j -, d ou Imi — = p

à F-j,{œ + fih,y->r ^A' h p^

143. Théorème II. — Soit Fix, y, ... u) une fonction des [n -\- i) varicibles ce, y, ... k. Supposons : 1° qu'elle s annule au ]}oint (xq, y^i ••• ^*o) > ^ quelle admette des dérivées pat^ielles continues dans le voisinage de ce point ; 5*^ que F„ ne soit pas nulle en ce point. Je dis qu'il existe une fonction u des n variables x, y, ... qui satisfait identiquement à l'équation F ^= 0 dans le voisinage di', point (x^. y^, ...) et qui se réduit à u^ en ce point. Cette fonction est unique et elle admet des dérivées partielles.

Ce théorème se démontre comme le précédent. On peut d'abord déterminer trois nombres positifs A, B et ci tels que toutes les dérivées

dF dF dF

partielles ^r-, ^— , ••• soient < A en valeur absolue et -r— > B en valeur ox ôy du

absolue, tant que toutes les quantités {x — Xq), {y — y^), ... {u — Uq) sont < 0 on valeur absolue.

Ceci fait, posons

oc^Xf^-l-h, y = y^-\.k, ... u = u^-\-7n,

et donnons à x, «/, ... un système de valeurs quelconques, mais assujetties à vérifier les conditions | A | < o, | A | < o, ... et, en outre,

(1) A[| A| + I Al +...]<Ba;

je dis qu'il y aura dans l'intervalle (w^ — o, w^ + o) une valeur de u et une seule pour laquelle F[x, y, ... u) == 0. En effet, on a

F{x,y,...u)=^{h ±-\-k^^-...-\-m ^y[co,+^h,y,+^K...u,+hn)

et le second membre aura des signes différents pour m = + ^ et pour m = — 0, car^ en vertd de (1), c'est le dernier terme qui donne son signe à la somme. Donc F{x,y, ...ic) s'annule pour une valeur de w comprise entre Uq — 8 et «<, + ô et pour une seule, car F,, ne change pas de signe dans cet intervalle.

L'ensemble des valeurs de u qui vérifient l'équation F{x, y, ... u) = 0 quand ce, y, ... varient sous les conditions précédentes constitue donc une fonction bien déterminée.

Cette fonction admet aussi des dérivées partielles, car, comme celles-ci s'obtiennent en ne faisant varier qu'une seule des variables x, y, ..,, leur existence résulte du théorème précédent, ainsi que leurs valeurs

du

du ày

= T, etc.

144. Théorème III. — Soient Fj, F2, ... Fn w fonctions des m -{- n variables ce, y, ..., ît, v, w, ... Supposons : 1° que ces fonctions s' anémient au point [Xq, j/o, ..., Wg, Vq, w^, ...) ; 2° quelles admettent des dérivées p)artielles continues dans le voisinage de ce point ; 3° que le déterminant

dF\ dF^ dFj

du dv dic

dF^ dF^ dF^

j du dv dio

dFn dFn dFn du dv dio

tie s'annule pas en ce même point. Je dis qu'il existe un système de fonctions des m variables indépendantes x, y, ...se réduisant à u^, l'o, îOq, ... au point [x^, y^, ...) et qui substituées à la place de u, v, iv, ... satisfont identiquement aux équations F, = 0, Fg = 0, ... dans le voisinage de ce point. Enfin^ ces fonctions admettent des dérivées partielles.

Ce théorème se réduit au précédent quand il n'y a qu'une seule équation. Pour l'établir en général, nous pouvons donc admettre qu'il ait déjà été établi pour n — 1 équations et montrer qu'il subsiste alors pour n.

Désignons par J,, Jj, ... J„ les mineurs relatifs aux éléments de la première colonne de J ; on aura

du

du

du

Comme J ne s'annule pas au point (a'o, J/o, ...)» '^ ^*"t que l'un au moins des mineurs ne s'annule pas en ce point et nous pouvons supposer que ce soit Jj.

