Problème analogue pour une surface du second degré
8. Partager le nombre positif a en trois parties x, y, z telles que / = a;"^^" z-Psoit maximum (m, n,p étant positifs) .
OQ '\l 'X CL
R. On trouve facilement — = i^ = — = — - — — - — . Le caractère m n p m -\- n -\- p
d'un maximum se vérifie immédiatement car on a, pour ces valeurs de
§ 4. Changement de variables.
II arrive fréquemment que l'on doive transformer les expressions différentielles en substituant de nouvelles variables aux anciennes. Ces calculs se font par l'application des règles générales de différentiation. Mais il peut être utile d'indiquer un procédé systématique pour effectuer les transformations les plus uGuelles. Nous commencerons par résoudre une question préalable.
152. Dérivées successives d'une fonction par rapport à une autre fonction. — Jusqu'ici, tant qu'il a été question des dérivées successives de y par rapport à a;, on a choisi x comme variable indépendante et supposé dx constant. On a, dans ce cas,
La première formule subsiste, même si x est une fonction d'une autre variable indépendante (n° 61, V). Mais il n'en est plus ainsi des suivantes qui supposent dx constant (n° 74). Nous allons donc calculer les dérivées successives de y par rapport à x au moyen des différentielles successives de ces deux variables, sans choisir x comme variable indépendante. Il suffit d'appliquer les règles générales de différentiation et l'on trouve, par un calcul de proche en proche.
^^ dx
(1) < n* d.D^y dx dxdy — dyd'x dx ~ dx ~ dx^
P 3 d. \)%y dx[dxdSi—dyd^x) — M'x{dxd'y — dyd'x) dx ~ dx^
et ainsi de suite. La loi générale est assez compliquée.
Supposons maintenant que la variable indépendante soit t et propo sons-nous d'exprimer les dérivées successives de y par rapport à x au moyen des dérivées successives de x et de y par rapport à t. En désignant par des accents les dérivées par rapport à ^ on a les formules
dx = x'dt, d"-x^x"dt\ d\x =^ x'"dt\... dy = ij'dt, dHj=^y"dt\ dhj = y"'dP,...
Substituons ces valeurs dans les formules précédentes, dt disparaîtra du résultat, car les seconds membres de ces formules sont homogènes et de degré 0 par rapport aux indices de difîérentiation. Il viendra donc
^Ty = K "^ x'
(2) JDl.y=^ ^
153. Fonctions d'une seule variable. — Soit y une fonction de la variable indépendante x et
iT p, dy dHi .
une expression renfermant x, y et les dérivées de // par rapport à .r jusqu'à un certain ordre. La transformation de cette expression par un changement de variables donne lieu à deux problèmes principaux :
1°) Changement de la variable indépendanle. Etant donnée une relation
entre x et une nouvelle variable t, on choisit / comme nouvelle variable indépendante au lieu de x. Il s'agit d'introduire t nu lieu dex dans V et, par suite, les dérivées de // par rapport à / au lieu des dérivées par rapport à x.
Ce problème peut être résolu au moyen des formules (2) où l'on trouve les valeurs des dérivées de // par rapport à .r en fonction des dérivées x\ x"..., y', y"... de x et de y par rapport à t. Après avoir remplacé les dérivées x\ x"... par leurs expressions ^' (0, f " (0»"« tirées de (4), on substituera ces valeurs dans V. Il ne restera plus qu'à éliminer x par la substitution x=^'f (0 ; le problème sera résolu.
2°) Le deuxième problème est celui du changement de toutes les variables. Etant données deux équations
Y[x,\j.t,u)^Q, F,{x,y,t,u) = 0 entre x, y et deux nouvelles variables t, u, on demande d'exprimer V au moyen de t, u et des dérivées de u par rapport à /. Dérivons totalement les équations données par rapport à t, en considérant x, y, u somme des fonctions de t prise comme variable indépendante. On en déduit de proche en proche (n^ 146) les valeurs des dérivées x\ y', x'\ y",... ûe X eiy par rapport à t en fonction de x, y, u, u', w",... Substituons ces valeurs dans les équations (2), nous obtiendrons des expressions de Dxy, D^^,... que nous porterons dans V. Il ne restera plus qu'à éliminer x,ySi\i moyen des équations F-=0 et Fj = 0. Le problème sera résolu.
Ce cas se présente lorsque, une grandeur géométrique étant exprimée en coordonnées rectangulaires x ei y par une expression telle que V, on veut la transformer en coordonnées polaires r et 9 par les relations
^=rcos9, î/=rsin6.
Les accents désignant des dérivées par rapport à 8, on a, dans ce cas,
a;'=r'cos8 — rsinO, 2/'=r'sin94-rcos6,
x"~r"cos^ — 2r'sin6— rcos9, </" = r"sin9 + 2r'cosO — rsinô
et les relations (2) deviennent
r'sin9 + rcos9 ^2 r^ + 2r'" — rr"
''^~ r'cose-rsinG' ^^^~ (r'cosO — rsinO)^' ^^^•
Substituant ces valeurs de x, y, D^y,-.. dans V, on aura résolu la question.
