Déduire de l'exercice 5 la valeur de D

11. En se servant de la théorie des exponentielles imaginaires «iiii sera exposée plus loin : 1° Déduire de l'exercicîc (1 les valeurs de :

r>" sin ./•'■ , D" cos .'-■ ;

2" Déduire de l'exercice 5 celles de :

D" tg.'s D"/Vsin./-), Il" / /--os.'j.

i^ 3. Vraies valeurs des expressions indéterminées.

93. Définition. — Soit / (.r) une foiiclion qui devient indéterminée pour .r =-= a ; on nomme vraie valeur de eeltc fonclion jiour .r - a la limite vers laquelle tend /'(.n quand r ti'iid vers a. Celte vraie valeur

peut être finie, infinie ou indéterminée suivant que la limite, qui lui sert de définition, est elle-même déterminée, infinie ou indéterminée.

Ainsi, }3ar exemple, la fonction ^^^- devient indéterminée pour

,r = 0 et sa vraie valeur est l'unité (n°62, IV). La fonction sin- devient

indéterminée pour i' -^ 0, mais sa vraie valeur est indéterminée car sin - ne tend vers aucune limite quand .r tend vers zéro.

94. Forme ^ — Celle-ci se rencontre quand les deux termes d'une

fraction ~~ s'annulent simultanément pour .r -= «, de telle sorte que

l'on ait

fia) =0, F (a) ^. 0.

Supposons que /'(,r) et ¥ (x) aient des dérivées bien déterminées dans le voisinage de la valeur x = a, on aura le théorème suivant :

f U') Si le rapport-—- J^ des dérivées des deux termes de la fraction tend

vers une limite déterminée ou vers l'infini quaiid x tend vers a, sans que F' {x) passe par la valeur 0, cette limite ou Fijifini sera la vraie valeur de la fraction proposée.

Le théorème du n° 79 s'applique en effet, et l'on a

f{u-^h) /•' {a + e/t) F {a -{-h) F'(fl + 9/i)

Si l'on fait tendre h vers zéro dans cette équation, la quantité 9/?, qui est la même aux deux termes du second membre, tendra aussi vers zéro, d'où résulte la démonstration du théorème.

On en conclut la règle suivante :

Règ-le de l'Hospital. — Pour obtenir la vraie valeur d'une fraction de la foi me pour x = a, on lui substitue une nouvelle fraction dont les deux tenues sont les dérivées des termes de la première et l'on cherche la valeur de cette Iraclion pour x it. Si cette nouvelle fraction est de nouveau indéterminée, sa vraie valeur sera aussi celle de la première. Pour l'obtenir on appliquera derechef la même règle et ainsi de suite.

Toutefois, eu égard aux conditions du théorème précédent, cette règle n'est démontrée que moyennant les deux restrictions suivantes : 1» Elle conduit à un résultat bien déterminé ; 2° les dérivées F' (x), F" (.r),... prises comme dénominateurs, ne s'annulent qu'un nombre

limité de fois quand x tend vers a (auquel cas, on peut supposer x suffisamment voisin de a pour qu'elles ne s'annulent plus).

Remarque. — La règle de l'Hospilal reste applicable même au cas oîi a -- oo , pourvu que f (j) et F' (.r) existent pour toutes les valeurs de ,v et que F' (,r] n'ait qu'un nombre limité de racines pour x indéfiniment croissant. En effet, on a

.ri'

,. fia:) ,. ' U'.

Imi^ï-r-^- = lim — 7-p

Nous sommes ainsi ramenés au cas où a est fini; on peut appliquer la règle de l'Hospital, qui donne

,. ' KxJ ,. a;«' \xJ ,. f'(x) \nn .^r^ = lun ; ^-rv = hm ' ^ '

.r=o T? / 1 1 .-r-^o i -r,,! 1 ^ :r=co ï* {•l' j

et c'est ce qu'il fallait établir.

95. Forme ^ . — La rèf/h' de rilospital s'applique aussi à la détermination de la vraie valeur des fractions, dont les deux termes croissent indéfiniment en valeur absolue, pour une valeur particulière de X.

Cette règle reste soumise aux mêmes restrictions que précédemment. Donc on admettra, pour l'établir, ([ue les dérivées l''[x) et ¥'{xj sont déterminées et que ¥'{x) est différente de zéro pour les valeurs de X suffisamment rapprochées de a. Soient.ro et.r deux valeurs suffisamment rapprochées de a pour réaliser cette condition, mais toutes deux > a ou toutes deux < a ; on aura, par la formule de Cauchy,

c étant intermédiaire entre x et Jq.

