CHAPITRE V

Intégrales indéfinies. Méthodes classiques d'intégration.

§ 1. Procédés généraux d'intégration.

158. Problème des quadratures. — Le calcul intégral est l'inverse du calcul différentiel. Il a pour objet de remonter des relations données entre les variables et leurs différentielles aux relations qui existent entre les variables seulement.

La première question traitée dans le calcul différentiel était de trouver la dérivée ou la diflérentielle d'une fonction donnée [{x). Le calcul intégral doit débuter par la question inverse :

Une fonction f{x) étant donnée, trouver toutes les fonctions qui ont f{x) pour dérivée ou, ce qui revient au même, f{x) dx pour difjerentielle.

Ce problème a reçu le nom de Problème des quadratures, d'après le problème de géométrie auquel il est étroitement lié et que nous étudierons plus loin. On doit d'abord se demander s'il existe toujours une fonction ayant pour dérivée f{x), ou si le produit de f[x) par dx constitue toujours une différentielle. Nous prouverons bientôt, en exposant la théorie des intégrales défiries, qu'il en est bien ainsi dans tout intervalle où la fonction f[x) est continue. Nous admettrons provisoirement ce résultat dans le chapitre actuel et nous supposerons une fois pour toutes que la condition de continuité est réalisée dans les théorèmes généraux que nous allons énoncer.

159. Fonction primitive. Intégrale indéfinie. — Une fonction F (.r) qui a/' (a) i)our dérivée ou f{x] dx pour différentielle s'appelle une fonction primitive de f{x) ou une inté(jrale de f{x) dx.

La connaissance d'une seule fonction primitive de f{x) fournit la solution complète du problème des quadratures. On a, en effet, le théorème suivant :

Soit f[x) une fonction continue, si F {x) a pour dérivée f{œ) daiis un intervalle (a, b), l'expression

F (x) + C, où C est une constante arbitraire, représente, dans cet intei'valle, toutes les fonctions qui ont pour dérivée f{x).

En effet F (j-) + C a pour dérivée fix); et, réciproquement, toute fonction qui a f{x) pour dérivée, avant la même dérivée que F {x), ne diffère de F {x) que par une constante (n° 71).

D'après cela, la fonction F [x] -\- C où C est une constante arbitraire, est la fonction la plus générale qui ait f{x) pour dérivée et f{x) dx pour différentielle. Cette fonction se nomme Yintégrale indéfinie de f [x) dx et se représente par la notation

\nx) dx,

qui comprend implicitement la constante arbitraire.

160. Propriétés des intégrales indéfinies qui résultent immédiatement de leur définition. — 1° Par définition de l'intégrale indéfinie, on a la relation

d f(x)dx =f{x) dx.

Donc les signes d et \ se détruisent quand le signe d est placé devant le second.

Pareillement, par définition,

D ^ f(x)dx^f{x).

2° F (x) étant une fonction primitive de F' {x), on a

F' [x) dx = F {x) + C.

Cette équation peut aussi s'écrire

j* rf F (:i;) = F (x) + C

Donc les signes d et f se détruisent encore devant F [x) quand le signe d est le second, mais il faut ajouter une constante arbitraire à la fonction F(^).

S» Un facteur constant peut être mis hors du signe d'intégration. C'est-à-dire que, si a est constant, on a

i af{x)dx = a\ f [x) dx.

En effet, les deux membres ont af(x) pour dérivée. Donc ils ne peuvent différer que par une constante. Mais, comme ils comprennent tous deux une constante arbitraire, ils ont le même sens.

4° L'intégrale indéfinie d'une somme de différentielles est égale à la somme des intégrales de chacune des différentielles. Ce théorème est exprimé par la formule

( {u-\-v — w-\ — )da: ^ I iidx + 1 vdx — wdx -\- •••

En effet, les deux membres ayant la même dérivée [u-^v — w-] — ), ne pourraient différer que par une constante ; mais, comme leur définition comporte une constante arbitraire, ils ont la même signification. Il est vrai qu'il y a en apparence plusieurs constantes arbitraires dans le second membre, car chaque terme en comporte une à lui seul, mais, comme ces constantes s'ajoutent ejitre elles, elles se réduisent en réalité à une seule distincte.

161. Intégration immédiate. — Les résultats trouvés dans le calcul dilïérentiel permettent d'écrire immédiatement les intégrales de quelques différentielles simples. En effet, lorsque, dans l'expression à intégrer, on reconnaît la différentielle d'une fonction connue F {x), il suffit d'ajouter à celle-ci une constante arbitraire pour obtenir l'intégrale. Cette remarque, appliquée au lableau des différentielles des fonctions élémentaires, conduit à former le tableau suivant, qu'il importe de bien posséder par cœur :

|'^''^-l|â + ^ |e'rfx = .- + C

I sin X dx = — cos x -\- C 1 cos x dx =^ sin x -f C

(J^ = i^x + C (J^ = - cot X -h C

j cos- X ^ J sm- X

=-= arc tg ;i- + C -= — arc cot x -}- C