154. Fonctions de plusieurs variables, — Nous supposerons, pour abréger, qu'il n'y ait que deux variables indépendantes, mais la méthode sera générale. Soit H une fonction des deux variables indépendantes x et y et
(5) Y-f(a^yE^ ^ ^ )
(0) \-f{x,y,ti,^^, ^^, ^^.,,...)
une expression renfermant les variables et les dérivées partielles de H jusqu'à un certain ordre. Comme dans le cas précédent, la transformation de cette expression par un changement de variables donne lieu à deux problèmes principaux.
1° Chcmgement clés variables indépendantes. On donne deux relations entre x, y et deux nouvelles variables u, v.
(6) Fi [x,\i,u,v) =0 F, [oc,y,UyV) = 0
On choisit u.,v comme variables indépendantes au lieu de x^y et l'on demande d'introduire ii,v au lieu de x,y dans V et, par suite, les dérivées de H par rapport à u.v au lieu de celles par rapport à x,y.
11 faut d'abord exprimer les dérivées partielles de H par rapport kx,y en fonction des dérivées par rapport à u,v. On y arrive comme il suit : Prenant x^y comme variables indépendantes, on difFérentie successivement les équations données Fj = 0 et Fg = 0. On en déduit, de proche en proche (n° 147), les valeurs de du, dv, d-u, d-v,... en fonction de X, y, u, V, dx et dy. Portant ces valeurs dans les expressions suivantes des différentielles de H (n" 120) :
/ ,„ ÔE , . OR , I «H = -.r— du -A — 7— dv, i ou dv
(7) 1 d^R =(4^ du + 4- dv\R -h ^ d^u + ^ d^v. Kou dv J ou Ov
on trouve, en réduisant,
[ dR = p dx -{- q dy, (8) \d~R =r dor + 2 s dx dy 4- 1 dy^ ,
où p, q, r, s, t, ... renferment x, y, u, v et les dérivées de H par rapport à u, V. Les variables x, y étant indépendantes, on en conclut (n^ 121)
dR dR fPR
Ce sont les expressions des dérivées partielles qu'on se proposait d'obtenir.
On porte ces valeurs dans V et on élimine, s'il y a lieu, x, y par les équations (6). Le problème sera résolu.
2° Changement de toutes les variables. On doinie trois relations
entre .'•, //, H et trois nouvelles variables u, v, K. On demande d'exprimer V en fonction de u, r, K et des dérivées partielles de K considérée comme fonction de u, v.
Choisissant x, y comme variables indépendantes, on dilfércntie totalement les trois équations données et on en tire, de proche en proche, les valeurs des dillerentiolles successives de u, v, K, en fonction des différentielles de x, y, H. Les différentielles de K en particulier, sont de la forme
' rflv = A dx 4- B rfy 4- C c/H, (10) d'K = D dx' 4- ... -h E rfH2 4- F dm,
où A, B, C, D, ... sont des fonctions connues de .'■, y, H, i>, v, K.
D'autre part, portons les valeurs analogues trouvées pour du, dv, d^u, d^v, ... dans les formules générales
Ou ov
(11) \ y.r- f à , d , \„ , dK ,, , dK ,,
Il viendra, en réduisant,
/' dK =- M dx 4- N ^?/ + P c?H, (12) î d^K = Q rfa?2 H H R f/H2 + S c/'^H,
où M, N, P, Q, ... contiennent linéairement les dérivées partielles de K par rapport à u, v.
En égalant les valeurs (10) et (12) de dli, d^^K, ... il vient
(M — A) dx + (N — B) dy + (P C) o?H = 0,
(Q — D) dx^ H h (R — E) tm- + (S — F) dm = 0,
La première équation donne dH. Portant cette valeur dans la suivante, on en tire d^, et ainsi de suite. Les résultats sont de la forme
dR = p dx -\- q dy,
dm = r dx'- -\- 2 s dx dy -]- t dy''-,
oùp, q, r, ... sont des fonctions rationnelles connues des dérivées de K par rapport k ic et y. On conclut de ces relations
On portera ces valeurs en V. On éliminera, s'il y a lieu, x, y, H par les relations F, = Fj = Fg = 0. Le problème sera résolu.
155. Problème I. — Soit H une fonction de deux variables x, y , On demande die transformer l'expression
,r àm , dm
par les formules de transformation des coordonnées rectangidaires en coordonnées j)olaires dans le plan :
(14) X = u cos V, y = u sin v.
C'est le premier des deux problèmes résolus au numéro précédent. Suivant la méthode générale, on différentie les équations données et il vient
dx = (cos v) du — (sin v)udv,
dy = (sin v) du + (cos v) u dv.
