II. Considérons maintenant l'intégrale

X"' dx

dans laquelle m désigne un entier positif ou négatif. Par la substitution X = t, on aura

r x"'dx 1 r ,. ,.l,i!Lzl.. 1 f 1 m— n Jvî^r^ = 2,M^-^^ '' ' ^^^2^-2' -¥"J'

Suivant que m sera positif ou négatif, on se servira de la formule(4) ou de la formule (2). Elles permettent de ramener l'exposant "^ à la valeur - 1 si 7n est pair et à l'une des valeurs 0 ou — I selon que m est impair positif ou négatif. Alors m aura une des valeurs 0, J et — 1. En revenant à la variable x, on aura à eflectuer une des trois intégrations

dx r X dx Ç dx

I ax r xdx

qui ont pour valeurs, à une constante près,

arc sin x, — \i — j*«, Log -^

la dernière ayant été calculée au n° 182.

m. Dans la tbéorio du pendule, on rencontre l'intégrale r X'" dx J V flkr — ;r«

Ce n'est plus une intégrale binôme, mais on la ramène, à son choix, à l'une des deux intégrales binômes considérées ci-dessus. En effet, si l'on pose les relations

x =r^ at-, \ ax — .r- = xz,

on trouvera, après quelques réductions faciles,

i x">dx r t^»'dt r d-

J \fax—x^ J Vl — f= j (I + z^)»'+'

Ce qui ramène, en même temps, l'une à l'autre les deux intégrales précédentes.

186. Cas particuliers simples des intégrales binômes. — Parmi les cas d'intégrabilité pratique de l'intégrale cp {p, q), il y en trois que l'on peut considérer comme des cas d'intégrabilité facile. Ce sont ceux où l'une des quantités ;;, q ou — [P ~\- q h 2) est un entier positif.

En effet : 1°) Si p est entier et positif, en développant {a + bt)^' par la formule du binôme, l'intégrale

^{a-\-bt)i' t'i dt

se calculera immédiatement par décomposition. 2") Si q est un entier positif, on prendra a -\- ht pour variable, ce qui ramènera au cas précédent. 3°) Si p + (/ -1- 2 est un entier négatif, la substitution t = \\ Z; considérée au début du numéro précédent, ramènera au cas que nous venons d'examiner. Dans ces divers cas, l'emploi de la formule de réduction sera donc rarement avantageux.

En particulier, dans l'application II du numéro précédent, le troisième cas d'intégrabilité facile se rencontre si m est pair et négatif.

Exercices.

1. Intégrales à calculer par le théorème du n" 177 : Ç^dx r dx Çl-^x"^ ,

'l + ar'