Jl ^'Ul ^^^y

De même, les dérivées partielles de —- par rapport à a: et à ?/ seront respectivement

Ai f Ai f

fil — T\^ f— ^ I f'i —H- f— '

Mais il existe concernant ces dérivées un théorème fondamental en vertu duquel fyx = fxy, ce qui réduit à trois seulement le nombre des dérivées partielles du second ordre. Voici ce théorème :

117. Théorème. — .Si les deux dérivées partielles f'J^^, f'^^ sont déterminées et continues dans le voisinage du point {x, y), elles sont nécessairement identiques.

Posons pour simplifier

<^{x) =f{x,y + li)—f[x,y) •Hy)-=f{x + Ky)-f{x,y) On aura identiquement

On a, par la formule des accroissements tinis (0 < 6 < 1), cp [x + h} — cp [x) = h o; {X + 0/^)

= h \r^ {X + fih, y + A) - /; {X -4- 0/j, y)]. On peut encore appliquer la même formule pour transformer la différence entre crochets, ce qui donne (0 < 8i < 1)

=p {X + h) - cp (x) = hk r;,^ [X + (ih,y + 0,/.). On trouve d'une manière analogue

^ [y -h ^1 - ^ (y) = hk A- . {X + h'h, y + e;A)

Donc, les premiers membres de ces deux équations étant égaux,

/;; [x + hlK y + e,A) = /■;; (^- -l- eV;, y -1- h[k) Faisons tendre // et k vers zéro, on aura, à la limite,

Donc, si tes dérivées considérées sont continues, 1rs caractéristiques D.r^/ \)y peuvent toujours être interverties.

Les dérivées partielles du second ordre de la fonction u - fix, y) se réduisent donc en général à trois distinctes

à^u Ohi â^u (?u

()x- itxOy (lyOx i)y-

Cette notation a l'avantage de mettre l'égalité des deux dérivées partielles en évidence et, quand on l'emploie, on suppose toujours implicitement que les conditions de continuité nécessaires pour assurer cette égalité sont remplies.

118. Différentielles partielles du second ordre. — Aux dérivées partielles du second ordre correspondent les difterentielles partielles, définies par les équations

j-, à'ii , „ , , d-u , , ,, ()'U j .,

L'équation D^D^m = D?, D^^m entraîne donc aussi l'égalité dcrdjjii = dtjd:cU, de telle sorte que l'ordre de deux différentiations partielles successives par rapport à x el h y peut aussi être interverti.

119. Dérivées et différentielles partielles d'ordre quelconque. — Le théorème du n° 117 se généralise de lui-même. Concevons que l'on effectue sur une fonction u =^ f{x, y) un nombre quelconque de dérivations partielles successives, les unes par rapport à x, les autres par rapport à y, dans un ordre arbitraire. Il suit de ce théorème que l'ordre de deux opérations consécutives peut être interverti quand elles se rapportent à deux variables différentes, pourvu que toutes les dérivées que l'on considère restent continues. Moyennant cette restriction, on pourra par la répétition de ces permutations ranger les dérivations dans l'ordre que l'on voudra ; on pourra faire, par exemple, d'abord toutes les dérivations par rapport k x el ensuite toutes celles par rapport à «/.De la sorte, le résultat de m dérivations par rapport à x et de n dérivations par rapport à y, opérées consécutivement sur la fonction u, sera le même quel que soit l'ordre suivi et pourra se désigner par un seul et même symbole

ôx'''dy'' Cette quantité est une dérivée partielle de l'ordre [m + n). En la multipliant par dx"^dy'\ on obtient la dilTérentielle partielle du même ordre

d'^d'^u = -^ r— dx"^ du" .

