f-a-' dx
= arc sin x -\- C = — arc cos x + C
= arc sec x + C -- — arc cosec x -f C.
x\l \—x- Nous allons indiquer maintenant les principaux artifices à l'aide
desquels on peut ramener l'intégralion des différentielles plus compliquées aux formules du tableau précédent. Ces artifices sont au nombre de trois : 1** Décomposition en éléments simples ; 2° changement de variables ; 3° intégration par parties.
162. Intégration par décomposition. — C'est l'application de la propriété énoncée au n° 160 (4"). Si l'on peut décomposer la différentielle f{jc) dx en une somme de termes que l'on sait intégrer, en faisant la somme des intégrales de chaque terme, on obtiendra l'intégrale de fix) dx.
Si f[x) est un polynôme entier, l'intégrale s'obtiendra par cette méthode, car on a
Ua^ + UiX+a^x" i \-anX'')dx=aç,x^a,^ ^ +""^j^pf+C;
Cette méthode s'applique aussi à d'autres fonctions. On a, par exemple,
r dx /"(sin- X H- cos^ x] dx ^ Ç dx Ç dx j sin- X cos' X j sin- x cos- x j cos- x j sin'
-^—^ -, — = tg X — cot J- + C
' sin' X cos- X ^
163. Intégration par substitution. — Cette méthode est basée sur la règle de dérivation des fonctions de fonctions.
Soit ¥{x) une intégrale de f{x)dx. Proposons-nous de l'exprimer à l'aide d'une nouvelle variable t, liée à x par l'équation
Cette intégrale deviendra F[cp<£>] qui a pour différentielle
¥'['f{t)]dr^{t)=-f['f{t)]'^'(t)dt.
Donc on a réciproquement
/■[cp(0] 'V (/) dt = Ff'^(0] + C = F [x) + C et, par conséquent,
|/U:)(/.r= |/]cp(OJv'(0(//.
Ainsi, pour obtenir l'intégrale de \\x)dx exprimée en fonction de t par la substitution a; = cp [l), il suffit de faire cette substitution dans la différentielle qui est sous le signe d'intégration.
On voit donc fjue, si l'on peut choisir la substitution de manière à
ramener f{x) dx à une forme que l'on sait intégrer, on obtiendra l'intégrale en fonction de t. Pour l'exprimer en fonction de x, il suffira d'y
remplacer t par sa valeur tirée de ^i' = cp [t).
t On obtient ainsi, par la substitution x = -,
y oj a a
De même, par la substitution x = -r-'
C dx [ f dl 1 . . , n 1 t ^-"^ , n
„ , ,., „ = —r T-r-^ = -r arc tg f + G =- — p arc tg h C.
j a^ -h b\Tr abj i + 1- ab ® ab ^ a
De même, par la substitution x — p = qt, on obtient l'intégrale que nous rencontrerons bientôt :
C q dx Ç dt t ^ , r. 4 ^ — P ^ n
Remarque. — Dans les cas simples, il est inutile d'introduire de nouvelles lettres et la substitution se fait mentalement. Ainsi, on peut écrire immédiatement, sans passer tout au long par la substitution
cp [x) = t,
C'est ainsi qu'on écrira directement
Ç dx 1 Çd (a -{- bx) 1 , , u \ , n
r ^ix-p)dx (d [{x-pr- + q']
J (x - pY -^q^-j > - PY +Q' ~ ^^^ ^^ +5J+G.
164. Intégration par parties. — Cette méthode est une conséquence de la règle pour dillérentier un produit. Soient u et v deux fonctions de .r, on a
d uv =^u dv -\- V du,
d'où Il vient donc
u dv — d.uv — V du.
\udv ~ d. uv — V du.
Mais le premier terme du second membre est égal h uv -f C et,
comme cette constante G peut être comprise dans le second terme, il reste simplement
u dv = uv — \v du.
Celte formule renferme la règle d'intégration par parties. Elle ramène l'intégration de u dv à celle de v du qui peut être plus facile.
Soit, par exemple, à intégrer xe^dx. On pose x = u et e^' = v (d'où ^'^dx = dv). Il vient alors
\xe''dx -= .re-^ — j e-^7k == xe'^ — e^-\-G.
