SI

signes de sa dérivée (règle II). Soient «,, a,,... les racines réelles de degré impair de f [x) rangées /par ordre de grandeur décroissante. On aura

/■' (a;) = ^n Ao^;'"-* +••• = Ao (^ — «,) [x — a^) •••o(ic),

les lettres À désigneront des entiers impairs et v^[x) sera nul ou positif. Supposons Ao > 0 ; pour a; = -|- oo, /"' [x] est égal à + o=, ensuite f'{x) change de signe chaque fois que x passe en décroissant par une des valeurs a,, a^,... Donc f[a^) est un minimum, f{a.^ un maximum, et ainsi de suite alternativement. Si Ao était négatif, l'ordre serait inverse.

2. Maxima et minima d'une fraction rationnelle. Soit f{x) = P ; Q. Il faut étudier les changements de signes de la dérivée (P'Q — PQ') : Q^ ou, ce qui revient au même, ceux du polynôme P'Q — PQ'. On opère donc comme dans l'exercice (1). Les racines d'ordre impair de ce poljnôme rangées par ordre de grandeur décroissante donneront alternativement : 1° des minima et des maxima si ce polynôme a son premier terme affecté d'un coefficient positif ; 2° des maxima et des minima si ce coefficient est négatif. Il peut arriver qu'une racine de degré impair de P'Q — PQ' soit en même temps racine de Q. Dans ce cas, c'est une racine de degré pair de Q et elle rend f{x) infinie positive ou infinie négative, mais il n'y a pas d'inconvénient à considérer, par extension, une valeur semblable comme un maximum ou comme un minimum delà fonction.

Remarque. On verra, dans le calcul intégral, qu'on peut former un polynôme ayant pour dérivée P'Q — PQ'. Il existe donc toujours un polynôme ayant les mêmes maxima et les mêmes minima qu'une fonction rationnelle donnée.