Or, le théorème est supposé s'appliquer pour [n — 1) équations. Donc, Ji étant différent de zéro, il existe un système unique de [n — 1) fonctions :

(2) u = y {x, y,... ic), w =- W {œ, y,... u),...

de m + 1 variables indépendantes o-,y,...u, se réduisant à Uq, i^?q,... au point {xq, 2/o)---)> admettant des dérivées partielles et satisfaisant identiquement aux yi — 1 équations

(3) F2(^,l/,...w,V,W,...)=0,..., F„Ky,...w,V,W,...) = 0.

Si l'on substitue ces fonctions dans la relation Fj = 0 qui reste seule à vérifier, elle devient

(4) F, (^;, j/,. . u, V, W,...) = $ {x, y,... ic) = 0.

En vertu du théorème !!, il existera une fonction u et une seule des tn variables x, y,... se réduisant à Uq au point Xq, i/o,... satisfaisant à l'équation précédente dans le voisinage de ce point et admettant les déri-

vées partielles, pourvu que -y- ne s'annule pas en ce point. Mais cette

condition est réalisée. En effet, on a

d^ dF, dFy dY dF, dW du du dv du- âic Ou

Multiplions cette relation par Jj et ajoutons membre à membre avec les identités ci-dessous, multipliées respectivement par JojJg,..., identités qui s'obtiennent en dérivant par rapport à ic les relations (3) :

Q^àF^ dF^ dY dF^ <JW

du dv du dic du '^""'

0 = ^ I ^^3 ^V , ^F3 dW du dv du dw du

Il viendra, par l'équation (1) et les propriétés des mineurs d'un déterminant,

Ji 3— = J dou -— = j : j du du ^

Donc, puisque J et Jj sont différents de zéro, -r— l'est aussi.

du

Si l'on substitue dans les équations (2) la fonction u dont l'existence vient d'être établie, on obtient pour w, v, lo,... un système de fonctions de 0:, y,... qui satisfont à toutes les conditions requises dans l'énoncé du théorème,

§ 2. DiflTérentiation des fonctions implicites.

145. Les fonctions implicites sont celles qui sont définies par des équations non résolues. Dans le paragraphe précédent, on a indiqué

sous quelles conditions on peut s'assurer de l'existence de ces fonctions et de leurs différentielles du premier ordre. Cette existence une fois admise, la détermination des dérivées et des différentielles des fonctions implicites se fait sans aucune difficulté par l'application des principes généraux.

146. Dérivées et différentielles du V ordre. — 1° Considérons d'abord la fonction implicite y d'une seule variable a;, définie par une équation unique

Différentions totalement cette équation (n° 128), il vient

-T— ax + -T- dy = 0 dx dy

et l'on en tire, pourvu que F^ ne soit pas nul,

. F'cr , dy y'a;

^ f; dx Y\j

ce qui fait connaître la dérivée et la différentielle de y au moyen des dérivées partielles de F.

On peut aussi obtenir la dérivée de y sans passer par la différentielle. On observe que F (x, y) est une fonction composée dr x qui demeure constante quand on y remplace y par sa valeur <p {x) tirée de l'équation F = 0. Donc sa dérivée sera nulle et il vient par la règle du n" H3

dx dy dx '

équation d'où l'on en tire aussi -p. Quand on opère ainsi, on dit souvent que l'on dérive totalement l'équation proposée par rapport à x.

2° Soit maintenant m une fonction implicite des variables indépendantes X, y,... définie par l'équation

¥ix,y,...7i) = 0.

Différentions totalement cette équation ; il vient

3— flvi- + 3- du -\ h -r- du ^ 0.

dx ây ^ au

On en tire l'expression de la différentielle totale

^^^ ¥'^dx-\r?udy+- ¥'u

Les dérivées partielles de u sont les coefficients de dx, de dy,... dans cette équation. On a donc, pourvu que F» ne soit pas nul,

du F.r du __ y',, dx

-, etc.

¥'u ' ày Fh

D'ailleurs ces valeurs s'obtiennent par le même calcul que dans le premier cas, en considérant toutes les variables indépendantes, sauf une seule, comme des constantes et u comme nne fonction d'une seule variable.