165. Combinaison de diverses méthodes. — On doit souvent employer successivement plusieurs des méthodes précédentes pour effectuer complètement l'intégration. En voici quelques exemples :
1") En intégrant d'abord par parties et ensuite par substitution, on trouve
f , , , C ^^-^ ♦ Log(14-,x-2) , ^ I arc tga; dx = ^arc Ig ^' — | ^j-^, = a»'c tg^- ^^ — '- + C.
2<*) On trouve, en intégrant d'abord par décomposition et ensuite par substitution,
Ç dx 1 /' dx , 1 f dx __ 1 , a + hx , j o'—b^'x^- ~ 2âJ a-{-bx ^ 2âJ T-bx ~ 'M) *^^"^^^ + ^'
3") Par la substitution x = a sin cp, il vient d'abord dx\ja'^—x^ = «2 cos^çprfcp
Ensuite, en efllèctuant la décomposition par la formule
l-l-cos2cp cos^çp- ^ — >
il vient
aY , sin2cpA
Enfin, en revenant à la variable x, on trouve
I (/j: \V'' ~ -^ = T ^""^^ ^'" rt "^ — 2 ^
166. Formules de réduction. — Pour lixer les idées, nous considérerons un exemple. Soit à intégrer x'^e'^^dx. Appliquons la formule
d'intégration par parties, en considérant e"^dx comme une ditîérentielle dv (n° 164) ; il viendra /
! a aj
Cette formule ramène l'intégrale du premier membre à une intégrale de même forme, mais où l'exposant n est abaissé d'une unité. Si n est entier et positif, cette formule s'applique de proche en proche en changeant successivement n en (» — J). (»— 2),... jusqu'à ce que l'exposant de x soit abaissé à zéro. Il n'y a plus alors qu'à intégrer e"^dx, ce qui se fait immédiatement. Une formule telle que la précédente, qui s'applique de proche en proche et qui permet de simplifier de plus en plus l'intégrale proposée jusqu'à ce qu'on sache l'intégrer, est ce que l'on nomme une formule de réduction. Nous en rencontrerons de nombreux exemples.
167. Dérivation par rapport à un paramètre. — Soit /" (^, a) une fonction de la variable x et du paramètre a ; supposons qu'on ait obtenu, en considérant a connne une constante indéterminée,
Je dis que l'on peut en déduire, en dérivant par rapport à a sous le signe J ,
(2) (l)a f{x, a) dx = D, F {x, a) + C.
Cette règle suppose seulement que les conditions de continuité des dérivées pai-tielles de F qui assurent l'égalité F^^ = Fax soient vérifiées (n" 117).
En effet, les dérivées par rapport à la variable x des deux membres de l'équation (2) sont respectivement
\)af{x,a) et D.r- D„ F (j;, fl). Ces deux dérivées sont égales, car on peut intervertir par hypothèse D.r et D« , et l'on a
D.r .1),, F {x, rt) - D« .D^ F [x, a) ^ D„ /' [x, a) .
Les deux membres de l'équation (2), ayant même dérivée, ne diffèrent que par une constante par rapport à x. Mais, comme ils comprennent tous deux une constante arbitraire, ils ont exactement le même sens.
Le résultat précédent peut être généralisé. En dérivant successivement l'équation (2) par rapport à « et en admettant toujours que les conditions de continuité des dérivées partielles considérées restent vérifiées, on voit que l'on peut aussi conclure de l'équation (1) à la suivante
(3) (d'cI f{x, a) dx =-- D^^ F [x, a) + C.
La règle précédente fournit un des procédés les plus commodes pour la détermination des intégrales. Nous allons en donner quelques exemples :
1°) On a
ooœ
Toutes les conditions de continuité supposées sont remplies, pourvu que a soit différent de zéro. En dérivant n fois par rapport à a et en observant que l'on a
il viendra, par la règle précédente,
x'^e^'^dx^Ba-j+C.
Cette intégrale a été obtenue autrement au n° 166.
2°) Soitrt > 0; on a, comme cas particulier d'un résultat précédent (no 163),
dx 1 4 ^' , n
T^arctg^r-T^ + C.
