ao lim (tga-)'s

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lim (l + A')^= 1

lim (cos «a;)'=°'^'='^-''^ = e — — 5

§ 4. Maxima et minima des fonctions d'une seule variable.

98. Définitions. — On dit qu'une function f{x) est maximum ou minimum pour une valeur a de la variable x, lorsque la différence f[a + ^) — /■(«) garde le même signe, pour toutes les valeurs de h inférieures en valeur absolue à un nombre positif e suffisamment petit. Le>fnftîiimum*^orrespond au cas où cette différence est négative, et alors /(a) est > /'(.r), pourvu que ,r soit suffisamment voisin de a ; le minimum correspond au cas oui cette différence est positive, et alors /■(a) est < \\x), pourvu que x soit suffisamment voisin de a.

Géométriquement, si l'on construit la courbe i/ = /{i*), les maxima et minima correspondront aux points tels que M et M' de la courbe (fig. 2), où l'ordonnée MP est plus grande et l'ordonnée M'Q plus petite que les ordonnées suffisamment voisines.

Il est très important de remarquer que, suivant ces définitions, un maximum ou un minimum de la fonction n'est pas nécessairement la plus grande ou la plus petite valeur de

ta

Fig. 2.

celte fonction dans tout l'intervalle où l'on considère la variable .r, mais seulement une plus grande ou une plus petite valeur dans un intervalle suffisamment petit, quel que réduit qu'il faille le supposer. Rien n'empêche donc qu'une fonction aitplusieursmaxima ou plusieurs minima dans un intervalle donne.

99. Théorème. — Les seuls points où f{x) puisse être maximum ou minimum sont ceux où sa dérivée s'annule ou cesse d^exister.

C'est une conséquence du corollaire du théorème du n" GG. Si f{x) existe et n'est pas nul, A/'(j') = /"(j- + /«) — f[x), ayant le signe de hf [x], changera de signe avec h et, par conséquent, il ne pourra y avoir ni maximum ni minimum.

On remarquera que les points où f[x) s'annule sont ceux où la tangente à la courbe y ^ f{x) est parallèle à l'axe des x, comme on l'a représenté dans la figure (2).

100. Supposons maintenant que les dérivées des deux premiers ordres de f{x) existent et soient continues. Les seules valeurs de x qui pourront rendre f{x) maximum ou minimum seront les racines de l'équation /' [x) ■-= 0. Soit a une de ces racines; la formule de Taylor donnera, en prenant n ^ 2 (n" 83),

/•(a + /O-/-(fl) = ^r'(a + 0//).

Si /" {a) n'est pas nul, /'" (a -|- 9/t) sera du signe de/'" (o) pour | h \ suffisamment petit. Donc, h" étant toujours positif, la différence sera du signe de f" (a) et / (a) sera : '

maximum, si /''" (o) < 0, minimum, si f" (a) > 0.

Passons maintenant au cas général. Supposons que les dérivées de f(x) soient déterminées et continues jusqu'à l'ordre n et que /'"(.r) soit la première dérivée qui ne s'annule pas pour x - n. La formule de Taylor donne, dans cette hypothèse,

f{a + h)-f{a)^ ^^','/(" {u-hHh).

On peut supposer | h | sunisammenl petit pour que /" "' {a -\- 6/<j ait le signe de /' " ia) quel que soit le signe de //. Si n est impair, le second membre changera de signe avec // et il n'y aura ni maximum ni minimum ; si, au contraire, n est |)air, le second membre aura le signe de /■'" (a) quel que soit celui de //, il y aura maxinmm si cette dérivée est négative et minimum si elle est i)osilive. D'où la règle suivante :

101. Première règle. — Pour trouver les maxima et les îninitna d'une fonction continue [{.r) dans un intervalle oit sa dérivée reste finie et continue, on cherche les racines de cette dérivée. Soit a Tune d'elles. On substitue cette racine dans les dérivées successives def{x) supposées continues jusqu'à ce qu'on en trouve une qui ne s'annule pas pour x ^ a. Si cette dérivée est d'ordre impair, il n'y a ni maximum ni minimum ; si elle est d'ordre pair, il y a maximum si elle est négative, et minimun si elle est positive.

