CHAPITRE III

Fonctions de plusieurs variables.

§ 1 . Dérivées partielles et différentielles partielles ou totales des fonctions de deux variables.

110. Dérivées partielles. — Soit u = f{x, y) une fonction continue de deux variables indépendantes x et y. Si l'on attribue à y une valeur constante et qu'on fasse varier x, u devient une fonction continue de x seul. Si elle admet une dérivée, celle-ci se nomme la dérivée partielle de \i par rapport à x. Cette dérivée partielle est ainsi, par définition, la limite du rapport

quand Xr tend vers 0. On la représente indifféremment par l'une ou l'autre des notations suivantes :

rœix,y), T).rf{x,y) ou D..m, ^^^^^ ^^ j|'

De même, en regardant x comme constant et // comme variable, on

formera le rapport

nx,y + ^y)-f{x,y)

Si celui-ci tend vers une limite quand A// tend vers zéro, ce sera la

dérivée partielle de u par rapport à y et on la représentera par les

symboles analogues aux précédents :

àf{x,y)

flAx^y) Duf{x,y)

ày

111. Difierentielles partielles. Différentielles totales. — Les d\l\érentielles partielles da-u, d,,u sont, par définition, égales aux produits

du . , du .

d,,.n = -V- Aa- d„u -= -r- A/

âx ' Oy

des dérivées partielles par rapport à .»• et à y par les accroissements Ix et \y des variables correspondantes.

En particulier, si u =

.r, on aura

du . 'ùx " '

dy

et, si u = y,

du „

du .

La différentielle totale du est égale, par définition, à la somme des deux différentielles partielles, de sorte que

,,, , du . , du .

^ di' dy ^

d'où djc = t^x

d'où dy=-^y.

Donc l'équation (1) peut s'écrire aussi sous la forme

(2) du=^f^dx-}-fydy.

La comparaison des équations (1) et (2) appelle une remarque analogue à celle qui a été faite dans le cas des fonctions d'une seule variable (n" o9). L'équation (2) a, comme nous le verrons, une généralité que n'avait pas l'équation (1). Cello-ci suppose les variables x ci y indépendantes, tandis que l'équation (2) n'est pas soumise à cette restriction (no 126).

112. Expression de l'accroissement \f{x, y). — Au moyen des dérivées partielles on obtient une expression importante de l'accroissement d'une fonction u = f{x, y). Supposons que u et ses deux dérivées partielles soient continues à l'intérieur d'un certain domaine D et soit [x, y) un point de ce domaine. Donnons aux variables les accroissements Aa" et Aî/. On aura

^[fix + \x,y \-\y)-f(x,y + \y)] + [f(^,y + ^y)-f{^;y)]

transformons chacune des différences entre crochets par la formule des accroissements finis (n° G'.)), il viendra, 0 et ^i étant compris entre Oet 1,

^rlx, y] ^ \x /■;.(.r + fi\x, y h A//) -f A^/^ [x, y ~\^ H^\y)

D'autre part, les dérivées partielles étant continues au point {x,y), on peut poser

l^ix \(}^x,y [-\y)=f;^{x,y] + t,

t et c^ désignant des quantités qui ont pour limite 0 quand Ax- et \y tendent vers zéro. La substitution de ces valeurs donnera

113 Dérivée et différentielle d'une fonction composée d'une seule variable indépendante. — Supposons que x et y soient deux fonctions d'une variable indépendante unique t, ayant toutes deux des dérivées bien déterminées. Dans ce cas, f{x,y) est une fonction composée de t. Pour obtenir sa dérivée, remarquons que la formule du numéro précédent subsiste indépendamment de toute hypothèse sur la nature des accroissements ^x et ^y ; nous pouvons donc admettre qu'ils correspondent à l'accroissement \t de la variable indépendante. Divisons alors cette formule par \t ; il vient

M - ^^^-^ '^^ M '^ '^*^' ^^ Â7 + ' AT + '' A/' et, en faisant tendre M vers zéro, on trouvera

iW\y) __f,,^ ,,^ dx dy

puisque e et'Sj ont pour limite 0.

Donc, si X et y sont des fonctions de t, la dérivée de f{x,y) par rapport à t est la somme des dérivées partielles de f{x,y) par rapport à x et par rapport à y multipliées respectivement par les dérivées de x et dey par rapport à t. C'est la règle de dérivation des fonctions composées.

En mulliitliant cette formule par dt, on obtient la différentielle de f{x,y), savoir

(If ('i\ y) = 0^\ y) dx + /,; [x,y)dy.

D'où le théorème suivant :

Si X et y sont deux fonctions d^une même variable t, la différentielle de f{x,y] s'exprime au moyen de x,y, dx et dy, par la différentielle totale de f(x,y) comme si les variables x et y étaient indépendantes.

114. Remarques. — le théorème général que nous venons d'énoncer renferme, comme cas particuliers, les règles de dérivation d'une somme, d'tm produit et d'un quotient que nous avons démontrées séparément au chapitre r'"(n" 01). On vérifie, en effet, immédiatement que les seconds membres des formules

(/ (M -\- v) ^-^ du -\- dv, d uv -= u dv -\- v du,

, u V du — u dv d - = — —z

représentent respectivement la somme des différentielles parlielles des premiers membres par rapport à u et à v.

115. Sur la manière de calculer les différentielles totales. — Le théorème précédent revient à dire que les différentielles totales se calculent par les mêmes règles que les différentielles des fonctions composées d'une seule variable. Si les différents modes de composition de la fonction f{d',y) sont de ceux qui ont été prévus au chapitre l et c'est ordinairement le cas, il suffira d'appliquer les règles établies dans ce chapitre pour obtenir la différentielle totale.

C'est ainsi que les règles établies pour trouver les différentielles d'une fonction de fonction, d'un quotient et d'une somme (n° (3i) conduisent aux résultats suivants :

, , Il -i' X du — u dx

d arc tg ^ = = — -r-r-'—

dLog v^^^T? - ^iXitr ^ ''^:'^K''

On voit que les différentielles totales s'obtiennent sans calculer séparément les dérivées partielles et l'on évite ainsi de répéter deux fois certains calculs.

D'autre part, si l'on connaît la différentielle totale de f[x,y), on peut en déduire à simple lecture ses deux dérivées partielles. En effet, dx et dy étant des coefficients indéterminés, la dérivée partielle par rapport à X sera le coefficient de dx et la dérivée partielle par rapport à // celui de dy dans l'expression de la différentielle totale. C'est ainsi que l'on tire immédiatement du calcul fait plus haut :

ô , il X d . y y

^P^ arclg - = — ^- — r-» -^arcîg^ = — ^-^^ — ^ ùy ^ X X- + y^ dx ^ x x- -f- ij^

116. Dérivées partielles du second ordre. — Soit u = /' (.r, y) une fonction de deux variables indépendantes x et y ; ses dérivées partielles -~ et -~~ seront, en général, des fonctions de a; et de w et Ox ()y ° ' ^

pourront admettre elles-mêmes des dérivées partielles. Nous dési gnerons la dérivée partielle de -y^ par rapport à x par les notations

/.'v- U".//î ou UUrf OU ^^2'

et sa dérivée partielle par rajtpurt à y par

f!>L '^N y) ou D^r^/' ou