V. On ramène à la précédente l'intégrale
dx
a +&cos^ + c sina:
Pour cela, on détermine deux quantités r et 'o par les relations b = r cos 'f , c ^ r sin <x»,
ce qui ramène l'intégrale à la forme
dx
a -\- r cos (j^' — Ci)
Sa valeur s'obtiendra en remplaçant b par r et x par .r — 'j dans les résultats précédents.
Remarques. — Dans les applications, on rencontre souvent des différentielles renfermant d'autres lignes trigonométriques que sin x et cosx, comme igx, sec^', etc. Il faut alors commencer par exprimer rationnellement ces nouvelles lignes au moyen de sin x et de cos a* pour pouvoir appliquer les théorèmes généraux.
Dans d'autres cas, la différentielle proposée renferme, outre sin x et cosi-, des sinus et des cosinus de multiples entiers de x, comme sin 2 X, sin 3 x, cos 2 x, etc. On doit aussi commencer par les exprimer en fonction de sin x et de cos x et ces expressions sont, comme on le sait, des polynômes. Cela fait, on pourra appliquer les méthodes générales.
Enfin, il arrive encore que la différentielle à intégrer renferme non seulement sin a; et cos a-, mais aussi sina^, sin,3j-, cosyj;, etc., a, [ii, y,... désignant des nombres rationnels. Soit, dans ce cas, m le plus petit commun dénominateur de a, ,S, y,... On pose x = mz ei on pi-end z comme nouvelle variable, ce qui ramène au cas précédent.
190. Intégration des différentielles de la forme sin'" A" cos" .r da- (m et // entiers, nuls ou positifs). — I. Si l'un des nombres m ou n est
impair, l'intégration se fait très simplement par les méthodes générales de rationalisation (n° 188). Si m est impair, soit m = 2^-1-1; on pose
cos X = z et il vient
sin'" X cos» X dx = — {■[— z'-)'' z'' dz.
On développe par la formule du binôme et, chaque terme du dévelopi)ement est immédiatement intégrable. Dans ce cas, l'intégrale sera donc un polynôme en cos x.
Si n est impair, on pose sin x = z ei les calculs s'achèvent comme dans le cas précédent. Seulement l'intégrale sera un polynôme en sin X.
II. Dans tous les cas, on peut, par les formules de la trigonométrie, exprimer sin'" a; et cos "a; par des sommes de sinus et de cosinus de multiples de x [^). En effectuant la multiplication, on trouvera des
(1) Ces formules se déduisent facilement de celle de Moivre. On r)art de l'identité
2 cos X = (cos X \- i sin x) -f- (cos x — i sin x). On élève à la puissance n par la formule <\% binôme, mais en ayant égard aux relations
(cos x-\-i sin x)^ = cospx -j- i sinpx. (cos X -{-i sin x) (cos x — i sin x)=^l. Il vient facilement
2" cos" X = (cos nx -\- i sin )ix) -\- n [cos (« — 2) x -\- i sin [n — 2) x}
-\ —- [cos {n — 4) a; -j- î sm [n — 4) a;J -|- • • ■
En négligeant les termes imaginaires, qui se défruisonl, on trouve l'expression cherchée pour cos» a; :
, ^{^ — t) , ,, , 2n cosn x^=cos}îx -]- >i cos (« — 2)a;-| ^^ cos(n — 4)ic4- ••■
Les coclHcients sont ceux du binôme, de sorte que les termes à égale distance des extrêmes sont égaux dans cette formule.
Le développement analogue de sin" a; se déduit du précédent, en y changeant a? en a; -4- TT : 2. Il est de l'une des deux formes suivantes, suivant que n est pair ou impair :
. '-r , ^ C.X , n{n — i) 2"s)n"a; = ( — l)'[cos»^a7 — ncos{n — 2)x-\ cos (« -4)a;
2"sin''a; = ( — 1) 2 [sin ;(a; — » sin (« — 2)a; + sin(« — 4)a; — ..
