Différentielle totale w'®"^® de u = arc tg

R. Différentions une première fois ; il viendra

du =

xdy — ydx

Cc'^ | yi

dx -\- idy dx — idy

œ + yi

puis, en différentiant encore [n — 1) fois,

[dx -\- idy Y

X ^- yi [dx — idi/Y'

[x — yiy^ J

L [00 -{-yi)'' Pour se débarrasser des imaginaires, on pose X -\-yi ^ r (cos 6 -f- ?■ sin 0) dx -\- i dy = ds (cos -f + / sin 'i).

On a alors

r ds\^ d>Hi ^ (— 1)"-^ {n — 1)! ( — ) sin n[-^ — 0),

On peut aussi calculer d'une manière analogue les dérivées partielles.

7. Différentielle totale n'"™* de w = Log\ .'/- 4- y'-. R. On trouve d'abord

du

dx -\- y dy 1 [dx -\- i dy dx — / dy

x^ + î/2 2 L .r -\-yi ' oc — yi J

On trouvera, par les substitutions de l'exercice précédent,

dn u ^ (— 1)"-* [n — 1)! f — J cos n ('f — 0).

Remarque. Les résultats des exercices 6 et 7 dérivent immédiatement du calcul de c?" Log z dans la théorie des fonctions d'une variable complexe.

8. 5/, dans le voisinage du point (.r, //), la fonction f{x, y) admet des dérivées pardelles f'^ et f'^ et si f' est continue, l'autre dérivée, f\^y., existera aussi et sera identique à f[',

R. Dans cette hypothèse plus restreinte, le raisonnement du n° 117 subsiste jusqu'à la formule

^{x-\-h)-^ [0:) = hk r;,^ {X + Oh, y + a.k).

Divisant par h et faisant tendre k vers zéro, il vient, par la définition de C3 dans le premier membre, et par la continuité de /"" dans le second,

Divisons par h et faisons tendre h vers 0, le premier membre aura pour limite /"''^ et le second f^ de sorte que nous obtiendrons la démonstration du théorème.

9. Si fl^ [x + h, y, z^.--)iencl vers une liynite déterminée quand h tend vers zéro, on aura toujours

r'cc {^' //' -'•••) = iim/";.('^' + -''^ y, 2,-).

R. Ce théorème se démontre immédiatement en faisant tendre 7i vers zéro dans la relation

C'est donc une propriété de la dérivée des fonctions d'une seule variable.

10. Si le point œ, y,--- est un point de discontinuité isolé de la dérivée seconde f' {x, y,---), c'est-à-dire s'il n'y a pas d'autre point de discontinuité dans un domaine suffisamment petit enveloppant ce point, on aura, 2^ourvu que ces limites eo:istent.

R. C'est l'application du théorème précédent

11. Déterminer, en appliquant le principe précédent-, les dérivées partielles du second ordre au point o: = ?/ ^ 0 de la fonction.

f{cr, y) = of' arc tg ^ — î/2 arc tg ^ .

R. On trouve en général

On en conclut

^;;(o,o)=.iim^;^(o,,/)^i.