X- dx 1 , 0: — 1 V

(3 x^ -\-x — 2)dx 3 ^ a;2 + 1 ^ , 5 à' — 6 , ^

\^ 1)3 (^T-+Ty- - I Log --^ - arc tg.' + ^^-^ + C

dx 1 (1 + ^^)^(1+0. + ^^) 1 ,,,t-'^^^+^-

2, Soit f{x) un polynôme de degré < n ; démontrer la formule

R. C'est une application de la méthode de dérivation du n°l67.

On a, P(a^, a) désignant un polynôme de degré < n par rapport à a,

On intègre par rapport à x, puis on dérive [n — 1) fois par rapport à « ; on trouve la formule proposée.

3. 8011/(5;) un polynJme de degré < 2 w. On le met sous la forme Ci [x^) -\- x'\> (x^) où C5 et 'I/ sont des polynômes en 0:^. Soit a > 0 ; on aura

R. Solution analogue à la précédente,

§ 3. Intégration des irrationnelles algébriques

176. On a vu clans le paragraphe précédent que l'intégration des différentielles rationnelles peut toujours se faire au moyen des fonctions élémentaires. Il n'en est plus ainsi pour les différentielles irrationnelles, sauf dans des cas particuliers. Lorsque cette intégration est possible, elle se fait généralement par l'un des deux procédés suivants : 1") ou bien on rend la différentielle rationnelle par une substitution de variables, ce qui i-aniène au cas précédent; 2°) ou bien on établit une formule de réduction qui fait dépendre l'intégrale cherchée d'une intégrale plus simple, celle-ci d'une autre plus simple encore, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on arrive à une intégrale connue. Nous rencontrerons d'abord des applications de la première méthode.

177. Théorème. — Si a, b, c, d sont des constantes quelconques; a, |3,... des exposants rationnels et R {x,y,z,...) îuie fonction rationnelle de X, y, z,..., Vintégrale

est réductible par une substitution rationnelle à celle d'une différentielle rationnelle.

Soitjn le plus petit commun dénominateur des fractions a, [i,... et t une nouvelle variab'e; la substitution

ex -\- d a — cP" ^

rendra la ditlerentielle rationnelle. En effet, l'intégrale devient ainsi

^R^(/),^"^ /'"/,... Ip' {t)dt

et la diftérentielle sous le signe intégrale est devenue rationnelle, car 0 (/) et, par suite, p' (/) sont des fonctions rationnelles de / et les exposants ma, mp,... sont entiers. L'intégration se fera par les procédés du paragraphe précédent. On reviendra, s'il y a lieu, à la variable x par la substitution

'^'.r.r + rf

Dans les applications, on rencontre souvent le cas où la fraction {ax -h b) : {ex 4- d) se réduit à l:i variable x elle-même ou à une fonction linéaire de x, comme dans les exemples suivants :

Par la substitution œ = t^, il vient

*• =st' — 'S Log (1 + r- ) + c

= Sx"^— 3 Log (1 + x^} + C.

Par la substitution .r — l = t-, il vient

ix^ 2 ('(r-' + 1)3 dt ^ 2f [4- + 3 -^ + ^-' + ^ J Vif— 1 .' L 7 5

178. Différentielles qui renferment la racine carrée d'un polynôme du second degré. — Soit Pi [x, y) une fonction rationnelle de x et de y; si l'on y fait

y =^ s/ a -\- bx -\- ex- , rintégrale

I R {X, y) dx

est réductible par une substitution rationnelle à celle d'une différenUelle rationnelle.

la transformation doit être choisie de manière à éviter l'introduction des imaginaires quand les données sont réelles. On y arrivera par l'une des deux substitutions suivantes :

1") Si les racines de {a + bx + cx^) sont réelles, la substitution est fournie par le théorème précédent. Soient, en ertet, a et ,3 ces deux racines, il vient

y = \^j^^yJJ^^Zrf) ^ (^. a) Y ^^]f J7^^) .

Donc // et, j)ar suite R (.r, y) sont des fonctions rationnelles de x et de ce dernier radical. La rationalisation se fera par la substitution

2°) Si les racines de [a |- bx h ex') sont imaginaires, le coellicient c devra être positif pour que le radical soit réel, sinon le trinôme, ayant toujours le signe de c, serait constannnent négatif et sa racine imaginaire.

Donc, quand les racines sont imaginaires et, plus généralement, quand c est positif, on peut poser

d'où l'on tire, en élevant au carré et en remplaçant y- par sa valeur,

a-\-bx = t- ± 2te \/c.

Cette relation est linéaire par rapport à x. On en tirera donc, p (t) désignant une fonction rationnelle,

x^ ^ [t), dx =- p' (t) dt, y = t± ç> [t] Vc.

On substituera ces trois valeurs dans l'intégrale et la fonction à intégrer sera rendue rationnelle. Après l'avoir intégrée, on remplacera t par sa valeur

i = \/a -hbx-\- cx^ rp X \lc.

Remarque. — Lorsque le coefficient a est positif, la seconde substitution s'appliquera, après avoir remplacé x par -, car on aura

v/ — r-ï. — , ô \/az- + bZ'{-c

\ a-\-bx -{- ex- = — — — -4 ' —

et le coefficient de z^ sera positif. La différentielle sera rendue rationnelle, en posant

\iaz^ -\-bz-]-c = t ± z \ a.