Il n'est pas toujours nécessaire de calculer les dérivées seconde, troisième, etc.. de f{x) pour décider s'il y a maximum ou minimum. D'autre part, la règle précédente ne s'applique pas aux points où la dérivée cesse d'exister. Voici une autre règle, dont l'emploi s'impose pour la discussion des cas où la dérivée est discontinue pour x = a.

102. Deuxième règle. — Soit f{x) une fonction ayant une dérivée déterminée fix) dans le voisinage du point a (le point a lui-même pouvant faire exception). Supposons que f (x) ait, dans le voisinage du poijit a, un signe unique pour x < a, et un signe unique pour x > a. Faisons passer x par la valeur a en croissant ; il y aura : i" minimum au point a si f'{x) passe du négatif au positif; 2° maximum si f'{x) passe du positif au négatif; 3" ni maximum ni minimum si f {x) ne change pas de signe.

En effet, posons x ^ a -\- h ei considérons la relation -— - f{a + h)—f{a) = hr [a + hh] où h reçoit successivement des valeurs de signes contraires : 1° Si /■' (a -f- hh) a toujours le signe de h, f{a + //) — f{a) sera toujours > 0 ; 2<* si f'{a -f- hh) et h ont toujours des signes contraires, f{a-\-h) — f{a) sera toujours < 0 ; .3" si f {a -\- hh) ne change pas de signe avec h, f{a-{- h) — f{a) changera de signe avec h. Donc, d'après la définition d'un maximum ou d'un minimum, la règle est établie dans les trois cas.

La règle peut encore se justifier non moins simplement en remarquant que, dans le premier cas, f [x) diminue j usqu'à ce que x ait atteint la valeur a pour augmenter ensuite ; que, dans le second, la fonction augmente, tant que x est < a, pour décroître ensuite ; enfin, que, dans le troisième, la fonction continue à croître ou bien continue à décroître après que x a passé par la valeur a.

Remarques. — 1° En principe, la première règle est plus simple

que la seconde, car elle n'exige que le calcul de valeurs particulières de certaines fonctions, tandis que la seconde demande l'étude de la manière dont varie une fonction. Cependant, en pratique, on rencontre le plus souvent des fonctions bien connues dont le mode de variation est familier. Aussi, dans bien des cas où la première règle est applicable, la seconde est encore plus expéditive.

2° Enfin, il arrive aussi que le problème que l'on veut résoudre comporte nécessairement une solution, soit un maximum, soit un minimum. Dans ce cas, si l'on ne trouve qu'une seule valeur de œ qui annule ou rende discontinue la dérivée première, il sera inutile d'aller plus loin, cette valeur fournira la réponse à la question.

103. Maxima et minima correspondant aux points de discontinuité de la dérivée. — Si /' (.r) devient discontinue pour x = a, la seconde règle indique qu'il peut y avoir maximum ou minimum de la fonction. Cela peut se présenter surtout de deux manières difterentes : 1°) La dérivée /' (.r) cbange de signe en passant par l'infini quand .r passe par la valeur a. Supposons, par exemple, que f {x) passe du positif au négatif; la courbe y = f{.v) affecte, dans le voisinage de

X = a, l'allure de la courbe AB dans le voisinage du point M (fig. 3). Le point M s'appelle un point de rebroussement et l'on voit sur la figure que l'ordonnée MP est un maximum. 2°) La dérivée saute brusquemimt d'une valeur à une autre valeur de signe contraire. Supposons que ce soit ^^s- ^- d'une valeur négative à une valeur positive;

la courbe y = f{.i) affecte alors, dans le voisinage de x = a, l'allure de la courbe AB au point M' (fig. 3), En ce point la tangente passe brusquement d'une inclinaison à une autre, de sorte qu'en réalité deux courbes viennent se réunir en M' sous une inclinaison dilTérento. Le point M' est ce qu'on appelle un jwint saillant et l'on reconnaît sur la figure que l'ordonnée M'Q est ettectivemenl minimum.

Exercices.