Déterminer les dérivées partielles à l'origine de

r{'>', //, ^0 = (^- + ^Y arctg 1^- (// -zr arctg |±|

13. Déterminer directement les dérivées partielles des deux exercices précédents en recourant à la définition générale delà dérivée.

§ 3. Extension de la formule de Taylor aux fonctions de plusieurs variables.

131. Objet de la formule de Taylor. — Considérons une fonction f{i', </,...) de plusieurs variables. Celte formule a pour but de développer la différence f{n-{- h, b + A,--) — f{a, b,—) sous la forme suivante :

(1) /■(« + //, /; + /.-,-)-A«,^r-)--T,-l-T,+... + T„, + r" M, où l'on désigne par Ti, Ta,-- T71-1 des polynômes homogènes et de degrés respectifs 1, 2,---(m — i) par rapport aux accroissements h, A,.-des variables et par M une fonction de ces accroissements qui conserve une valeur finie quand la quantité

r = \'h^- -\-k-+tend vers zéro.

On emploie souvent la formule de Taylor dans l'hypothèse où h, k,-et, par suite, r ont pour limite zéro. Dans ce cas, r étant choisi comme infiniment petit principal (n° 17), les termes successifs de la fornuile seront généralement des infiniment petits d'ordres successifs 1, 2, 3, etc.

Le problème de trouver ce développement se ramène facilement à celui qui a été résolu pour les fonctions d'une seule variable. Pour abréger l'écriture, nous considérons seulement dans les démonstrations une fonction de deux variables.

132. Formule de Taylor. — Soit u = /'(.r, //) une fonction dont les dérivées partielles jusqu'à l'ordre ti sont bien déterminées jiour toutes les valeurs de x entre a et 0 + A et toutes celles de // entre b et b h k. Soit ensuite t une nouvelle variable indépendante ; posons

( œ = a -{- hl,

(2) I ^^^^ ^ ,,^ d'où // f[.v. !i) -^ ■. (/).

De la sorte, u est une fonction composée de / dont les dérivées seront bien déterminées jusqu'à l'ordre n inclusivement dans l'intervalle (0, I). Si l'on donne à /, entre ces limites, un accroissement It dt, raccroissemenl roirt'spdud.nit \ii de la fonction sera donné par la formule de Taylur {w STi cl il viendra

— Hl —

'■( fo< e < 1).

Les différentielles dx = hdt et dy = kdt étant constantes, les différentielles successives de f(œ, y) se calcuient par la formule symbolique du n° (120) et l'on a

(4) é''u-J^^a. + p„yn.,!i).

Posons t = 0 ei dt = [ ; W viendra par les formules (2) :

X = a, y = b, dx = //, dy = A'. On aura d'autre part,

\u = f{a + h,b + k)-f{a,b) et la formule (4) prendra la forme

Portons ces valeurs dans l'équation (3), nous trouverons la formule de Taylor :

j fia + h,b^ h—f[a, b) = ^«^ + ^"^Fy^^"' ^'^

133. Remarques. — 1° Cette formule résout la question proposée et ce développement satisfait à la condition que nous avons indiquée au n'' loi, pourvu que toutes les dérivées partielles de l'ordre n soient bornées. En effet, on peut alors désigner par M la limite supérieure de la somme des valeurs absolues de ces dérivées quand x et y varient respectivement entre a et a -}- h, b Qi b -\- k. Alors la valeur absolue du dernier terme ne peut surpasser la quantité

pui-sque \ h \ et | k | ne peuvent surpasser r. On voit donc que le rapport de ce terme à 7" conserve toujours une valeur finie.

2° La formule de Taylor est la seule qui jouisse des propriétés indiquées, car deux développements jouissant de ces proju'iétés doivent être identiques terme pour terme.

En effet, si l'on change h en ht et h en kt dans la formule (1), on aura, quel que soit t,

fia + ht, b + M)— fia, b) = ?T,+...+ P-^ T„i + f»r»M.

Or, d'après la démonstration faite pour une seule variable, deux développements de cette forme ne peuvent être égaux pour toute valeur de / que si T^, T,>... ont les mêmes valeurs, ce qui n'a lieu pour toutes les valeurs de h et k que si les polynômes Tj, Tg,... sont identiques.