Cette transformation revient à poser, sans passer par l'intermédiaire de z,

y =- \/ a + bx -]- ex" = ± Va + tx. Donc, quand a est positif, cette dernière relation définit une troisième substitution, dont on peut se servir pour rendre la différentielle rationnelle.

179. Interprétation géométrique. — On peut donner une interprétation géométrique aux substitutions du numéro précédent et les comprendre dans une transformation plus générale.

Considérons la conique

(1) y^ ^ a -]- Lr -\. c.r\

Il s'agit d'exprimer les coordonnées .r, 1/ de tous ses points en fonction rationnelle d'un pai'amètre t. A cet effet, soient a et v = y « + ^[1 + cp-^ les coordonnées d'un point fixe de la courbe. L'équation

OÙ i est un paramètre variable, représente un faisceau de droites passant

par le point (li., ■>) et qui, par conséquent, ne rencontrent plus la courbe qu'en un seul autre point. Donc les coordonnées de ce point s'exprimeront en fonction rationelle de t. On le vérifie d'ailleurs facilement. L'équation de la conique peut s'écrire

(3) y^ -u^=b {X - ;^) + c (.r^ - ix2)

Divisant les équations (2) et (3) membre à membre, il vient

Les équat'ons (2) et (4) forment un système d'équations du premier degré en a: et y et on^tire les valeurs de x et v en fonction rationnelle de t.

Si le point (jx, v) est un de ceux où la conique coupe l'axe des a-, on trouve la première des substitutions du n° précédent. Si le point (;ji., v) est un de ceux où la conique coupe l'axe des y, on trouve la troisième.

La seconde dos substitutions du n^ précédent s'obtient en coupant la conique par un faisceau de droites parallèles à l'une des asymptotes

Ces droites rencontrent la conique en un seul point, dont les coordonnées seront donc aussi des fonctions rationnelles de t.

180. Différentielles réductibles aux précédentes. — I. Soit R (x, y, z) une fonction rationnelle de x ^ y ^ z ; on peut réduire aux précédentes 'par une substitution de variables les différe^itielles de la forme

( • % I axj\-b I cx-\-d'\

V ' \ mx -\-n' \l mx -\- nj

où a, b, c. d, m, n, sont des constantes quelconques.

En effet, posons, ce qui rendra le premier radical rationnel,

ao: 4- b , , , , nt- — b

= t-, d ou

mo: -\-n ' a — ynt- '

il viendra, en substituant cette valeur de x,

ex 4- d {en — dm) t- — [cb — da) ma: -\- n na — m.b

Donc, si l'on exprime la différentielle proposée au moyen de t, elle ne renfermera plus d'autre irrationnalité que

\j[cn — dm) t- — [cb — da) et elle sera de la forme supposée dans le théorème précédent (n° 178). 11. Les différentielles de là forme

R (x, V" Vbx ^ ex- , VA 4- Bx + C^2 ) dx

sont aussi réductibles aux précédentes, pourvu que les deux trinômes a -\-bx -\- cx^ et A -\- Bx -\- Cx- aient une racine coimmine.

En effet, en décomposant ces trinômes en leurs facteurs et en supposant que X — a soit le facteur commun, [x — f>) et [x — y) ^^s doux facteurs différents, on a

y'« + bx -j- ex' = [x —

VA + B^ + Cx"^ = [x ce qui ramène au cas que nous venons de traiter,

181. Intégrales abéliennes. — On donne ce nom aux intégrales de

la forme

J R {x, y) dx,

où R désigne une fonction ratioimelle de x et de y ; cette dernière quantité étant elle-même une fonction algébrique définie par une équation F {X, y) = 0.

Lorsqu'il est possible d'exprimer rationnellement les coordonnées de la courbe F [x, y) = 0 an moyen d'un paramètre t, on dit que la courbe est unicursale. On aura, dans ce cas,

Prenant t comme nouvelle vaiiable, l'intégrale deviendra

et elle se déterminera sans difficulté, la différentielle étant devenue rationnelle.

Les coniques en particulier, ainsi qu'il résulte du n° 179, sont des courbes unicursales. C'est dans la théorie des courbes algébriques qu'on indique les caractèies distinctifs des courbes unicursales et le moyen de trouver les fonctions cp ;<) et <]/(/), L'examen de cette question ne peut trouver place ici. Nous nous contenterons d'indiquer un exemple assez général.

Supposons que la fonction // soit définie par l'équation

r>» {->■', y) + ''im-i [x, y) =0 où 'i^„ et '^,,,-1 désignent des polynômes homogènes de degrés /// ei m — 1 respectivement. l'osons y = tx et î>ui>primons dans l'équation le facteur commun »i'"~' ; elle doiniera

î... (1.') îm(l,0

Ces expressions sont rationnelles. On pourra donc intégrer toute différentielle de la forme R [x, y) dx.

182. Applications de la théorie du n° 178. — I. Considérons d'abord ; l'intégrale

l' dx

J \^ai-bx-\-X' On applique la seconde transtormation ; on pose

Vfl -{-bx +x- = t — X, d'où a -{- bx = t- — 2 tx.

Difterentiant la dernière relation, il vient

dx ^dt t — x~ b-\-^t et, par conséquent,

f = Log(^ + x-{-\/a + bx-^x^]^C.

On rencontre souvent le cas où ô =-= 0 ; il vient alors

C dx . ,

(2) J yp=^ = Logf^' + \x' + fl) + C.