Les conditions de continuité ont lieu, pourvu que a ne puisse s'annuler. Dérivons donc « — 1 fois par rapport au paramètre a et observons que
Dr^r^^=(-ll
x^-\-a ' ' [x' + ay nous obtiendrons, après division par ( — l)"-*(?i — 1)!,
Les formules (4) et (5) ramènent le calcul d-s intégrales proposées dans les premiers membres à des déterminations de dérivéeset fournissent pour ces intégrales des expressions très condensées. Elles s'appliquent aussi bien au cas où l'on donne à a des valeurs particu-
Hères. La formule (5), par exemple, fournit un procédé élégant pour calculer l'intégrale classique
Ç dx
Seulement, il faut effectuer les n dérivations par rapport à a avant de faire a = 1 dans celte formule. Toutefois, le procédé le plus commode pour calculer celle intégrale en pratique n'est pas celui-là. Il résulte d'une formule de réduction que nous ferons connaître plus tard (n« 185).
168. Variabilité de forme de l'intégrale. — 1° L'intégrale d'une même fonction peut s'écrire parfois sous des formes en apparence très différentes. Cela provient de ce que l'on peut séparer de la constante arbitraire une constante déterminée pour la réunir à la fonction intégrale. Ainsi, au lieu de l'expression habituelle
\-\-x-' on pourra écrire
arctga; + C,
j—j:, = (arctga:+arctg 1)4- C = arctg|-y. f- C
et ces diverses formes sont équivalentes.
2°) L'intégrale d'une même fonction peut se présenter sous des formes analytiques difterentes, lorsque x varie dans des intervalles dinérents. Celte remarque s'applique à l'intégrale
dx
= Log(a-— r/)-f C.
Les quantités négatives n'ayant pas de logarilluno réel, cette formule suppose X > a. Si x < a, on aura
f dx Ç dx . . . . ^
— =— = Log </ — .r) + C.
Jx — a Ja—x "^
La forme de celle intégrale change donc suivant que .r est > n ou que X est < a. Afin de ne pas revenir à chaque instant sur cette distinction, nous conviendrons, une fois pour toutes, que, lorsque la valeur d'une intégrale renferme un logarithme, la quantité sous le signe logarithmique sera prise en valeur absolue.
— iM —
Exercices.
1°) Par substitution.
\&maœdx = \-G \-. =Logtga; + C
U/-i =arcsin- + C U/-r s-— V« .c i-»^
2°) Par décomposition.
rtg2rcrfa;=tga7— a;4-C '' \dx Wldl^ == arc sin a; — Vl — ^- + C
r ^ « T l^sinôa? , sin4£(7 , sin2a; ^ , r^ eosrccos2a;cos3a;rta; = -l — ^ 1 j 1 x \-x j-\-L>
/Vi- 1 1
+ 2Logtga; + C.
sin^iccossflî 2cos^a; 2sin^a7 3°) Par parties.
dx arc sin x^ x arc sin a; + \l — x- + G
arc sin a; t-7=^^ = a; — Vl — ^^'^ arc sin a;
a; tg a; + Log cos x-\-C
cos^ a;
r , e«^(sina; + «cosa^) , ^ e^^cosxdx = — , ' ^ + C
4°) Combinaison de divejses méthodes.
rSjx^—a^ ^^ \J^^i^^^^ arccos - + C J X ^
c/a; «a; 4- ^ Log (g cos a; H- ^ sin a-)
a-\-bXgx~ a^-\-b'^
a? tg'^a; rfa; = a;tga> -h Log cos a^ 9"^^
avcs'mxdx a; arc sin a; , 1 ,, ,, , r« ^arctga;^^ e« '"•<=»« ^ (a + a?)
(l + a?2)3/2 (l+a2)yi+-^
x^arcigxdx , , 1 . , 1, /i r ..x 1 n
— OT^— = arc tga; (a; — ^ arc tg a;) — ^ Log (1 + a;^) + C
N. B. Les trois derniers exercices se ramènent à d'autres qui précèdent, le premier par la substitution x = sin cp et les deux autres par la substitution x == tg o.
§ 2. Intégration des fractions rationnelles.
169. Décomposition de la fraction à intégrer. — Soit à intégrer l'expression
où f{,v) et F(j') sont des polynômes entiers à coefficients réels. Quand /(.r) n'est pas de dei^ré moindre que F(j), on commence par elTectuer la division. Le quotient /(.r) : F(.i) se décompose en une partie entière et une fraction proprement • dite. L'intégrale de la partie entière s'obtient inmiédiatement (n° 1(52) et l'on est ramené à intégrer une fraction proprement dite.
