Avec trois côtés égaux former un trapèze d'aire maximum

R. Soit 'f l'angle à la base du trapèze. Il faut rendre maximum la fonc-

tion sin s (1 +cos ci) = 4 sin -^cos^-^, d'oià tf == 60°. Le trapèze est formé par trois côtés et la diagonale d'un hexagone inscrit.

10. Trouver sur une droite donnée OX un point P tel que la somme de ses distances à deux points donnés A et B soit un minimum.

R. Les deux droites AP et BP doivent être également inclinées sur OX.

11. Etant donné un cône droit, on demande de le couper parallèlement à la génératrice par un plan tel, que le segment parabolique résultant soit le plus grand possible.

R. Soient a le rayon de la base du cône, x la portion de ce rayon entre

la génératrice et le plan sécant. On trouve x = ^•

12. Dans un levier du second genre, pesant et homogène, quel doit être le bras de levier x de la puissance Q, pour que celle-ci soit un minimum, le moment M de la résistance étant donné ?

R. Soit ff le poids de l'unité de longueur du levier. On trouve ffx^ = 2 M, Q -= V2M^

§ 5. Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples.

104. Objet de cette décomposition. — On appelle fraction simple une fraction dont le numérateur est, une constante et le dénominateur une simple puissance d'un binôme, telle que (s — a)" . Nous allons montrer, en nous servant du développement d'une fraction rationnelle par la formule de Taylor, que toute fraction rationnelle peut se décomposer en un polynôme entier et une somme de fractions simples. Nous verrons plus tard, dans le calcul intégral, toute l'imporlance de cette décomposition.

105. Formule de décomposition. — Soit à décomposer la fraction

rationnelle

Si celte expression n'était pas une fraction proprement dite, en efl'ectuant la division, on la décomposerait en un polynôme entier et une fraction proprement dite. Nous pouvons donc admettre a priori que cette opération ait été ftiite et que f{z) soit de degré moindre que

Soient a, h,... l les racines réelles ou complexes de Y{%), a, ^,... À leurs degrés de multiplicité respectifs. On aura d'abord

Fi(^) ayant toutes les mêmes racines que F(;:-) sauf la racine a. La fraction f[z) : Fx(^), n'étant plus infinie pour z = «, peut se développer par la formule de Taylor (n° 90) sous la forme

(1) ^ =Ao + A,U.-«) + ...4-Aa-i(2-a)«-^ + M,(2-fl)« d'où, en divisant par (z — a)^ ,

Le dernier terme Mi est, comme on le sait (n° 90), une fraction proprement dite ayant pour dénominateur Fi(z-). Les termes précédents sont des fractions simples. On est ainsi ramené à décomposer la fraction

Pour cela, on recommence la même opération. On pose

Y,[z) = {z-hfY,^{z),

de sorte que ^^{z) admet les mêmes racines que ¥{z) sauf les deux racines a et h. En développant U '• F., suivant les puissances de [z — h) et en divisant par {z — b)^ , il vient

l'il^) (^.^)ii (,./,)? (2-P)

et on est amené à décomposer la fraction rationnelle Mg qui a pour dénominateur Y„[z).

On continue ainsi de suite de manière à épuiser toutes les racines de F(z-). Quand on arrive à la dernière, il n'y a plus qu'à décomposer une fraction proprement dite M de la forme

[z-t]' et l'opération s'arrête, car, après avoir développé le polynôme <p [z) de degré < a suivant les puissances de « — /, on trouve

[z—l)^ {z — lf'~' (^- — O sans nouveau terme complémentaire.

Substituons maintenant, de proche en proche, dans l'équation (1) les développements de M„ Mg.... M, nous trouverons la formule de décomposition de f{z) : F(^) en fractions simples :

Ao iz-a)^

Aa-1

Bo

-bf-

rr +

Bp-,

Lo

106. Unité du développement. Valeurs des coefficients. — Le développement que nous venons d'écrire n'est possible que d'une seule manière, car nous allons montrer que les valeurs des coeflicients s'obtiennent immédiatement sous forme de dérivées.