134. Autre forme de la formule de Taylor. — Lorsque .r et y sont des variables indépendantes, on peut écrire h = dx, k = dy ; si l'on remplace alors a par x et b par // dans la formule (5), le résultat pourra se mettre sous la forme

d-f d'^~^f fd^ fi

^f{x, y) .= df+,^y-\- ... + ^,^:^YT+ Ll^J^- + Ur, y + <kly

seulement, ces différentielles sont maintenant des différentielles totales. La notation employée pour lu dernier terme signifie qu'il faut remplacer, dans les dérivées iV'"""^ qui entrent dans ce terme, x par x -\- h dx et y par // + ^ dy.

135. Formule de Maclaurin. — Celle-ci se déduit de la formule (5) en y faisant a = h =- 0, h -= x et k --^ y. Nous écrivons le résultat comme il suit :

Ces indices signifient qu'après avoir effectué le calcul de toutes les dérivées partielles, il faut remplacer dans ces dérivées x et // par 0. Par la formule de Maclaurin on développe donc la fonction en une somme de termes homogènes et de degrés croissants par rapi)ort à X et à //.

136. Ces résultats s'étendent d'eux-mêmes aux fonctions d'un nombre quelconque de variables. On aura ainsi, pour trois variables,

f{a-\-h,b\k,c-hl)=l[o,b,() \ l./'7)^+*J, + ^^c)/"("''''^') et ainsi de suite.

§ 4. Maxima et minima des fonctions de plusieurs

variables.

137. Fonctions de deux variables. — On dit qu'une fonction f{x, y) de deux variables indépendantes est maximum ou minimu7n pour un système de valeurs la, b) de ces variables, lorsque la différence

garde le même signe pour toutes les valeurs de h et de k inférieures en valeur absolue à un nombre positif e sutTisamment petit. Le maximum correspond au cas où cette différence est négative et le minimum au cas où elle est positive.

Les seuls points oii la fonction f{x, y) puisse être maximum ou minimum, sont ceux oii chacune de ses deux dérivées partielles -r^ et ~s'an-

^ dx dy

nule ou cesse d'exister.

En effet, si l'on pose, en particulier, k = 0, la différence t[a + li,b)-f[a,b) devra conserver le même signe quel que soit le signe de h, pourvu que l'on ait \ h \ < e, ce qui ne peut avoir lieu, comme on l'a prouvé dans le cas des fonctions d'une seule variable (n° 99), que si — s'annule ou cesse d'exister au point (//, b). De même pour l'autre dérivée partielle.

Admettons que les deux dérivées partielles du premier ordre de f{x,y) soient des fonctions continues; pour trouver les maxima et les minima de f{x, y), il iaudra donc poser les deux équations simultanées :

dx ' ôy En résolvant ces équations par rapport à x et à y, on trouvera généralement un certain nombre de solutions. Soit x = a,y = b l'un d'eux. Il reste à examiner si la fonction admet réellement un maximum ou un minimum en ce point. Voici la métliode à suivre pour trancher cette question.

138. Supposons qy\ef{x,y) et ses dérivées partielles des deux premiers ordres soient finies et continues au point (a, b). Développons la différence f [a -\- h, b + k) — f{a, b) par la formule de Taylor

en nous arrêtant aux termes du second ordre (n° 182). Il viendra, les dérivées premières étant nulles,

îT ('•' ê' + 2" ^ + '^ wy^" + «"• *+'«'•

Nous pouvons poser

(1) r = \¥ + A;2, h = r sin a, k^ r cos a,

de sorte que ;• est une quantité intiniment petite et a un angle arbitraire avec h et k. Ecrivons encore, en abrégé,

^ âa^ daob ab^

et désignons par •/] une quantité infiniment petite avec r. Les dérivées partielles étant continues au point (a, b), le développement précédent peut se mettre sous la forme

(A sin^a + 2 B sin a cos a + C COS^ a + ïi).