Suj)posons donc que l'expression à intégrer ait été débarrassée de sa partie entière et que f{x) : V{x) soit une fraction proprement dite. Décomposons F(.r) en ses facteurs linéaires et soit
Y {œ) = [a- — a)'' {.i — bj^...
On sait en déduire (n» 105) la formule de décomposition de ('(x) : F(.r) en fractions simples.
Supposons que cette formule soit la suivante :
^ x — b ^ {x—bf^ ^ + •••
Sous celte forme la fonction est préparée pour l'intégration. Nous rangerons les termes de la décomposition en deux catégories. La première catégorie comprendra tous les termes de la première colonne où le dénominateur est du premier degré. La seconde catégorie comprendra tous les autres termes où le dénominateur est de degré supérieur au premier. 11 n'y aura donc de termes de la seconde catégorie que si F(.r) a des racines multiples.
170. Intégration dans le cas des racines réelles. — Si toutes les ra-
cines a, b,... sont réelles, tous les termes de la décomposition sont immédiatement intégrables et on obtient la formule d'intégration
(2) < +BiLog(.r-ft) ^
[x-br
L'intégrale se compose d'une partie logarithmique et d'une partie rationnelle. La partie logarithmique est la somme des intégrales des termes de la première catégorie et la partie rationnelle la somme des intégrales des termes de la seconde catégorie.
171. Intégration dans le cas des racines imaginaires. — Si toutes )es racines ne sont pas réelles, si, par exemple, les racines a, b, ... sont imaginaires, les logarithmes qui figurent dans la formule (2) n'ont plus de sens, au moins jusqu'à présent, et nous verrons dans un instant par quoi il faut les remplacer. Mais il n'y a rien à changer aux autres termes de la formule d'intégration qui sont rationnels. En effet, ce sont bien des fonctions primitives des termes correspondants de la formule de décomposition, à condition de se placer au point de vue plus général de la différentiation des fonctions d'une variable complexe. D'ailleurs les imaginaires ne jouent qu'un rôle transitoire. Il suffit de faire la somme de ces termes pour rendre à l'intégrale la forme réelle. Nous allons montrer, en effet, que, x étant réel, les imaginaires se détruisent.
Les coefficients de F [x] étant réels, à toute racine imaginaire a correspond une racine conjuguée b du même degré de multiplicité. La loi de formation des coefficients de la formule de décomposition montre ensuite (n° 106) que les coefficients Ai etBi, A, etB2,...sontdeux à deux des imaginaires conjuguées. Donc les fractions qui sont écrites sur la première ligne dans la formule (2) sont les conjuguées des fractions écrites immédiatement en dessous dans la seconde ligne et, par conséquent, leur somme sera réelle.
Les termes de la seconde catégorie s'intègrent donc de la même façon que les racines a, b, ... soient réelles ou qu'elles soient imaginaires. Il n'en est plus ainsi pour les termes de la première catégorie. Lorsqu'il y en a d'imaginaires, il faut, avant d'intégrer, commencer
par ajouter deux à deux les tenwjfe conjugués. Cela fait, nous allons montrer que l'intégration se i'ainilc suite. Soient encore a, h deux racines imaginaires conjuguées. On pourra poser
a^p -\- qi, b :^p — qi, Aj -= M + Ni, Bj = M — Ni, les quantités p, q, M, N étant réelles. Il vient alors, en ajoutant les termes conjugués,
Al Bi M+Ni M — Ni ^m[x—p) — q N
X — a .r — b X — p — qi .v — p -\~ qi " [x — pY + q-
Cette somme est réelle, et il vient
J\x—a x — bj J [x—p)^ -h </' J {x — W + q
Ces intégrations ont été effectuées au no 163. On trouve
^ ^jrtb) ^^ == ^ Log [{x-py + q'] - 2 N arc tg ~^.
Des résultats précédents, on conclut le théorème fondamental suivant :
172. Théorème. — L'intégration d'une fonction rationnelle peut toujours être effectuée au moyen des fonctions élémentaires. L'intégrale se composera généralement d'une partie transcendante et d'une partie rationnelle. La fraction à intégrer étant débarrassée de sa partie entière, la partie rationnelle résulte de l'intégration des fractions simples de la seconde catégorie ; elle n'existe que si le dénominateur F [x) a des racines multiples. La partie transcendante résulte de l'intégration des fractions simples de la première catégorie ; elle se compose exclusivement de logarithmes si F (x) n'a que des racines réelles ; elle peut, en outre, comprendre des arcs tangentes si F [x) a des racines imaginaires.
