IV. Les deux intégrales suivantes
C dx C dx
J V ^ 1 ^'^ + ^^' ^^ — ^^^) V ^ -\-bx -\- cx^ se ramènent à celles qui précèdent en prenant respectivement comme nouvelle variable
z = ^ ± ex, z =^^\ ±c[x — m)
et l'on détermine le signe ambigu de manière que ± c soit positif.
183. Cas d'intégrabilité des différentielles binômes. — Los intégrales des différentielles binômes sont de la forme
x'''[a + bx'')Pdx
où a et 6 sont des constantes quelconniieSjj différentes de zéro, et /», n, p des exposants rationnels, égalemenLdilTérenls de zéro.
On peut toujours admettre que la variable x est positive. Kn ellel, si elle ne l'était pas, on commencerait par changer son signe et la forme de l'intégrale ne serait pas altérée.
Ceci posé, faisons la substitution
x" = t, d'où a;=/", dx = -t" dt.
t désignant iin3 variable positive ; l'intégrale deviendra
[a + btydt.
nj
OT + l
Désignons par q l'exposant de t, de sorte que q = (^~--i). On est ainsi ramené à étudier l'intégrale
o{p,q)^ ^(a+bt)P lUt.
On a alors le théorème suivant :
L'intégrale cp (p, q) est réductible à celle d'une différentielle rationelle par le théorème du n" 177, si l'un des trois nombres p, q ou p -\- q est un entier, positif ou négatif.
En effet, selon que p ou q sera entier, on aura immédiatement, R désignant une composante rationnelle,
cp {]), q)^ j\ R(t, r^l dt, cp (^;, g) = |r I [a + btY\ t ^dt,
et si p -\- q est entier,
ce qui ramène au théorème énoncé.
Si nous remontons maintenant à l'intégrale proposée en premier lieu et si nous observons que q est égal à '-^^^-i, nous obtenons le théorème suivant :
L'intégrale d'une différentielle binôme est réductible à celle d'une différentielle rationnelle et, par suite, l'iiitégration pourra se faire au
moyen des fonctions algébriques, logarithmes et circulaires, si l'un des
trois nombres ou n ou \- p est entier.
Tchebichef a démontré (^) que, en dehors de ces trois cas d'intégrabilité pratique, l'intégrale ne pourra pas s'exprimer au moyen des fonctions élémentaires. On devra donc se borner alors à les ramener à la forme la plus simple en se servant des méthodes de réduction que nous allons indiquer.
1 84. Formules de réduction des intégrales de différentielles binômes, —
Nous pouvons supposer que l'intégrale de la diderenlielle binôme ait été préalablement ramenée, par les substitutions du numéro précédent, à sa forme simplifiée
^{V.<l)={[(i + bt)p V^ dt.
(1) Sur l'intégration de différentielles irrationnelles. Journal de Lio;Uville T. XVIII, 1853.
On a alors le théorème suivant :
Salifies cas d'intégrabilité pratique, o (/;, q) est réductible à des (onctions akjéhriques et à une autre intégrale de même forme oii chacun des ejposantsp ou q est augmenté ou diminué d'autant d'unités qu'on le veut.
Considérons, en effet, les deux identités :
[a + ht] {a + hty VJ = a{a + bt)P f + h [a f bt)V V i ' D^(rt -F btY ^ ' /'' '" ' = ip 4- 1 ) ^ (rt + btji' V + ^ + (^7 + 1) (rt + bt)i' ^" * /* .
En les intégrant (ce qui revient à faire une intégration par décomposition et une intégration par parties), on obtient les deux équations correspondantes :
=? (/^ + 1, ^) == « 'f 0^ <y) -\-b'f (p, q -\- 1), {a ^ bt)P + U^^^- * = (;; + 1) /, cp [p, ç + 1) + {q + 4) 'f {p + 1, q).
Entre ces deux équations, on peut éliminer o {p f i, q) ou bien 'f [P^ (/ + 11. En résolvant alors par rapport à cp {p,q), on trouve les deux formules :
Ces formules font dépendre 'f (;;, q) d'une intégrale de même forme, mais où p ou ç est augmenté d'une unité. Les deux suivantes, qu'on en déduit en les résolvant par rapport aux intégrales des seconds membres, mais en remplaçant p par v — i dans la première et q par q — 1 dans la seconde, savoir :
o^ / N {a-rbt)Pt'i+' , «f , , X
font dépendre 'f [p, q) d'une intégrale de même forme, mais où p ou q est diminué d'une unité. Aucune des quatre dernières formules ne peut devenir illusoire, car aucun des nombres p, q, p -f- q n'étant entier, aucun des dénominateurs p -\- l, q -\- l,p -|- q + 1 ne peut être nul.
L'emploi des formules (1), (2), (3i, (4), permet donc d'augmenter ou de diminuer d'autant d'unités qu'on le veut un des deux exposants p ou q, sans toucher à l'autre. On pourra donc, de proche en proche, faire dépendre '^ {p, q) d'une autre intégrale de même forme, mais où
p et q seront compris entre deux entiers consécutifs choisis à volonté, par exemple 0 et 1. Comme elle n'est plus susceptible de réduction ultérieure, on devra la considérer comme une nouvelle transcendante.
185. Usage des formules de réduction dans les cas d'intég^rabilité pratique. — Dans les cas d'intégrabilité pratique, les formules de réduction peuvent devenir illusoires. Mais cette éventualité ne se présente que pour des valeurs exceptionnelles de p ou de q et les formules peuvent servir, dans beaucoup de cas, à simplifier ou même à effectuer l'intégration. Nous allons eu donner des exemples.
rsous pouvons toujours supposer, dansje cas d^intégrabilité, que ce soit l'un des exposants p ou q qui est entier. En effet, &i p -\- q était entier, on ferait la substitutionj = 1 :js.-^IL viendrait
ce qui ramènerait au cas précédent.
Supposons, en premier lieu, que les exposants j; et q soient entiers tous les deux; je dis qu'on pourra les réduire tous les deux à l'une des valeurs 0 ou — 1. En effet, si les deux exposants p, q sont îîégatifs, on les ramènera à — 1 par l'emploi des formules (1) ou (2), qui ne deviennent illusoires que si p + 4 = 0 ou si </ + 1 = 0. Si un seul des exposants /j, q est négatif, on commencera par le réduire à — 1; après cela, on pourra abaisser l'autre à zéro par les formules (3) ou (4). Celles-ci ne seront pas illusoires, car p -^ q + \ ne s'annulera pas au cours de la réduction. Enfin, si p et q sont tous deux positifs, les formules (3) et (4) permettent de les réduire tous deux à zéro. Dans ces divers cas, le calcul de l'intégral réduite sera devenu immédiat.
Supposons, en second lieu, qu'un seul des exposants p ou q soit entier. On voit alors immédiatement que les lormules ne deviennent illusoires que si l'on veut réduire l'exposant entier de — 1 à 0. Donc elles pourront toujours servir à réduire l'exposant entier à 0 s'il est positif et à — 4 s'il est négatif. Dans le premier cas, l'intégration sera immédiate. Dans le second cas, elle sera simpliliée, mais on devra l'achever par les méthodes de rationalisation. Ces diverses circonstances se présentent dans les applications suivantes :