^ ^ f)x"' ây' ^

120. Différentielles totales successives. — Soient u = f{x^y) une

fonction de deux variables x et y, qui peuvent être indépendantes ou

non, et

, du , , du j du = ^ ax -\- ^--ay ôx ôy ^

sa différentielle totale. Celle-ci est une nouvelle fonction qui peut admettre aussi une différentielle totale d du. Cette nouvelle différentielle est la différentielle seconde d^u, et ainsi de suite. Le calcul de ces différentielles n'introduit aucune notion nouvelle. Seulement il y a lieu d'observer ce qui suit :

Si X et y sont des variables indépendantes, leurs accroissements dx = Aa- et dy = ^y sont toujours supposés constants quand x et y varient et doivent être traités comme tels dans les différentiations.

Si a; et î/ sont elles-mêmes des fonctions d'autres variables indépendantes, dx et dy sont des fonctions qui ont des différentielles successives d^x, d^x,...; d-y, d^y,,.. Dans cotte hypothèse, on trouve, en faisant les calculs.

Les différentielles totales successives de /'(:r, y) auront donc des formes diffih^ntes suivant qu'on regardera x, y comme des variables indépendantes ou bien comme des fonctions.

Lorsque x et y sont des variables indépendantes ou, plus généralement, lorsque dx et dy peuvent être supposés constants, rf\r et d^y sont nuls et l'équation précédente devient

dHi -= -^—dx" -h 2 -\ — z- dx dy + "«K </.'/- ■ dx- dxôy "^ ^^y^

Dans ce cas, on peut former une expression symbolique très commode de rf"«, en remarquant que, pour former la différentieUe totale d'une fonction de x et y, il sutîit de la multiplier par le fadeur symbolique

et d'effectuer les multiplications indiquées par les règles du calcul algébrique. On trouve ainsi, en intei-prélant les puissances de d comme des indices de dérivation,

121 . Méthode pratique de calcul. — Pratiquement les différentielles totales so rnlculciii ikmi par l'addition des différentielles partielles mais

par la simple application des règles générales da chapitre I. Le calcul est même si simple qu'il y a souvent avantage à se servir de ces différentielles pour calculer les dérivées partielles de u. On traite alors ^' et î/ comme des variables indépendantes dont les différentielles dx et dy sont des constantes arbitraires. On obtient ainsi des résultats de la forme

du = pdx + qdy, d-u = rdx- + ^sdxdy -)- tdy- ,...

où p, q, r, s, t sont des fonctions explicites de :rel y. La comparaison avec les formules générales montre que l'on aura, puisque dx et dy sont des indéterminées,

du du d-u d-u ^ dm

' dx ^ dy dx- ax dy dy-

Cette méthode de calcul est surtout avantageuse lorsque l'on doit connaître en même temps toutes les dérivées partielles d'un même ordre. C'est généralement le cas dans les applications géométriques.

§ 2. Extension à un nombre quelconque de variables.

122. Définitions des dérivées et des différentielles premières. — Soit w "= f{x, y, z,...) une fonction de plusieurs variables indépendantes ; la d'érivée partielle de u par rapport à l'une d'elles, a; par exemple, est la dérivée de u considérée comme fonction de x seul, toutes les autres variables étant traitées comme des constantes. On la représente par les symboles

du Of -, , , r^ -■ v,^-.

'dx ^" lix ^^^'^'' •^' ■^■'•••^' ^''^^^' ^' -''•••^

Les différentielles par lielles dxU,d,jU... s'obtiennent en mulli])liant les dérivées partielles par les accroissements Aa:, Ay,... des variables correspondantes, de sorte que

, du . , du .

«rM = -T-Aa;, dyU ■-= -^ Ml,...

dx -^ ày

La différentielle totale du est la somme des différentielles partielles

, du . ^ du . , du = -— A.r H- - - A» f ...

dx dy ^

En particulier, pour u = x, pour u ^ y,... on a respectivement

dx = Ait, dy = \y,...

et l'équation précédente peut s'écrire sous une nouvelle forme

, ()u j . du j , ()x ôij

Cette nouvelle forme a sur la première l'avantage d'une plus grande généralité comme nous le montrerons tout à l'heure (n" 126).

