CHAPITRE IV

Fonctions implicites. Changement de variables.

§ 1. Théorèmes d'existence.

Les fonctions implicites sont celles qui sont définies par des équations non résolues. Nous commencerons par démontrer les théorèmes fondamentaux sur les conditions d'existence de ces fonctions.

142. Théorème I. — Soit F [x, y) une fonction de deux variables x,y. Supposons : P quelle s'annule au point Xq , y^ ; 2° qu'elle admette des dérivées p)artielles du premier ordre finies et continues dans le voisinage de ce point ; 5" que Fy ne s'annide pas en ce point. Je dis qu'il existe une fonction y = tp(a') qui se réduit à y^ pour x = x^ et qui, dans le voisinage de cette valeur x^, satisfait identiquement à l'équation

Cette fonction est unique et elle a pour dérivée '^'{x) = — F.t- : Fy.

D'après les hypothèses du théorème, on peut d'abord déterminer trois nombres positifs A, B et ô tels qu'on ait

sous les conditions

Ceci posé, donnons à x une valeur quelconque, assujettie à vérifier la condition \ x — X(^ \ < S et, en outre, la suivante

(1) A|^^-.rol < I>^^;

je dis qu'il y aura dans l'intervalle [y^ — o, y„ -f- o) une valeur de y et une seule pour laquelle on aura

En effet, si l'on pose en abrégé

X — XQ = h, y—y^==fi,

on peut appliquer la formule de Taylor bornée à un seul terme, ce qui donne

¥{x,y) = Y[x,y)-¥[x„y,) = (h ^ -\- k ^y (a.', + bh,y,-{- bk).

Le second membre aura des signes différents pour â = + o et pour ^ = — Ô, car, à cause de (L), c'est le second terme qui l'emporte sur le premier et qui donne son signe à la somme. Donc F(a;, y) a des signes différents pour y ^= y^ — k Qiy = y^^k. Mais F est fonction continue de y, elle s'annule donc pour une valeur de y comprise entre ces limites. Elle ne s'annulera d'ailleurs qu'une fois puisque sa dérivée F?/ ne change pas de signe dans cet intervalle.

La suite des valeurs de y qui vérifient l'équation Y[o:, y) = 0 quand ce varie dans l'intervalle que nous venons de considérer, constitue donc une fonction finie et bien déterminée de x dans cet intervalle.

Cette Ibnotion admet une dérivée bien déterminée. En effet, soient h et k les accroissements infiniment petits correspondants de ce et de y, on aura

F{x -{-h,y-\- k) - Fte, y) =^ ^A A [ a Aj F{cc + ^^ i/ + 6A) = 0.

On en tire

k F'^ia, -^ %h, y + U) ., . .. k F^