La considération de cette équation conduit aux conclusions suivantes :

1°) Si le trinôme

A sin'^ a + 2 B sin a cos a + C cos- a ne peut s'annuler, comme il est fonction continue de a, il conservera un signe invariable et sa valeur absolue restera supérieure à un nombre positif m. C'est donc ce trinôme qui donnera son signe au second membre de l'équation (3), dès que l'on aura | r, | <. wi, donc à partir d'une valeur suffisamment petite de r, quel que soit a. Il y aura maximum ou minimum selon que le trinôme sera négatif ou positif.

2°) Si le trinôme peut clianger de signe, connne il donnera encore son signe au second membre de l'équation (3), pour chaque valeur de a qui ne l'annule pas, à partir d'une valeur suffisamment petite de r, il n'y aura ni maximum ni minimum.

3*") Enfin, si le trinôme, sans pouvoir changer de signe, peut cependant s'annuler pour certaines valeurs de a, pour ces valeurs, le signe du second membre de l'équation (3) dépend de celui de r^ qui reste inconnu et l'on ne peut rien conclure.

Les caractères analytiques particuliers à ces trois cas sont Aiciles à indiquer :

— Uo —

Supposons A différent de zéro. Le trinôme peut se mettre sous forme de fraction, comme il suit :

(A sin g + B cos a)'' + (AC — B^) cos'' a A

1^) Si AG — B- > 0, le numérateur de cette fraction est une somme de deux carrés qui ne peuvent s'annuler ensemble et il est toujours positif. Donc le tiinôme ne peut s'annuler et a le signe de A. Il y a maximum si A < 0 et minimum si A > 0.

2°) Si AC — B- < 0, le numérateur aura des signes différents dans les hypothèses cos a = 0 et tg a = — B : A. Donc le trinôme peut changer de signe et il n'y a ni maximum ni minimum.

3") Si AC — B^ = 0, le numérateur se réduit à un seul carré, le trinôme, sans changer de signe, peut s'annuler. C'est le cas douteux.

Supposons encore que A soit nul. Le trinôme se réduit à cos a (2 B sin a 4- C cos a).

Si B n'est pas nul, cette expression changera de signe avec cos a supposé infiniment petit, et il n'y a ni maximum ni minimum.

Enfin, si A et B sont nuls tous deux, le trinôme se réduit à C cos^ a, qui peut s'annuler mais ne peut changer de signe. C'est encore une fois le cas douteux.

139. Remarque. — C'est uniquement pour rendre la discussion plus claire qu'on a remplacé h et k par r sin a et r cos a, mais cette substitution n'est pas nécessaire. Le raisonnement peut se faire directement sur l'ensemble des termes du second ordre dans la formule de Taylor, c'est-à-dire sur le trinôme

A /t2 + 2 B hk + C k^ et les résultats obtenus peuvent se résumer comme il suit :

1° Il n'y aura ni maximum ni minimum, si les racines de ce trinôme sont réelles et inégales.

2° Il y aura maximum ou minimum, si les racines sont imaginaires : maximum si A est < 0, minimum si A est > 0.

3° Doute, si les racines sont égales.

Pour trancher le cas douteux il faut faire intervenir les termes suivants de la formule de Taylor, mais cette discussion générale est assez difficile et ne peut trouver place ici.

140. Fonctions de plusieurs variables. — Une méthode semblable

s'applique aux fonctions de trois et d'un plus grand nombre de variables. Pour que f'{x,y, z) devienne maximum ou minimum au point (fl, b, c) il faudra (en laissant de côte le cas de discontinuité) que ses trois dérivées partielles f'^, f[^, f^, s'annulent en ce point, ou, ce qui revient nu même, que sa différentielle totale df soit identiquement nulle. En exprimant que ces conditions sont satisfaites, on obtient un système d'équations simultanées dont les solutions peuvent fournir des maxima et des minima. Pour s'en assurer, on remplacera x, y, z par a -{- h,b -{- k, c + / et l'on calculera d^f, c'est-à-dire l'ensemble des termes du 2« ordre en h, k, l Ce sera un polynôme bomogène du second degré, qui devra avoir un signe unique. On le transformera donc en une somme algébrique de carrés : i** Si tous ces cari'és ne sont i)as de même signe, il n'y aura ni maximum ni minimum ; 2° s'ils sont tous de même signe, il y aura minimum s'ils sont positifs et maximum s'ils sont négatifs, pourvu qu'ils ne puissent s'annuler en même temps que pour h = k = l = i)',^" dans le doute, c'est-à-dire si tous les carrés sont de même signe mais peuvent s'aimuler ensemble, il faudra faire intervenir l'ensemble des termes du troisième ou du quatrième ordre, et ainsi de suite.