A cet effet, délinissons la fonction k{z) comme il suit :

et multiplions la formule de décomposition par {z — a)^. Nous obtiendrons un résultat de la (orme

A (z) = Ao + Al [z - a) -h ... 4- A^^ [z - «)"-* + M {z - af,

M gardant une valeur finie pour z = a. Donc les coefficients sont ceux de la formule de Taylor (n" 90) et l'on a

A ^AW A. - A> A - ^"^ \ - *""""')

De même, en posant

on trouvera

et ainsi de suite.

Les formules que nous venons d'écrire ramènent le calcul des coefficients à des déterminations de dérivées et peuvent déjà servir à la détermination pratique des coefficients. On peut employer aussi d'autres méthodes que nous allons indiquer.

107. Autres méthodes pour calculer les coefficients. — 1" On peut employer la mci/iude des coefficients indéterminés. On pose a priori la formule de décomposition dont la forme est connue, en laissant les numérateurs i'.idcterminés. On chasse ensuite les dénominateurs en multipliant les deux membres par F (c). En égalant les coefficients des mêmes puissances de z, on foimera un système d'équations du premier degré en nombre suffisnnt pour détei miner les coefficients inconnus,

2*^ Méthode de dérivations successives. Soit, par exemple, à déterminer les coefficients A, Si l'on multiplie l'équation (1) du n°10o par Fi {z), qui est égal à F (c) : (c — a)^, il vient

/•(^)-Fi

Ao + Ai(.^-rO+- + A,

d'où l'on conclut que le polynôme du premier membre admet la racine a au degré a. Donc il s'annule pour z = a ainsi que ses (a — 1) premières dérivées. En le dérivant (a — 1) fois et en exprimant que ces conditions sont satisfaites^ on obtient successivement

f{a)-F,{a)A,=--0 f'{a)-F[ ia)A,-F^{a)A^==0 r H - F;'(rO Ao - 2F;(a)A^ - 2FJrOÂ2 == 0

et ainsi de suite. C'est un système d'équations récurrentes qui déterminent de proche en proche Ao, A,, Ag,---

3° Il est à remarquer qu'on peut arriver autrement au même système d'équations. On remplace c par a -\- h dans le polynôme que l'on vient de dériver successivement, ce qui donne

/•(^ + /,)F, («4-;orAo + A,A + ,.. 4-A^^A^-

puis on ordonne suivant les puissances de h jusque ]i^~\ En exprimant alors que les coefficients de toutes ces puissances sont nulles, on retrouve le sj'stème d'équations qui précède. Ce sont ces derniers calculs qui seront ordinairement les plus rapides.

108. Cas des racines simples. Formule de Lagrange. — Lorsque toutes les racines de F(^) sont simples, le développement en fractions simples ne renferme qu'un seul terme relatif à chacune des racines et la formule de décomposition se réduit à la forme simple

F(2) z—(rz—b'^ ^ z—l Les coefficients A, B..., se déterminent alors par les formules

^~,^a F(^) -F'(fl)' ^--V'[b)''

que l'on trouve par la règle de l'Hospital. Dans le cas où il n'y a que des racines simples, la formule de décomposition sera donc la suivante :

f{zl nal Jï [{b) 1

¥{z) F' (fl) z — rt "^ F (/;) z — b '^"'

La formule de Lagrange n'est qu'une transformation de la précédente. On fait la substitution

Y [z] = {z- a) [z — b) ..■ {z- l) ; d'où

En multipliant la formule de décomposition par F {z), elle devient alors

!{^} IWi^a—b){a—c)...{a — l)^'^^{b — a){b — c)...{b — l)^ On se sert de cette formule pour construire la fonction f{z) entière de degré < n qui prend n valeurs données /'(a), f{b),... pour n valeurs données «,&,... / de z. C'est pourquoi cette formule s'appelle la formule d'interpolation de Lagrange.