3° Considérons maintenant le cas où l'on a m fonctions u, v,... d'une seule variable indépendante x, définies par m équations I F,- [x, u, V,...) -=0

On en tire, en difTérentiant totalement les m équations,

ôx

du

dv-[-.^0

du ' ôv

Soit J le déterminant formé avec les coefficients de du, dv,.

savoir

du dF^

du

dv

dF,

dv

Si ce déterminant n'est pas nul, on tirera des équations (2) les valeurs de du, de dv,... sous forme de fractions ayant pour dénominateur commun J. En divisant par dx, on aura les dérivées. D'ailleurs ces dérivées peuvent aussi s'obtenir, sans passer par les difTérentielles, en dérivant totalement les équations (1) par rapport hx, ce qui revient à diviser les équations (2) par dx.

4° Passons maintenant au cas le plus général. Soient u, v,... m fonctions implicites de n variables indépendantes x, y,..., définies par m équations simultanées

( Fi {x,y,...,u,v,...) = 0 ( (i=i,2,...m)

En différentiant totalement ces équations, il vient

/ dFi , . dF, ,

~T-^ dx H r-^ dy ^

(2) ] àx ^ dy ^ ^

, dF, , , dFi , ,

• + -— ^ du -\ r— dv +•

du dv

Soit, comme dans le cas précédent, J le déterminant formé avec les coefficients de du, dv,... dans ces équations. Si ce déterminant n'est pas nul, on peut résoudre les équations (2) par rapport à du, dv,... On obtiendra ces différentiplles totales sous forme de fractions ayant J pour dénominateur et dont les numérateurs seront linéaires par rapport à dx, dy,... Les dérivées partielles d'une des fonctions seront respectivement les coefficients de dœ, dedy,... dans la différentielle totale de cette fonction. Elles s'expriment donc rationnellement au moyen des dérivées partielles des fonctions F^ par rapport aux vtriables A-, y,... u, v,... et elles ont pour dénominateur commun J. On peut aussi les obtenir directement comme dans le cas précédent, en considérant u, v,... comme des fonctions de x seul, de y seul, etc.

147. Dérivées et différentielles successives. — Les dérivées et les différentielles du deuxième ordre, du troisième, etc.. s'obtiennent par l'application des mêmes principes, en différentiant ou en dérivant totalement deux fois, trois fois..., l'équation ou les équations proposées. Aucune notion nouvelle ne s'introduit, mais il faut observer que, dans ces différentiations successives, lesjlifférenlielLes premières des variables indéjiendantes doivent être traitées comme des constantes, tandis que les différentielles des fonctions sont ellesmêmes des fonctions ayant des différentielles successives que l'on désigne par les caractéristiques d, d-,...d" , et qui sont précisément les inconnues que l'on cbercbe.

Soit d'abord à déterminer les dérivées successives d'une fonction y de X, définie par une seule équation V{x, y) = 0. On a, en dérivant successivement,

dl dldy^^ dx dy dx

< dx^ '^ "dxdy dx '^ ây''\dxj "^ dy dx^

La première équation donne \)y^ la deuxième D"// après qu'on a remplacé D.y par sa valeur, la troisième donnerait i)^y après y avoir remplacé Dj/ et Wy par leurs valeurs et ainsi de suite.

Passons ensuite au cas le plus général où l'on considère m fonctions n, V,... des n variables indépendantes a-, j/,..., définies par les m équations

On en tire, en différentiant de proche en proche, les systèmes successifs :

Le premier système donne, comme nous le savons, les différentielles totales du, dv,... Portant ces valeurs dans le système suivant, on en déduit les différentielles dhi, d^v,... et ainsi de suite. On a chaque fois à résoudre un système d'équations linéaires. Les inconnues sont du, dv,... dans le premier système, dm, d'^v,... dans le second, etc.. On remarquera que le déterminant des coefficients des inconnues est le même dans tous ces systèmes. C'est le déterminant J que l'on suppose différent de zéro pour que les équations soient résolubles.

Les dérivées partielles d'ordre ;; des fonctions u,... s'obtiennent encore par le principe du n° 121 en identifiant la valeur obtenue pour dPu,... avec l'expression générale de cette différentielle

D'ailleurs on peut aussi déterminer directement ces dérivées par des dérivations totales successives effectuées sur les équations proposées par rapport à chacune des variables indépendantes. Toutefois le procédé par différenlialions totales successives sera généralement plus pratique.

