h]=^^ /■;'' ■ [a + hh) (0 < 9 <^ 4 ) .
Cette formule est un cas particulier de la précédente. Elle s'en
déduit quand on v fait
F {!') ^ [x-ay .
Cette fonction véritîe les conditions du théorème 11 ; on a F (a + A) - A» , Fi«^ {x) = n\ et si l'on substitue ces valeurs dans la formule (^), on obtient la formule (3).
^ 2. Formules de Taylor et de Maclaurin.
82. Objet de la formule de Taylor. — Cette formule a pour objet de développer /■ (a + /t) en une somme de termes ordonnés suivant les puissances de h et de la forme
f[a + h) = Âo + Al A -\r k^¥ ^ h A,,.i h''-' + M//",
les quantités Ao, Ai,... A,î.i étant des constantes par rapport à h, et M une fonction de h, mais qui doit conserver une valeur finie quand h tend vers zéro.
Ce développement est possible sous des conditions très générales que nous allons indiquer dans le théorème suivant et nous prouverons ensuite qu'il n'est possible que d'une seule manière.
83. Théorème I. Formule de Taylor. — Si f{x) est une fonction continue ayant des dérivées déterminées jusqu'à l'ordre n inclusivement dans l'intervalle {a, a ^ h), f[a -\- h) pourra se développer suivant les puissances de h par la formule suivante :
oii ') est une ([uantité ijénéralement inconnue, mais comprise entre 0 et 1.
Ce développement porte le nom de formule de Taijlur. Il véritle évidemment les condllions dont nous avons parlé dans le numéroprécédent, lorsque la dérivée n""''"' est, en outre, bornée dans l'intervalle (a, a 1 //). On aperçoit dans cette formule la loi de formation des coeHicients A et on y trouve, en même temps, une expression remarquable de la fonction M. Pour établir cette formule, on observe que la fonction f{x) et le polynôme de degré (n — 1) en .r
jouissent des propriétés suivantes : 1° Ils sont égaux pour .v ^ a ; 2° leurs dérivées du même ordre sont aussi égales deux à deux pour œ = a jusqu'à l'ordre {n — I) inclusivement ; donc ?>° leur différence f{.r) — P,,-i(j') s'annule pour .v = a ainsi que toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre [n — J). Par conséquent, on peut ajipliquer à cette différence le théorème III du paragraphe précédent ; mais, comme le polynôme P„.i a sa dérivée n'''"^^ identiquement nulle, la formule (3) de ce théorème se réduit à
fia + h) - P.., (a -I- h) ^^ ^ r (« + ^ifr.
11 reste à faire passer P„.i {a + //) au second membre et à remplacer ce polynôme par son développement ordonné suivant les puissances de //; on obtiendra la formule (1).
84. Théorème II. Unité du développement. — Soit /.; unr fonction ayant des dérivées déterminées jusqu'à l'ordre )i dans riulervalic de a à a ^ h ; si f{a-\-h) peut se développer sous la forme
f[a i h) - .\„ 1 .\,// ! - ; A„ ,//"-' : vit" , les coellicients A étant indépendatils de h et M restant fini quand h tend vers zéro, ce développement coïncide terme pour terme avec celui de Taijlor.
Su|)posons, en ellet, qu'il y ait deux développements dill'érents jouissant des propriétés indiquées, savoir
Aç 1 kji ! ••• + A „,/<"-' + I\l/j" -flotfl./*-! \-a,,-Ji" ' + ;»//"
Ou en tire .\„ </„ ])our // t>. Supprimant ces ternies égaux, on peut diviser par // et l'on trouve encore A, -= «i pour /i -- 0. On continue ainsi jusqu'à ce (pi'on trouve A» i - fl„ i et alors l'équation précédente se réduit à M m. !>onc les deux développements sont identiques terme pour terme.