123. Accroissement d'une fonction. — La forjiiule du n° lliî se généralise d'elle-même. Soit u une fonction continue ainsi que ses dérivées partielles dans le voisinage d'un point i\ y, ^■,... On aura, en donnant à x, y, z,... les accroissements A,r, \y, Iz,...,

\u ^^\x-^^\y +... + zlx + z^ly +...,

e, Sj,... désignant des quantités qui tendent vers zéro en môme temps que les accroissements A.

124. Dérivée et différentielle d'une fonction de fonctions d'une seule variable indépendante. — Si u^fix, y,...) et si x, y,... sont des fonctions d'une seule variable t, la dérivée de u s'obtient comme au no Uo. On a

du df dx ôf dy ~dt~~dx~dt^'dy'dt^"'

Donc la dérivée de f[x, y...) par rapport à t est la somme de ses dérivées partielles par rapport à x, y,.. , multipliées respectivement par les dérivées de x, y,... par rapport à t.

Ce principe porte le nom de règle de dérivation des fonctions composées.

En multipliant l'équation par dt, il vient ensuite

du = ^dx-\-^di/-{-...

ôx <)y •'

Donc, .si X, y,... sont des fonctions d'une seule variable indépendante t, la difjérentielle de f{x, //,...) s'exprime au moyen de x, //,... dx, dy,... comme si les variables x,y,... étaient indépendantes.

125. Dérivées partielles d'une fonction de fonctions de plusieurs variables indépendantes. — Soit u = f{x, y, z,...) une fonction des variables x, y, z,..., celles-ci étant elles-mêmes des fonctions d'autres variables indépendantes i, ■^, ^,... La dérivée partielle de u par rapport à i se calcule par la règle établie au numéro précédent pour les fonctions de fonctions d'une seule variable, ce qui donne

— — EL — A. EL ^y

01 ~dx~d^~^7)y~()l '^"'

On trouve de même

du df dx ôf ày &r, ~ dx &r^ dlj Ôr,

et ainsi de suite.

126. Différentiell3 totale d'une fonction composée. — La ditîerentielle totale de la fonction u du numéro précédent est la somme de ses différentielles partielles par rapport à chacune des variables indépendantes l, r,, s,..., savoir

, Ou ,r , au , , dz Or,

Remplaçons dans cette expression les dérivées partielles par leurs valeurs trouvées au numéro précédent et réunissons les termes en

Ces parenthèses sont, par définition, les différentielles totales dx, dy, ... On a donc finalement

du = -J- dx -\~ -~- dy -[- ...

dx ày -^

De là la règle suivante qui généralise celle du n° 113.

La difterentielle totale df{x,y, ...) s'exprime toujours de la même manière au moyen de x, y, ... dx, dy, ... que les variables x, y, ... soient indépendantes ou qu'elles ne le soient pas.

127. Conditions qui expriment qu'une fonction se réduit à une constante. — Soient x,y, ... des variables indépendantes, la condition nécessaire et suffisante pour que f{x, y, ...) ne dépende pas de x est que l'on ait (n"^ 70)

flix,y,...) = 0.

De même, la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle ne dépende pas de y sera

ll[x,y,...)=^0 et ainsi de suite.

Si f{x, y, ...) est une constante, cette fonction ne dépend d'aucune des variables et toutes les conditions précédentes sont vérifiées simultanément. On peut les réunir en une seule

dt(x,y,...)=.^dx + fydy-\~... = 0.

— ion —

qui entraîne toutes les précédenles, puisque les différentielles dx, dy, ... sont des coefficients arbitraires.