Exercices.

1. Calculer les dérivées sui^cessives de la fonction y de x définie par l'équation

Log \lœ^ + y^ ^ arc tg ^.

^ d^^ x + y d^y 2 cc'~ -f if

dx X — y' dx- "^ [pc — y)^

2. Dérivées successives des fonctions y et z de x définies par les deux équaiions

dy^ z — x d^y 3^^ — a" dx y — z dx^ [z — y)^'

3. Différentielles totales et dérivées partielles de la fonction z des variables x et y définie })ar l'équation

R. dz = —

4. Différentielles totales et dérivées partielles des fonctions z et m de a; et y définies par deux équations

^; + j/ + ^ -h i< = a, oc^' -\-y- -\- 2- + u^ = ^.

R dz ^ {u — oo)dx^{u — y)dy ^^^ ^ {z — cc)dx+{z — y)dy^

5. Etant données 2 équations entre quatre variables x, y, ii, v on peut considérer n, v comme fonctions de x, y ou x, y comme fonctions de u, v. Les dérivées partielles de ti, v dans la première hj'pothèse, celles de x, y dans la seconde, vérifient les équ?tions

du dx dv dx Ole dy dv dy ^ dcc du dx dv ' dx du dx dv '

et deux aut}'es analogues qu'on obtient en permutant x et y dans les précédentes.

§ 3. Maxima et minima des fonctions implicites.

148. Fonctions implicites d'une variable. — Soit y une fonction de x, définie par l'équation non résolue

Il s'agit de déterminer ses maxima et ses minima. Nous supposons ici que la fonction F' et ses dérivées partielles sont bien déterminées et continues et nous considérons seulement les valeurs de 5; pour lesquelles y et ?es dérivées satisfont aux conditions de continuité.

Les valeurs de x qui correspondent à un maximum ou à un minimum doivent d'après le théoième du n° 99 annuler dy : dx. L'équation (1) donne

d.r dy d.r

et on en conclut, dy : dx étant nul,

dV

On cherclie donc les systèmes de valeurs de x et y qui satisfont à lu

fois aux équations (1) et (2). Il restera à discuter ces diverses solutions d'après le signe de dMj : dx"^.

En dérivant une deuxième fois l'équation (1) et en observant que dy : dx = 0, on trouve

dx^ dy dx^

ÔF Si l'on suppose -y- différent de zéro, il y aura donc :

6^F dF Maximum, si -^; — et-^r— sont de même siffne ; ôx- dy

Minimum, si ces dérivées sont de signes contraires ;

Doute, si -.r-T = 0.

ox-

149. Maxima et minima relatifs d'une fonction explicite de deux variables. — Soit f [x, y) une fonction de deux variables, liées entre elles par une équation

en sorte que /"ne dépend en réalité que d'une seule variable, par exemple oc. Il s'agit de déterminer ses maxima et ses minima. Ceux ci sont ce qu'on appelle des maxima ou des minima relatifs.

En supposant toujours satisfaites les conditions de continuité, on est donc conduit à annuler la dérivée totale de f{x, y), y étant considérée

comme fonction de x. D'autre part -j^ s'obtient en dérivant l'équation

F i^^f y) ^ 0. On ti'ouve ainsi les deux équations

d'où l'on tire

dœ dydx ' dx dy do: '

à/^àl d/^dF^ dx dy dy do:

Cette équation combinée avec F = 0, donnera les systèmes de valeurs de o:, y pour lesquels f peut devenir maximum ou minimum. La vérification pourra se faire au moyen du signe de d^f.