On en tire
, , { du = cos V dx -f- sin v dy
' \u dv ^= — s,inv dx -\- cos v dy
et, en différentiant de nouveau,
d^u = ( — sin V dx -\- cos v dy) dv = u dv^
dudv -{- u d^v = — (cos v dx A^ sin v dy) dv ^= — du dv.
On a donc
d^u = Il dv-, d-v = — 2 .
Portant ces valeurs dans la seconde formule (7), elle devient
Il reste à remplacer du et dv par leurs valeurs (15) et à ordonner par rapport à dx et dy. La quantité V sera la somme des coefficients de dx' et de dy"^. Or, la somme de ces coefficients est égale à l dans le développement de du^, à 0 dans celui de dic c?y et à 1 : ii^ dans celui de dv"^. On a donc immédiatement
(1^) ~ du"- ^ u^ dV '^u du
156. Problème U. — Soit H u^ie fonction de trois variables x, y, z. Transformer l'expression
(17) v-^ + ^ + ^ ^^*' dx' ^ dy"' ^ dz''
par les formules de titans formation des coordonnées rectangidaires en coordonnées polaires dans l'espace :
(18) a; = ^tsin^ccos^?, y^^usinwainv, z^ucosto.
On simplifie le problème en faisant la transformation en deux fois. Posons d'abord u sin to = u^ et éliminons x, y par les relations
(19) a! = ?<iC0sy, y = u^im.v.
On aura, par la solution du problème précédent,
dm. d-'A ^d-'A 1 d'H 1 c)H '^ ' dx"^ "^ dy"" du\ "^ u\ dv' "^ u^ du,
Eliminons ensuite z et u, par les relations
(21) z = ucoaio, Ui=ua'mw.
On aura
dm . dm dm . i dm . idn
dz-' ^ dul du^ M* dw^ ^ udu
Ajoutant membre à membre les équations (20) et (22), il vient
dm . dm . dm dm , i ^'-h , i <^h
dœ- dy- dz" du- ic^ dic^ u du
ti- dv- z<j diii
dH
Il faut encore exprimer -r — au moyen de u, iv par les relations (21).
Pour cela, on forme les valeurs suivantes, analogues aux valeurs (15) : du = cos ic dz -\- sin iv dii^, tcdio = — sin lo dz -\- cos xodu^ ; on les substitue dans l'expression
oH = -V- du -f 3— dio Ou dio
et, en cherchant le coefficient de du^, on trouve
dH ^H . , IdH
^r = ^r— Sm^^H r— COSî^?.
ou^ au u dio
Portant cette valeur dans (23), on a finalement
,„,, ^, dm ^2 d^ , 1 ,^(?2H , cosîc dK\ , 1 dm du^ u du u~ \ dic- sm lo dioj u^sm^w dv^
157. Problème m. Transformation de Legendre. — Dans certains cas, les relations qui lient les nouvelles variables aux anciennes renferment aussi leurs dérivées. La transformation de Legendre en est un exemple remarquable.
Soit c une fonction de deux variables indépendantes a?, y. On pose
dz dz
On suppose qu'il n'y ait pas de relation entre p et q et l'on se propose d'exprimer les dérivées secondes de z par rapport à œ et k y en prenant p, q comme nouvelles variables indépendantes, et comme nouvelle fonction, la variable u définie par l'équation
(1) it=pœ-\-qy—z.
En difFérentiant cette relation et en observant que l'on a
(2) dz = pdx -\- q dy ,
il vient
du==xdp -\-ydq.
On en conclut, p ei q étant indépendants par hypothèse,
du du
dp dq ^
puis, en différentiant ces deux relations,
Les différentielles <^a; et dy étant arbitraires dans ces deux équations, on en conclut que le déterminant
est différent de zéro par hypothèse. Par suite, ces deux équations peuvent se résoudre par rapport à. dp e{ k dq et il vient
Portant ces valeurs dans la différentielle totale
d'^z = dpdx-\- dq dy,
obtenue en différentiant l'équation (2) et en considérant x^ y comme les variables indépendantes, dx et dy comme constants, on trouve enfin
,, \ \ d"u dhi d^u J
d'z = -r^ —T—r dx- — 2 -T — :^ dx dv -\- -^r—-dy- H Vdq^ dpdq ^ dp- ^ J
Cette formule résout la question. On en conclut
dx^ ~~ H dq"- ' dx dy ~ W dp dq dy'^ ~ H dp^ '
Exercices.
1. Exprimer les dérivées de y par rapport à x en fonction des dérivées x\ x", ... de iK par rapport à y.
1 o x" 3 3 x"' — a?V" R. D.^y = — p. D}ry = ^> D:,-y = 1^ > etc.
2. Transformer, en prenant y comme variable indépendante, l'équation
dx dx^ \ dx"^ J
R. On trouve x'" = 0.
