VÎ
4. Montrer que toute différentielle binôme ^*"(rt + /^-t'")'^^*^' peut, à part un facteur constant, se ramener à la forme
sin-'^'f cos ^<p(/'f,
cil (i. et V sont des exposants rationnels.
R. On y arrivera par l'une des trois substitutions suivantes : Si(a-|-/>'a:'*) et a sont de même signe, on posera
« + i.r" , 1 ^ cos-'i ou
COS^'f
selon que le premier membre est < ou > 1. Si (a + 6a;") et a sont de signes contraires, on posera
!^ 4. Intégration des fonctions transcendantes.
187. Rationalisation. — Un ^rand nombre de différentielles, qui renferment des fonctions exponentielles et circulaires ou leurs inverses, peuvent être rendues rationnelles par un clianji;ement de variables. Elles se ramènent alors à la forme
R (m) au où R désigne une fonction rationnelle.
Il y a des cas simples oii la substitution qui conduit à ce résultat est immédiatement apitarente dans la différentielle proposée. Telles sont les différentielles
R [(^) eàx, R (Logd) — . R (arc tg x) . etc.
qui se ramènent à la forme indiquée par les substitutions e^^ = Il Log X = \i arc tg x = u, etc.. Mais on peut aussi rendre rationnelles des différentielles, pour lesquelles la substitution convenable est moins facile à apercevoir et nous allons en examiner quelques types généraux.
188. Différentielles de la forme R (sin .r, cosa-) dx. — Plusieurs substitutions différentes peuvent servir à rendre rationnelles les différentielles de cette forme oii R désigne une composante rationnelle. Avant de faire connaître ces substitutions, nous établirons le théorème purement algébrique que voici :
Toute fonction rationnelle de deux variables R [x, y) peut se ramener
à la forme
A + B a- + C ^ + D xy
oi( A, B, C, D, sont des fonctions rationnelles de x- et de y'-.
En effet, remarquons que R est le quotient P : Q de deux polynômes et considérons l'égalité
'P{x,y) ^?{x,y)Qi-x,y)Q{x,-y)Q{-x,-y) Q % y) Q (x, y) Q ( x, </; Q {x, -y)Q{- x, - y)'
Le dénominateur du second membre est un polynôme. Quand on aura effectué les multiplications et les réductions, ce polynôme ne contiendra plus que des puissances paires de x et d(3 y, car il reste inaltéré par le changement de x en — x et aussi par celui de // en — y. Désignons ce polynôme par Qi.
EHéctuons aussi les multiplications indiquées au numérateur et considérons le nouveau polynôme ainsi obtenu. Soient :
1° Al la somme des termes de ce polynôme où x et y ont des exposants pairs (et nous comprenons l'exposant 0 dans ce cas) ;
2° Bi.r la somme de ceux où y a un exposant pair et x un exposant impair ;
3" Cjî/ la somme de ceux oii x a un exposant pair et y un exposant impair ;
i° b^xy la sonnne de tous les autres termes où x et y auront donc des exposants impairs.
Toutes les quantités A,, Bj, C,, I), et Qi seront encore des polynômes, mais qui ne contiendront plus que des puissances paires de x et de y. Or on a
R P A,-\-B,x + C,y -^D,xy Q~ Q,
et ce résultat est équivalent au théorème énoncé :
Remplaçons maintenant x et y par sin x et cos x et considérons la différentielle
R (sin X, cos x) dx.
Voici les principales substitutions qui permettent de la rendre rationnelle :
I. Si R est une fonclion impaire de cos x, c'est-à-dire une fonction qui ne fait que chamjer de signe quand on y remplace cos xpar — cos x, on rend? a R dx rationnelle par la substitution
sin X =■ :■.
En effet, R peut se mettre par le tliéorème précédent sous la l'orme
R = A + R cos X + C sin x -\-]) sin x cos x,
ou A, B, C, J) ne dépendent que de sin'^o;, cos^ic. Pour que R change simplement de signe quand on remplace cos x par — cos x, il faut que A et C soient nuls. Donc
R = (R 4- D sin x) cos x = Rj (sin x, cos*a;) cos x,
Ri désignant une nouvelle l'onction rationnelle. Par la substitution proposée, il viendra
Rrf.r = R, (v, 1 —:■=)</:•
et la différentielle est rendue rationnelle.
II. Si R est une fonction impaire de sin x, on rendra R dx rationnelle par la substitution
cos.r = z.
On aura, en effet,
R =-: (C + D cos x) sin x == Rj (sin-;i', cos x) sin x Rrf.r-^ — R, (1—.', :■)(/:•.
III. Si R (sin a-, cos»i') ne change pat: quand on remplace à la foi,s sin X par — sin x et cos x par — cos x (auquel cas nous disons que R est une fonction paire de sin.r, cos.rj, R dx sera rendue rationnelle par la substitution
tg X = ^■.
En elVel, dans ce cas, R et C doivent être nuls et l'on a
R ==:== A -h D sin x cos a- = Ri (sin*a-, (îos-a-, sin x cos x).
Mais on a
. ., s'nï-x Ig^j"
~ sin^o; + cos^o; 1 + tg-^- ~ 1 -\- z^
COS^iC 1 1
COS^.ï'
Slll d- COS X
cos^^ 4- sin-a- 1 4- tg^.r 1 + zz 1 z
dz
cJx = d arc tg -^ "- i , .;
Toutes ces quantités sont rationnelles. Si on les substitue dans R dx, on obtiendra donc une expression rationn(;lle.
IV. Dans tous les cas, R (sin x, cos x) dx sera rendue 7'ationnelle par la substitution
On a, en effet,
sin a- = 2 sin ^ cos ^, cos x = cos- ^r — sin- ^^ Si l'on substitue ces valeurs dans R, on obtiendra une fonction paire
de sin ^ , cos ^ et la substitution proposée rendra R dx rationnelle en vertu du théorème lïl. On trouve d'ailleurs immédiatement
sm X = -r—, — T' cos X = -3 — ■ — r^, dx =
et ces trois valeurs sont rationnelles. En les substituant dans R dx, cette différentielle sera rendue rationnelle.
Remarque. — En général, mais ce n'est pas une règle absolue, on n'aura pas avantage à se servir de la substitution IV si l'une des trois premières peut s'appliquer. Quand on aura une différentielle à intégrer, on aura donc soin de vérifier qu'aucune des autres substitutions ne peut servir avant de recourir à la dernière.
D'ailleurs la dernière substitution n'est jamais nécessaire pour effectuer l'intégration et elle peut toujours être évitée. En effet, si l'on décompose R par la formule considérée plus haut, il vient
R rfa: = (A h R sin a; + G cos x -\- b sin x cos x) dx où A, R, G, IJ ne dépendent plus que de sin-a' et cosU-.
Mais chacun des termes de cette différentielle peut être rendu rationnel par une des trois iiremières substitutions : A dx par la substitution III, B sin X dx par la substitution II, Ccosxdx par la substitution I, D sin X cos x dx par l'iuie quelconque des trois précédentes.
189. Applications. — I. L'emploi des substitutions (I) ou (II) conduit aux l'ormules suivantes :
' sin X dx
fcos xdx . . , n C'
— -. = Log sm 1' + C -
j sma; ° \J
cos a;
— Log cos X -\- G.
sin X cos xdx = ^ sin- x -\- C ^ — ^ cos' x -\- C.
IL L'emploi de la substitution III conduit à
; — — -- Log tg X 4- C.
j sm X cos X SOI