85. Terme complémentaire. Série illimitée de Taylor. — Le dernier terme de la formule de Taylor qui a une forme différente des précédents et qui a pour expression
porte le nom de terme complémentaire ou de rente. Lorsque f{jc) a toutes ses dérivées déterminées, on peut se donner n à volonté et, par conséquent, reculer ce terme aussi loin qu'on veut. Lorsque ce terme peut être rendu sutlisamment petit à condition de prendre n assez grand, la formule de Taylor donne un procédé commode pour évaluer approximativement les (onctions. Nous allons en voir des exemples un peu plus loin comme applications de la formule de Maclaurin.
Lorsque le terme complémentaire tend vers zéro quand n tend vers l'infini, on peut prolonger la formule indéfiniment; le dernier terme disparaissant à la limite, on obtient alors l'expression de /(a + /i) en série convergente. La question du développement des fonctions en série illimitée de Taylor est d'une extrême importance, mais nous ne possédons pas encore les ressources analytiques nécessaires pour la traiter commodément. Nous y reviendrons plus tard, quand nous aurons exposé la théorie des séries.
86. Autres formes du dernier terme. — On peut donner au dernier terme une forme plus générale que celle du tliéorème I (n° 83) et qui est utile dans certains cas. Supposons toujours f{.'-j ayant des dérivées jusqu'à l'ordre n dans l'intervalle de a ko. -{- li et soit, pour abréger, a -\- Ji ^ b. Posons
Cette fonction vérifiera les mêmes conditions que /"(.'•) et l'on aura >,[b) = f[b)^r[a-^h)
'. [a) ^- fia) Ar\r {o) -}- .. . -h ^^ j /" '^"'l [a]
Soit maintenant ^j un nombre positif quelconque ; considérons la fonction
fb — .j- P
?(*) — ? (.^) — [jzraj L' '^^ - ' ^""^j'
Elle s'annule pour ./■ — a et pour .'• — h. Donc sa dérivée s'annule pour une valeur intermédiaire \=- a -|- OA (0 < 0 < 1), ce qui donne
On en tire
Remplaçons ç(/>) par /(« + h) et ; par a \- OA, il vient
. Comme on le voit plus haut, le premier terme du second membre, çp («), est la somme des n premiers termes de la formule de Tajlor; donc le second terme
hn(\ — OV'-^
est une nouvelle expression du dernier terme. Elle est plus générale que celle obtenue précédemment et elle la renferme comme particulier en faisant ;j = n.
Cette nouvelle expression est due à Schlômilch . Si l'on y fait ;) = 1, elle prend la forme particulière, due à Cauchy,
qui est utile dans certaines recherches.
87. Expressions diverses de la formule de Taylor. — 1° On peut
remplacer dans la l'orniule [V la variable // par .r — f/ ; l'équation devient ainsi
Cette formule suppose que, dans l'intervalle de u à ./ , la fonction ait toutes ses dérivées déterminées jusqu'à l'ordre ».
2° On peut aussi remplacer a par .r dans la formule (1), puis faire passer /(.r) dans le premier membre. Ou trouve
/•(.M h)-f{.v) -^ \ f'(.r) I-... 4- (7rIiyr/"'"''M-) f '^V'''(J' I- ^f')-
Sup|)osons qu'on prenne d.r -- h ; les termes successifs du second membre ne dillèreront (pie par les factorielies des différentielles
successives de /(.r). Quant au premier membre, c'est l'accroissement A/'(.r) qui correspond à l'accroissement arbitraire dx de la variable x, La formule précédente peut donc s'écrire comme il suit :
Seulement, dans la dérivée n^éme q^ fig^ire au dernier terme, on doit remplacer, ainsi que la notation l'indique, la variable x par x + fjrfi-, La formule (3) donne l'expression la plus condensée de la formule de Taylor, et comme on le verra (n° 132), la plus générale.