173. Détermination directe de la partie rationnelle de l'intégrale. — La méthode exposée dans les numéros précédents sullit déjà pour effectuer en pratique l'intégration des fractions rationnelles. Mais, dans le cas oîi l'intégrale a une partie rationnelle, ce n'est pas celle qui donne lieu aux calculs les plus simples. En effet, la détermination des coefficients de la formule de décomposition est laborieuse dans le cas des racines multiples, surtout si ces racines sont imaginaires. La méthode que nous allons indiquer et dont le principe est dû à Hermite, permet de trouver directement la partie rationnelle de l'intégrale et d'achever le calcul par l'intégration d'une fraction rationnelle dont
le dénominateur n'a plus que des racines simples. La décomposition se fait alors très simplement par la formule générale du n" 108. Cette méthode repose sur les considérations suivantes :
Faisons la somme des termes de la première catégorie dans la formule de décomposition (1). Nous trouverons une fraction proprement dite X : P, où le polynôme P a pour valeur
(4) P = {x—a) [jc — b] ...
D'autre part, faisons la somme de tous les termes rationnels dans le second membre de la formule d'intégration (2), nous trouverons aussi une fraction proprement dite Y : Q, où le polynôme Q a pour valeur
La formule d'intégration (2) peut alors s'écrire
Dans cette formule, Y : Q et X : P sont des fractions proprement dites et le polynôme P n'a que des racines simples. Je dis qu'une décomposition qui possède ces caractères n'est possible que d'une seule manière.
En effet, si l'on avait deux décompositions semblables, savoir
on en déduirait, en dérivant,
VQ qJ p, p Supposons qu'on remplace chacune de ces fractions par son développement en une somme de fractions simples. Il faudra que toutes ces fractions simples se détruisent dans chaque membre. En effet, comme la dérivée d'une fraction simple est toujours une fraction de la seconde catégorie, le premier membre ne peut plus contenir après la dérivation que des fractions de la seconde catégorie, tandis que le second ne contient, par hypothèse, que des fractions de la première. Ces fractions doivent donc disparaître, car on sait que la décomposition en fractions simples n'est possible que d'une seule manière. On en conclut donc
X = Il X Xi
Q Qi' P" P.
et les deux décompositions supposées sout les mêmes.
La remarque précédente permet de déterminer directement Y : Q et X : P par la métliode des coefficients indéterminés. En effet, dérivons la formule (6) ; il viendra
^ ' ¥{x) vq; ^ P
Le polynôme Q, défini par la formule (5), est le plus grand commun diviseur entre F et sa dérivée et s'obtient par des calculs lationnels. Le polynôme P, défini par la formule (4), est le quotient de F par Q et s'obtient aussi par des calculs rationnels. Les deux polynômes P et Q étant connus, on remplacera dans la formule (7i X et Y par des polynômes à coefîicients indéterminés, de degré immédiatement inférieurs à ceux de P et de Q respectivement. En effectuant la dérivation indiquée et en multipliant la formule (7) par ¥^ç= PQ, il viendra
O'P /■(a) .-= PY' - Y ^ + QX.
On voit de suite, Q'P étant multiple de Q, que le second membre est un polynôme de degré immédiatement inférieur à celui de F. En égalant les coefficients des mêmes puissances de d' dans les deux membres, on aura le nombre d'équations linéaires nécessaire et suffisant pour déterminer les coefficients inconnus de X et de Y.
Remarque. — La métliode précédente permet de trouver la partie rationnelle de l'intégrale sans résoudre l'équation ¥{x) = 0. Elle met immédiatement en lumière un fait important. C'est que la partie rationnelle de l'intégrale est rationnelle non seulement par rapport à la variable d-, mais aussi par rapport aux coeflicienls de /(.r) et F(.r). Celte même remarque s'applique à la fraction X : P, qui reste à intégrer pour obtenir la partie transcendante de l'intégrale.