141. Problème. — Trouver la plus courte distance de deux droites A et B de l'espace.

Soient «j, «2> <^3 les coordonnées d'un point a de la droite A et «j, «g, «3 les cosinus directeurs de cette droite ; les coordonnées 0:, y, :■ d'un point quelconque de cette même droite peuvent s'exprimer au moyen d'une variable indépendante u par les formules :

(A) ^^^z^=.lL=i^ = L^z^ = u.

«j a^ ag

De même, les coordonnées $, vj, Ç d'un point quelconque de la droite B s'exprimeront en fonction d'une seconde variable indépendante v par les formules :

où ^j, ^2, ^3 sont les coordonnées d'un point b et Pj, p2« ?3 l^s cosinus directeurs de la droite B.

Soit 0 la distance de deux points [x, y, z) et (S, tj, Ç) pris sui' chacune des droites A et B. On aura

(1) 5'^ = (i- xy 4- {r. - P]' + (^ - ::)'

C'est une fonction de u et de v en vertu des équations (Af et (B) et il faut on chercher le minimum. Pour cela, il faut animler ses doux dérivées partielles. En se servant des relations

(2) pn — y = P2V — «2" + (*2 — «2),

et en appliquant la règle de dérivation des fonctions de fonctions, on trouve ainsi

Ces équations sont susceptibles d'une interprétation géométrique immédiate. En effet, désignons par Xj, x^, Xg les cosinus directeurs de la plus courte distance S des deux droites ; on aura

(4) $ — a; =- 0x1 Tj — y = oxg, ^ — ^ = oxg

et les équations (3) peuvent s'écrire

^^^ ( -,Pl+^2P2 + T3P3 = 0.

Elles expriment donc que la plus courte distance est une perpendiculaire commune aux deux droites A et B. Les cosinus directeurs do la plus courte distance sont fournis par ces dernières équations. En effet, si l'on pose, en abrégé,

(6) Ti = a,83-a3P„ T, = a3Pi-a,P3, T3 =^ a,p, - .,p„

il vient

Tt T, T3 yTï + T^2 + Ti

La valeur de la plus courte distance elle-même s'en déduit aussi ; car, en additionnant les équations (4), multipliées respectivement par Xj, x^, Xg, il vient

S = .^ (ï ^) + .^ (r. - y) 4- Xg (C - z) ;

puis, en remplaçant les parenthèses par leurs valeurs (2) et en tenant compte des équations (5), on trouve

T,(*i-«i)+T2(62— a2) + Tg(63-a3)

VT? + Ti + T

Enfin, il reste encore à trouver les valeurs de u et de v correspondant aux extrémités do la plus courte distance. Four cela, on remplace dans les équations (3) les parenthèses par leurs valeurs (2) et l'on trouve, par les propriétés des cosinus directeurs d'une droite, les deux équations suivantes :

V ~2"^ ^ ^*^^^^'^'^^~""~^""^' où l'on a posé, en abrégé,

j q={b,- a,) Pi + (i, - a.) p^ + (63 - a,) %. On en tire

p — ^oos(A,B) ^ ;3oos(A,B)— y

^ ' sin2(A,B) ' sin=(A,B) '

ce qui achève la solution du problème.

Remarque. — On vérifie facilement que la solution précédente satisfait aux conditions analytiques d'un minimum. En effet, on tire des équations (9)

Donc la quantité représentée par AC — B^ dans la théorie générale est égale à 4 sin^ (A, B). Elle est positive et il y a minimum parce que la quantité A est positive.

Exercices.

R. Une solution : a; = 3, 11/ = 3 (minimum).