se, y] = x^ — 2xy- + i

R. Une solution : a; = 0,1/ = 0 (cas douteux). Comme la fonction peut se mettre sous la forme {x — y'^)'- — y^, on voit facilement -qu'il n'j a ui maximum ni minimum.

On remarquera que cependant la fonction d'une seule variable 'f [t) = f{ht, kt) est maximum pour ^ = 0 quels que soient les coefficicMits h et k. Cet exemple prouve donc, contrairement à l'affirmation de certains auteurs, que l'existence d'un maximum ou d'un minimum de /"(« f- ht, b -|- kt) pour t = 0 quels que soient k et À, n'entraine pas l'existence d'un maximum ou d'un minimum de f[x, y) au point [a, b).

4. Etant donné un triangle, trouver dans le plan du triangle un point 0 tel, que la somme des carrés de ses distances aux trois sommets soit un minimum.

- ii9 —

R. Soient («i, b^), [cio, b^), («3, b^) les coordonnées rectangulaires des trois sommets, {x, y) celles du poùit 0. On trouve

Le point 0 est le centre de gravité du triangle.

5. Etant donné un triangle, trouver dans le plan de ce triangle un point 0 tel, que la somme de ses distances aux trois sommets soit un minimum.

R. Conservant les notations précédentes, il faut rendre minimum la fonction

f[x, y) = ^ \/[aj-a;}"- + iy-b.r (/ = 1, 2, 3).

Soient i\, r^, r^ les droites joignant le point 0 aux trois sommets et 6j, 60, 63 leurs angles avec l'axe des x. On a, si les dérivées partielles s'annulent,

~ = cos 6, -}- cos 0., 4- cos 6. — 0.

L'axe des x étant quelconque, on en conclut que les trois droites rj, 7\, rg font entre elles le même angle. Le minimum a lieu au point où les trois côtés du triangle sont vus sous le même angle (120"). Ce point est facile à construire si les trois angles du triangle sont < 120°. Mais si l'un des angles, A par exemple, est > 120**, ce point n'existe plus. On montrera que, dans ce cas, le minimum a lieu quand le point 0 vient coïncider avec le sommet A du triangle. C'est un exemple remarquable où le minimum correspond à un point de discontinuité des dérivées partielles.