/•(4-/]ag__ /-'(i)

F(7r)-F(a-o)""F'(E) Par cette formule, f{x) : F(j-) se décompose en un produit de trois facteurs

/(a-) nx) ¥(x)-¥ix,) fil) F(.r) flD-IXx,] ' F(.r) V il)

Si/''(.r) : F'(.r) a une limite déterminée A pour x a, on i)eut d'abord rendre le troisième fadeur aussi voisin que l'on veut de A, à condition de supposer | x — a | et | x^ — n | et par suite | ; — </ | suffisamment petits, par exemple < o. Ensuite, .r^ restant fixe, on

peut, sans cesser de satisfaire à cette condition, rendre les deux autres facteurs aussi voisins que l'on veut de l'unité, à condition de prendre x suffisamment voisin de a, car f{x) et F(^') augmentent indélîniment quand œ tend vers a, tandis que [[xq) et F(a-o) restent fixes. Donc f{x) : ¥{x) diffère aussi peu que l'on veut de A quand x tend vers a et a, par conséquent, pour limite A.

On voit de même que si f [x) : F'(.r) augmentait indéfiniment quand x tend vers a, { [x) : Y{x) serait dans le même cas.

Remarque. — L'application de la règle de l'Hospital dans le cas précédent peut paraître illusoire, car, si une fonction f{x) devient infinie pour une valeur finie a de x, on sait que sa dérivée ne peut pas conserver une valeur finie quand x tend vers a [n° 72). Cependant cette règle est souvent utile, parce que le rapport des dérivées peut se prêter à des transformations qui mettent sa vraie valeur en évidence, tandis que la chose eût été moins simple pour le rapport des fonctions primitives.

96. Autres formes d'indétermination. — Les autres formes d'indétermination les plus importantes sont :

^ oc, 0. oc et 0°, oc°, 1°".

La première se présente lorsque les deux termes de la différence f{x) — F{x) augmentent indéfiniment pour x = a ; \a seconde, lorsque des deux facteurs du produit f{x}. F {x) l'un tend vers zéro et l'autre vers l'infini. Ces deux formes se ramènent immédiatement à la forme -TT- ou ^, par de simples transformations algébriques, en écrivant ces expressions sous forme de fraction. Dans le premier cas, on pourra toujours poser, par exemple,

rt.)-FW = (±-l):(pL)

Quant aux trois dernières formes d'indétermination, on cherchera la vraie valeur de leur logarithme qui sera de l'une des formes déjà examinées. On sera donc conduit, dans tous les cas, à appliquer la règle de l'Hospital.

97. Utilisation de la formule de Taylor. — Dans la plupart des cas où l'indétermination ne disparaît qu'après un usage répété de la règle de l'Hospital, une application judicieuse de la fornmle de Taylor

conduira beaucoup plus rapidement au résultat que la règle en question.

Si la fonction cp(a + h) qui devient indéterminée pour h = 0 est composée au moyen de fonctions développables par la formule de Taylor, en substituant à ces fonctions ou à quelques-unes d'entre elles leur développement suivant les puissances de h et en poussant ce développement suffisamment loin, il pourra se faire, en supprimant les puissances de h qui se détruisent, que l'indétermination disparaisse et l'on obtiendra la vraie valeur cherchée.

Pour fixer les idées, supposons qu'une fraction ^~r ait la forme -g- Si f{a + h) et F {a -f h) sont développables par la formule de Taylor, et si l'on peut pousser ces développements suffisamment loin pour que tous leurs coefficients ne s'annulent pas, en les substituant dans

la fraction !-. , IL il y aura une puissance de h en facteur dans

l'es deux termes, et en supprimant le facteur commun, l'indétermination pour ^ = 0 aura disparu.

En voici un exemple. Soit à trouver

,. X — sin^' hm ^

Si l'on remplace au numérateur sina* par , .r — -i^ + Vr + '") ^^

si l'on divise par .^■^ on trouve

X — sina' ,. / 1 x- , \ 1

cc — ct

lini ^-TF^=^li»^(4r-|T + -/ G

Exercices 1j Expressions de la forme — • On a, x tendant vers zéro,

lim ^ ~\ = 1 x — sma;

Log (1 + .y + X- ) + Log (1 — ■'- -i- ■'•' ) 1 ^"" x(e-^ — 1)

v — igx 4

,. .r sin (siiur) — sin" œ 1 lim ^^ ^ = ô

2. Expressions do la forme oc — oc . On a, [tour lim .r ^ (.),

lim (—r — cot-.rj = ;r-

lim lim lim

1 cot^^ 1

■KX 1 .

Log(l 4-^)^__l

2 ce

x[er'^--V).