88. Formule de Maclaurin. — C'est un cas particulier de celle de Taylor. On pose a = i) dans la formule (2) ; il vient
[ fi^)
■fio)+~r\o) + '^ni))+.
Cette formule suppose les dérivées déterminées jusqu'à l'ordre m dans l'intervalle de 0 à x. Le nombre 6 est toujours compris entre 0 et 1.
Lorsque les dérivées de/"(^) sont déterminées jusqu'à un ordre quelconque, il arrive souvent que le dernier terme, qui est seul inconnu, peut être rendu aussi petit qu'on veut en donnant à n une valeur assez grande. Dans ce cas, la formule de Maclaurin fournit un procédé d'évaluation connnode de la fonction f{x). Nous allons en montrer des exemples :
89. Application de la formule de Maclaurin à quelques fonctions simples. — L Exponentielle e''^ . Faisons f [x) --= e^ dans la formule de Maclaurin, les dérivées reproduisant la fonction, on a
/•(0)==r(0)=...p-^)(0)==l, Mx)==e^et la formule (4) donne
'»• -j-'i ,f n-i /ytl
^=,f^+|,+ .,.+^-+î^.eMO<e<i)
Pour X = [, on en déduit la formule propre au calcul du nombre e,
Le dernier terme est seul inconnu, mais il est < —, puisque e est
< 3 ; on peut donc rendre ce terme aussi petit que l'on veut, à con-
dilion de prendre n assez grand. Donc la formule permet de calculer le nombre e au degré d'approximation que l'on désire.
Remarque. — On tire de la formule précédente, en multipliant ses deux membres par (n — 1) !,
hi — 1)! e = nombre entier -\
Cette relation prouve que le nombre e est irrationnel. En eflét, si e était rationnel, il serait le quotient;? : q de deux entiers et le premier membre de la relation serait entier pour n > q, tandis que le second est fractionnaire si n est > 3 (donc a fortiori > e^).
II. Exponentielle A''\ On trouve, en changeant x en j-LogA dans la formule précédente,
A .V ..rLogA ^ . . •'•Log (-^'LogÀ)"-^ J:^^^K(i.
TH. Fonction sin .r. Si l'on fait /'(j-) =-- sin.r, on a (n<* 7(5)
/•;" (.r) -= sin(^x-t-w^^
Pour .1' -- 0, les valeurs de /(.r) et de ses dérivées successives forment la suite périodique à quatre termes : 0, 1, 0, — 1 ; 0, 4, 0, — 1;,.. Donc, si l'on suppose « = 2A- + 1 dans la formule de Maclaurin et qu'on y substitue
/:2ft+i(0a.)= sin | hx + (2A- + 1)^ J = (— 1)'* cosO.r, on trouvera
''"■'' ■ 1-3! '■ fî- ■ ■ + ^-^'"■' (2rlTy!+<-''"(2f+T)! ""'"■'
IV. Fonction cos x. Si l'on fait f{x) --^ cos j- ; on a (n° 7(1)
/•(" (.r) -cos(j- + n ^J.
Pour .r 0, les valeurs de f{x) et de ses dérivées successives forment la suite périodique à quatre termes : 1, 0, — i, 0, etc. Prenons donc n --^ 2A dans la formule de Maclaurin, et faisons la substitution
('^ (e.r) - cos(o.r I- n^^ = (— D" CDS O.r, il viendra
,JA-i
cos,r l-2T-Kr!---^-(-^)'"'(M=2)! + ^-*^''W)! ''''''
V. Fonction Log (1 + a-). Prenant /(.r) ^ Log (1 + .r), on a (n° 70)
rw-r^.. r"X.<-) = (-<)"■' 1^-
Donc Log (I -, .,■) = ..- ^i+ ^-..,+(-l)»-^+(-l)«-f (4sï
Cette formnle suppose toutefois x > — 1, sinon les dérivées cesseraient d'être déterminées dans l'intervalle (.r, 0) et la formule ne serait plus applicable. Si .r est positif et compris entre 0 et 1, le dernier terme est < - et peut être rendu aussi petit qu'on veut en prenant n assez grand. Donc, dans ce cas, le développement peut servir à calculer la (onction.