128. Différentiation des équations. — Supposons maintenant que l'on ait une relation

dans laquelle a;, y, ... ne sont plus des variables indépendantes mais des fonctions d'autres variables considérées comme indépendantes E, t,, ... Le premier membre étant une fonction composée dont la valeur est constante, on aura df= 0, ou bien (n^ 126)

^dx + ^dy + ... = 0.

dx dy ^

Differentier totalement une équation, c'est égaler les différentielles totales de ses deux membres. Le résultat que nous venons d'obtenir peut donc se formuler dans le principe suivant, qui est fondamental :

Étant donnée une équation entre un certain nombre de variables, indépendaîites ou non, mais ayant des différentielles, il est toujours permis de la differentier totalement.

129. Dérivées et différentielles successives. — Les considérations émises dans le paragrapbe précédent se généralisent d'elles-mêmes et il suffît d'énoncer les résultats.

Si l'on effectue un nombre quelconque de dérivations successives par rapport à des variables différentes x, y, z, ... l'ordre de deux dérivations successives par rapport à deux variables différentes peut toujours être interverti, moyennant l'bypotbèse de la continuité des dérivées. De la sorte, le résultat de m dérivations par rapport à x, n dérivations par rapport à y, p dérivations par rapport à z, ... effectuées dans un ordre quelconque sur une fonction u=^f{x,y,z, ...), peut être représenté par le symbole unique

âx'" Oy" dzP ...

Les différentielles totales successives se calculent en appliquant successivement les règles établies pour calculer les différentielles premières. Dans le cas où les variables x, y, z, ... sont indépendantes, et plus généralement si leurs différentielles dx, dy, ... peuvent être supposées constantes, la différentielle n'*'""' de f{x, y, z, ...) pourra se mettre sous la forme symbolique

d- n^, ,,.,,.., = (^ d^ + 1 d, + ^ d. + ...Jr.

130. Théorème d'Euler sur les fonctions homogènes. — Une fonction /"(a-, y, z, ...) est dite homogène par rapport aux variables â-, y, z, ..., lorsque cette fonction vérifie l'identité

(1) r[tv, ty, tz, ...) = i">r[^':,y, z, ...),

t désignant une indéterminée quelconque. L'exposant m est dit le degré d'homogénéité de la fonction.

Si l'on fait f = —, l'identité deviendra

c'est-à-dire

(2) ru'-,^,^, ...) = ^^'^?(^'^--)

Donc, si l'on divise une fonction homogène de degré ?n par la m'^""® puissance de l'une des variables, elle ne dépendra plus que des seuls rappoi'ts des variables deux à deux.

On s'assure aussi immédiatement qu'une fonction qui vérifie la condition (2) vérifie la condition (1). Donc l'équation i2) peut aussi servir de définition des fonctions homogènes.

Différentions l'équation (1) par rapport à t, il viendra identiquement

•>-/■; {f^^, ty,-) + yfy [t^. iy,-) +••• =- mi>»-' n^-\ y,-)

ou, eu faisant t = l,

(3) xr'Jx,y,:.) + yrl{^',y,-)+- = ^n^,y,-)

C'est dans cette identité que consiste le théorème d'Euler : La somme des produits des dérivées partielles d^une fonction homogène par les variables correspondantes est égale à la fonction elle-même multipliée par le degré d'homogénéité.

Plus généralement, si l'on différentiait l'équation (1) n fois de suite par rapport à t avant de faire l =^ 1, on trouverait, en se servant de la formule symbolique du numéro précédent,

'^^-^^y ^^-Yr{^^,y,-)-^rn[m—\)..\m — n^-\)f\^o:,y,...)

Exercices.

1 . Dérivées partielles et différentielles totales successives des fonctions :

2. Dérivées partielles d'ordre quelconque de f{çix -\-hy -f- (^)

()m\n f R. , ^, / = a»» /y" f'm\n) Z^,^. ±. Jjy .| c)

3. Appliquer le calcul de l'exercice précédent en supposant que f{u) soit une des fonctions :

e" , sinu, cosn, LogH,ctc...