150. Cas général. — Supposons enfin que l'on cherche les maxima et les minima d'une fonction f {o^, y,... u^ f,...) de m -\- n variables liées entre elles par n équations

de sorte que /"ne dépend en réalité que de m variables indépendantes, par exemple o-, y,... Laissant de côté les cas de discontinuité, tout système de valeurs de ces m variables qui rendra f maximum ou minimum devra annuler sa difféientielle totale (no 140'. D'autre part, les équa-

tions (1) peuvent être difFérentiées totalement. On est donc conduit à poser le système de [n -\- l) équations.

i dos dij ^ du

j dx ôy -^ du

Entre celles-ci, on peut éliminer les différentielles du, dv,... des n variables dépendantes. L'équation résultante sera de la forme

Udx + Nc/^ +••• -= 0 et, comme elle ne renferme plus que les m différentielles arbitraires, elle se décompose en ni autres

qui, jointes aux n équations (1), constituent un système de [m + i^) équations simultanées entre les (w -\- n) inconnues a-, y,... u, v... En résolvant ces équations, on trouvera les systèmes de valeurs des inconnues qui peuvent rendre /"maximum ou minimum. Il restera à discuter ces valeurs au moyen du signe de d-f ou par toute autre méthode, cette discussion étant généralement très compliquée.

151. Méthode des multiplicateurs. — L'élimination des différentielles entre les équations (2) du numéro précédent se fait généralement de la manière la plus commode par la méthode des multiplicateurs, qui introduit plus de symétrie dans les calculs. On multiplie respectivement les équations (2), hormis la première, par des facteurs à déterminer /.[, Xg,... X„j, puis on additionne toutes ces équations (2) membre à membre. On trouve un résultat de la forme

Adx -\- Bdy -\—-\- Pdu +... = 0.

On imagine que l'on dispose des m facteurs arbitraires ). de manière à faire évanouir dans cette équation les coefficients P,... des m différentielles du,... qui ne sont pas indépendantes. Alors il ne reste plus dans l'équation que des différentielles arbitraires, de sorte que les autres coefficients doivent également s'annuler. On est ainsi conduit à annuler les coefficients A, B,... P,... de toutes les différentielles, ce qui fournit m -f- n équations.

dx ^ dx ^ dx

du^ ' du ^ ' du

Les systèmes (1) et (3) renferment en tout 2m + n équations, qui serviront à déterminer les valeurs des m + w variables x, y,...u,...et des w facteurs inconnus Xj, \,... \n-

Remarque I. — Le système (3) est le même que celui que l'on forme en cherchant les maxima et les minima de la fonction $, définie par l'équation

*!> = /■+ >M Fi + ).,F, + ... + X,,,F,,„

et dans laquelle on considère œ, y,... u,... comme des variables indépendantes et \, ^a»"- '-m comme des constantes.

Remarque II. — La considération de la fonction <I> est aussi commode pour la discussion du signe de d~f. En effet, l'équation fl> = /"est une conséquence des équations (1) ; on a donc, en vertu des mêmes équations, d-f^ d-^. D'autre part,

d^-^ = d^fJr \ 'l-F, -\ {- y^d^F;n.

Remplaçons dans le second membre les différentielles secondes par leurs expressions générales

(/2F = (~doc H H ^du + ••. Y F -^^d^u + ...

\.dj^ du ' J ' du '

Les termes en d^u, dH,.,. disparaîtront en vertu des équations (3) et il restera

V a:o ou J

On peut donc remplacer d'f^zxd^^, qui se calcule encore comme si toutes les variables étaient indépendantes. Bien entendu, pour la discussion du signe de d}f, il faudra peut-être encore éliminer les différentielles premières du,... des variables dépendantes. Mais l'introduction de <ï> a eu pour avantage d'éliminer immédiatement leurs différentielles secondes.

Exercices.

1. Trouver la route que doit suivre un rayon lumineux pour aller d'un point A à un point B dans le moindre temps possible. Ces points sont situés dans deux milieux distincts où les vitesses de la lumière sont respectivement u et v. On suppose plane la surface de séparation des deux milieux.

R. On voit de suite que cette route est dans le plan mené par A et B normalement à la surface de séparation. Soient a et b les distances de A et de B au plan de séparation, x et ij les angles respectifs du rayon incident et du rayon réfracté avec la normale à ce plan. La fonction qui doit être un minimum est

/•/ \ ah

' wcosa; V cos y

avec la condition

a ig X -^-h tg y -^ const.

On trouve sin x -. sXny == u : v.