VI. Fonction (1 + x)"'. Formule du binôme. On S, dans ce cas,
p'^x) = m [m — 1)... [m — n + 1) (1 + -i') '''"' ; il vient donc
(1 + x)"' - 1 4- mx + ^-p-û) — '^■
Si 7/1 est entier et positif et si l'on suppose n = m +1, le dernier terme disparaît, car le facteur (m — n + 1) s'annule, On retrouve ainsi la formule du binôme de Newton. Si m est fractionnaire ou négatif, le développement peut être poursuivi aussi loin qu'on veut, pourvu que x soit > — i. Cette condition est nécessaire pour que la dérivée f-" (x) soit déterminée dans l'intervalle {0,x) quand n est > m, de sorte que, si elle n'était pas remplie, la formule ne serait plus légitime.
90. Extension de la formule de Taylor aux fonctions rationnelles d'une variable complexe. — Considérons une fonction rationnelle
' ^' Q (z) P et Q désignant deux polynômes sans racines communes. La différence
M-\J\a) V^^ r (a) + - + ^';i^^iV^-'- («)J
est une l'onction rationnelle de ^- ; elle s'annule ainsi que ses (n — \) premières dérivées pour z =^ a ; donc elle admet z =^ a comme racine de degré n et elle peut se mettre sous la forme
[z — a)" M, M désignant une fraction rationnelle qui conserve une valeur finie quand z tend vers a (n° 78). Il vient ainsi
(5) M^- na) + '^'~r {a) + ■■■ y ^^^^^^^
et la formule de Taylor se trouve étendue sous cette forme au cas oii la variable est complexe.
Remarques. — l*") Dans la formule (5), le dénominateur de la fraction M est le même que celui de f{z), car, si l'on multiplie toute l'équation par Q (z), le dénominateur disparaît dans le premier membre, et par conséquent, il doit disparaître aussi dans le second.
2°) Si f{z) ou, plus généralement, si f{z) : (z — a)" est une fraction proprement dite, M est aussi une fraction proprement dite. En effet, divisons tous les termes de la formule (5) par [z — a)" ; M sera égal à une somme de termes qui ont tous pour limite zéro et aura lui-même pour limite zéro pour z ^ oo , ce qui ne peut avoir lieu que si M est une fraction proprement dite.
3°) Le développement de f{z) suivant les puissances de {z — a) ne peut se faire que par la formule (5), car la démonstration faite au n" 84 s'applique aussi bien au cas actuel.
91. Emploi de la méthode des coefficients indéterminés. — Dans bien des cas, on se propose seulement de connaître la loi de formation des termes successifs de la formule de Tajlor et l'on ne s'inquiète pas de l'expression du dernier terme. Le théorème du n" 84 qui établit l'unité du développement permet alors de se servir avec avantage de la méthode des coefficients indéterminés. En voici des exemples :
\. Inverse d'une fonction. — Supposons connu le développement de /'(.r -\- h) par la formule de Ta.vlor et proposons-nous d'obtenir celui de 1 : f{x -\- h). On doit évidemment supposer f[.r} dilférent de zéro, sinon 1 : f{x) étant infini, le second développement serait impossible.
Soit, par exemple,
;/-(,,• I- A) =.. Oo ! ",/' ' njr ' ... -\-an i h"'^ I- m/j" et posons
Il s'agit de déterminer les coefficients A, connaissant les a. Pour cela, faisons passer MA" au premier membre de la seconde équation et multiplions membre à membre avec la première. 11 viendra
1 — \\f[.c + h) A» = «0 A„ + («0 Ai + «1 Ao) A + ...
où ;ji. est linéaire par rapport à m et conserve, en même temps que >n, une valeur finie, pour h = 0.