174. Application. — Pour mieux faire saisir la méthode d'intégration précédente, nous allons l'éclaircir par un exemple. Soit à intégrer la fraction
ru-) __ 1
¥{x} (x8 — i)« Puisque ¥(a:] a des racines multiples,jLlniégi'ale a une partie rationnelle^ On commencera par la déterminer pai* la méthode du numéro précédent. Le polynôme Q de la théorie générale s'obtient en diminuant d'une unité l'exposant des facteurs simples de F(.r) ; il sera donc égal à a-^ — 1, car cette fonction n'a que des racines simples. Donc P
— iol —
est aussi égal à i-"' — 1. Les polynômes inconnus X et Y seront, par suite, du second degré. On posera, pour les déterminer, la formule dx ax^ -\-hx -\r c C dx^ -\- ex ~\- f
Ç dx ax^ -[- bx 4- c , /
dx.
On égale les dérivées des deux membres et on chasse les dénominateurs. Il vient i = (or^ — 1 ) (-2 ax -t- 1>\ — 3 x- {ax- -\- bx ~\- c) -\- 'x^ — 1 ) [dx- + ex + /) .
L'identification des deux membres fournit le système d'équations :
d + .3 c = 0. d -h 2 rt = 0, f+b = — \,
d'où l'on tire les valeurs des coefficients inconnus :
rf = 0, a = 0, b = — \:ii,
On aura donc
1* dx 1 X 2 r dx
^°^ J (x^ — iY ~ 3 x^^^ ~ 3 J x^^^ '
On a ainsi obtenu la partie rationnelle de l'intégrale et il reste à en calculer la partie transcendante. Celle-ci exige la reclierche des racines de x^ — 1, qui n'a plus que des racines simples. Ces racines a, b, c, ont pour valeurs :
— l-fiV3 , . . — l-i\3 ,
On a la formule de décomposition
Les coefficients se calculent par la règle du n° 108. La dérivée de x^^ — 1 étant Sx- et a^ étant égal à un, on a de suite
et, de même, B = M — N i, C = -. Il n'y a plus qu'à appliquer la formule (3). On trouve
J a^^:r-i = - 6 Log {x^ + ^+ D- Y arctg-p- -f ^Log(.f-l)-hC.
Portant cette valeur dans (8), il vient enfin
dx 1 X , 2V3 2a; + l
-1;2 ~~Sx^-\^ 9 ^'^^^ V3
+ 9Log
175. Méthode de Hermite. — Les résultats obtenus au n° 17y peuvent être établis directement i)ar la méthode suivante, indiquée par Hermite, qui se rattache au procédé de décomposition du n° 109 et qui ne s'appuie pas sur la résolution de l'équation F (a?) = 0.
Après avoir mis, comme au n° 109, F [x) sur la forme
où les polynômes Pj, P,,... sont sans racines multiples, on en déduit par des calculs rationnels (n" 109)
w Y[x) p^^ p|^ vy
Pour intégrer la fraction rationnelle, on aura donc à intégrer une ^omme de fractions proprement dites, du type général
où le polynôme § n'a que des racines simples.
Cette intégration peut se faire de la manière suivante :
On n'observe que ^, n'ayant que des racines simples, est premier avec
sa déiivée ^'. On déterminera donc par des calculs rationnels deux
polynômes A et B, satisfaisant à la condition
On en tire
r <i C TA ^'
J ^» "^^ -= J B rfa; + J - ^ dx,
ensuite, par une intégration par parties,
r^- dx = i^dx — ^- ^ + -^
On peut abréger cette formule en convenant de représenter par
la valeur de 1p. fraction algébrique — débarrassée de sa partie entière. Les parties entières devant se détruire dans l'équation précédente, on aura
dic.
C'est une formule de réduction qui ramène l'intégration de la fraction proposée à celle d'une fraction de même forme mais où l'exposant n est
— lo9 —
abaissé d'une unité. En l'appliquant de proche en proche, on pourra réduire l'exposant n jusqu'à l'unité. Il vient alors, par l'addition des parties déjà intégrées, M et N étant des polynômes, 1 ... ^
dx =- -^.+ I -gT do:
On appliquera ce procédé de calcul à chacun des tei'ines de la formule (9) sauf le premier. On ajoutera d'une part les parties intégrées, d'autre part les fractions sous le signe d'intégration. On obtiendra le résultat trouvé au numéro précédent :
dx = —-{- j — dx.
Exercices.