109. Méthode rationnelle de décomposition. — On peut suivre une autre marche pour décomposer f{z) : F [z) en fractions simples. Celle-ci est théoriquement supérieure à la précédente, parce qu'elle a sur elle l'avantage de ne faire intervenir les racines du dénominateur F {z) que quand leur introduction est nécessaire et de pousser les calculs aussi loin que possible par des opérations purement rationnelles. Elle repose sur les théorèmes suivants, dont le premier se démontre en algèbre à l'occasion de la théorie du plus grand commun diviseur de deux polynômes ordonnés par rapport aux puissances d'une variable :

I. Si P^ et P2 sont deux poli/nôtyws premiers entre eux, on peut toujours par des opérations rationnelles déterminer deux autres polynômes Pi et P2, qui vérifient la condition

P2P1 -\-P^^\ = 1. d'où

1 ^Pi \ P2

II. Si les deux polynômes Vi et P^ sont premiers entre eux et si le polynôme fest de degré moindre que le produit ViV^i '*" pourra faire la décomposition

^^ Pipj Pi Pj

yi et qn étant des polynômes de degrés respectiveme^U moindres queV^ et que Pj et qui s'obtienneyit par des calculs rationnels. En effet, en multipliant la relation (1) par /; il vient

P,P, Pj "^ P, Pi Po

où ^-i et q^ sont respectivement les restes des divisions de fpi par Pi et de fp.^ par P2 et Q la somme des quotients entiers de ces deux divisions. Mais Q est identiquement nul, car il est égal dans l'équation précédente à une somme algébrique de fractions proprement dites qiTi ont toutes pour limite 0 pour ^ = oc ^ tandis qu'un polvnôme en ;: augmente indéfiniment pour ; = oc à moins d'être identiquement nul.

III. Si P^, P,, Ps,-- sont des pjolynùmes premiers entre eux deux à deux et f un polynôme de degré moindre que le produit P^P^Pg---, on pourra, par une suite d'opérations rationnelles, faire la décomposition

f ?i I gg I ?3 I

upp... pip"r"p "T""*'

dans laquelle les numérateurs sont des polynômes de degrés respectivement moindres que les dénominateurs correspondants.

En posant d'abord P' = PoPg---, il vient par le théorème précédent,

PjP^Pg...- P,P:-Pi+ P^'

On est ainsi ramené à décomposer q'^ : P^ et l'on continue ainsi de suite.

IV. Soient F [z) un polynôme, Pj, Pj, Ps,--- des polynômes sans racines mtdtiples , mais ayant respectiveynent piour racines : Pj lesi^acines simples, P„ les racines doubles, P3 les racines triples,- ■■ de F (z) ; ces polynômes P^. P^, P^,--- peuvent s'obtenir au jnoyen de F par une suite d'opérations rationnelles.

Soient Die plus grand commun diviseur de F et de sa dérivée F', D^ celui de F' etF",-- ces diviseurs s'obtiennent par des calculs rationnels et l'on a

^PzP.

On en

tire

PiP.Ps

ei

t en divisant

successivement ces 1

■dations

membre

à membre

on

obtient

V. La décomposition que nous voulons faire résulte des théorèmes précédents. Pour décomposer /'(^) : F (2) en fractions simples, on met d'abord, par le théorème iV, F(;) sous la forme

¥{z)=^P,PlPi...

Il vient ensuite par le théorème II

et cette décomposition est entièrement obtenue par des calculs rationnels. Mais les fractions composantes ne sont pa? encore, en général, des fractions simples, de sorte que la décomposition est incomplète.

Remarques. — 1° Pratiquement, pour obtenir la formule précédente, on déterminera les polynômes P^, Po,--- comme ci-dessus (IV); puis, cela fait, on déterminera ^,, ^/g,-- par la méthode des coefficients indéterminés en les remplaçant dans la formule précédente par les expressions générales de polynômes de degrés respectivement moindres que Pj, que P^,-- Les coefficients inconnus de ces polynômes seront des fonctions rationnelles des coefficients de /"et de F.

2'' La décomposition ne peut être menée plus loin par des calculs rationnels que si les polynômes Pj, P»,--- sont réductibles, ce qui n'est pas le cas général. Pour achever la décomposition en fractions simples, on est donc obligé de recourir aux procédés des numéros précédents et d'introduire les racines de P^, de Pg, ••• dans les calculs.

Exercices.

Démontrer les formules de décomposition proposées dans les exercices ] à 5.

ii) ,(-"), <i)

{x—l){x — 2){x—-S) aT— 1 ' £C — 2 ' a; — 3