Egalons les coefficients des mêmes puissances de A jusqu'à la (n — ijième dans les deux membres de cette équation ; nous formerons le système de formules récurrentes :
Uo Ao = 1,
cio Al + «1 Ao = 0,
«o Ao + «1 Al + «e Ao ^ 0,
qui déterminent de proche en proche Ao, Ai, A^,... puisque «o =^ /"(^'l est supposé différent de zéro. Enfin, ces coefficients sont bien ceux de Tavlor, car en les substituant dans l'équation précédente elle se réduit à
— U f{.r + h) h" -: uJ," , d'où M -
donc M conserve en même temps que |j. une valeur finie quand h tend vers zéro.
II. Fonction de fonction. — Soit u = f{x) et F [u) une fonction composée de .'• ; supposons connus les développements :
F (m -f k) — F [u) -= AiA + A,A- + ... + kn-i A"-i + M k'' /■(-'• -h h) ~f[x) = a, h + a.^h- + ... + ttn-i h»-^ + m A"
et proposons-nous d'en déduire celui de F {u -\~ k) suivant les puissances de h dans l'hypothèse oii k = f\x + h) — /"(*')• Pour cela, on remplace, dans le premier développement, h par sa valeur tirée du second et l'on trouve
F [/-(x- + A)| - F \f{:r)] = Al (a,A + «-.A- + ...) • h Ao («lA + «2 Ji' + ...)-' ^^[[aJi^a,h^ I ...Y
Il suffit d'ordonner par rapport aux puissances de A jusqu'à la {n — Ipme pour obtenir le résultat demandé. Le dernier terme est un pol.ynôrae en M et m qui ne présente aucun intérêt particulier,
92. Détermination des dérivées n''^"". — Le développement de /"(.?; -\- A) suivant les puissances de h et le calcul de /"(") [a-) sont deux problèmes équivalents. En effet, cette dérivée s'obtient comme coefficient de A" : n\ dans ce développement. Donc les méthodes que nous venons d'indiquer
peuvent aussi servir au calcul de la dérivée n''""'' d'une fonction. Nous allons en donner un exemple important.
Dérivée h'^™" d'une fonction de fonction. — Elle résulte de la formule qui termine le numéro précédent. Le coefficient de h^^ dans le second membre peut se mettre sous la forme
en désignant par §/, le coefficient de h" dans l'expression {a, h +ajr 1 ...)"• La quantité ^^ se calculera donc par la formule suivante :
dans laquelle la sommation sétend à toutes les décompositions de h en une somme d'entiers positifs
satisfaisant, en même temps, à la condition
La dérivée D" ¥{ii) s'obtiendra en multipliant par n ! le coefficient que nous venons de calculer. On trouve ainsi, après avoir remplacé les quantités A et « par leurs expressions sous forme de dérivées,
D^. F(u)- ï F'-iMlP/.
! /^DmY ^D^mY...
Donc P/, est un polynôme en Du, D'^u,. . de degré /• et de poids », c'est-à-dire que la somme des indices de dérivation est n dans chaque terme. On n'obtient ce polynôme sous forme explicite que dans des cas particuliers ^voir les exercices qui suivent).
Exercices.
1. Montrer que les expressions du dernier terme de la formule de Maclaurin qui correspondent aux formes de SchUmilch et de (lauchy pour la formule de Taylor ^n» 86) sont respectivement :
2, Montrer que, si l'on choisit la forme de Cauchy, les derniers termes des développements de
suivant les puissances de ./■ sont respectivement
m'm — l)--()n — n^\] , , , , Y 1 — 0 V*-i 12...(n — 1) ^ ^ ' [l-^H,rj
3. Montrer que ces deux expressions ont pour limite 0 pour n == oc pourvu que ./■ soit > — 1 et < 1, tandis que cette démonstration n'est pas possible sur les formes obtenues au n° 89.