Dans les deux cas, les termes à égale distance des extrêmes seront encore égaux.
produits partiels, qui pourront se décomposer eux-mêmes par les formules :
sin A X sin iix -=^ ^\ cos (). — jj.) x — cos ()^ -f [j.) x
sin A X cos [xx = ^ sin (X + [ji) x -\- sin (). — |j.) ^'
cos A a; cos [j. ^ =^ ^ cos (X + y.) x + cos (À — ;j.) a: et ces nouveaux ternies sont immédiatement intégrables.
III. Lorsque m et n sont pairs tous deux, le procédé suivant, qui no demande aucun effort de mémoire, est souvent préférable en pratique au précédent. Posons m = 2 j;, ?i -= 2 q.
Si p est > q ou si j) = q, on écrit
sin-^ a:cos-^^ x = shr-i'-''' .r (sin^-cos.ry-'i' = ( I — cos 2 x) v-'i sin "^^2 x
Si ;; est < (/, on écrit sin--^^ A'COb-'/A- = (sina;cos.r)-^coS'*--^'^" = (sin2a;)-^^(i + cos2a;)^--P
1 — cos 2 x^-'i /^sinS^'V^ 2 y V~2
/'sin2j;Y''' /'l + cos2.rY~^' V~2~y l 2
On développe par la formule du binôme et on est ramené aune somme de termes de la forme sin'^2a; cos''^2j;, mais où X + |j(. ne peut surpasser ]} + q. Ceux où l'un des exposants a ou \x est impair s'intègrent facilement par la méthode I. Pour les autres termes, on recommencera la même décomposition et les nouveaux éléments seront de la forme sin''' 4 x cos^^ 4.r. On continue ainsi de suite jusqu'à ce que tous les termes puissent s'intégrer. La réduction marche d'ailleurs rapidement, puisque la somme \ + ,a des exposants est réduite au moins de moiiié dans les termes qui résultent de chaque nouvelle décomposition.
IV. On peut aussi se servir pour intégrer la différentielle proposée de formules de réduction. Mais nous les ferons connaître dans le paragraphe suivant.
191. IniégrsLiion de K [x) e"'(lx. — Cette différentielle, dans laquelle E{x) désigne un i)olynôme, s'intègre le plus facilement par la formule d'intégration par parties. On a
Te [x) e"^ rfa; = - E {x) e''^— ^ Te' [x] e«^ dx.
Cette formule fait dépendre l'intégrale proposée d'une autre de même forme, mais où le degré du polynôme est abaissé d'une unité. C'est une formule de réduction. En l'appliquant de proche en proche, il viendra
a L a fr
Cette formule s'arrête d'elle-même quand les dérivées deviennent identiquement nulles.
Remarque. — On peut trouver une expression symbolique élégante de l'intégrale précédente. Décomposons-la en une somme d'autres, ne renfermant qu'un seul terme du polynôme E{x). Chacune de celles-ci peut s'intégrer par la formule symbolique (4) du n° (167) ; on a ainsi, pour ît = 0, 1, 2, 3, ...,
e x''e"^dx^Da^ + C.
Donc, si l'on multiplie chacune de ces formules par le coefficient de ^-'^ dans E {x) et si l'on fait leur somme, on trouvera l'équation suivante, remarquable par sa concision :
j E {x) ef^ dx = E (Da) ~ + C-
192. Intégration de E [x) sin ux dx et de E {x) cos ax dx. — Ces différentielles, dans lesquelles E [x) désigne encore un polynôme, s'intègrent par parties et s'obtiennent par un calcul analogue au précédent.
En effectuant une première intégration par parties, on trouve :
C -.. , , 1 ^^ , s sinctj" 1 C-L-i / \ • j E [x) cos ox dx = E [x) \h' (x) smax dx,
JE {x) sin ax dx = — E {x) ^^' + ^ Je' {x) cos ax dx.
Ces deux formules ensemble fournissent une métliode de réduction. En les employant alternativement, il vient :
E (x) cos ax dx - —^ \^h {x) — - ^ -i ^-,
cosfl^l E'j^) Y^{x) p (x)
,, . . . , sinfl.TrE'(x) YJ" [x] . E^ {x) h (x) sui ax dx = -^ - |- -
193. Intégration de x'^e"^ cos bx dx et de x'^e^'-'^ sin bx dx. — On a
d [ef^^ cos bx) ^ ^'^ [a cos bx — b sin bx) dx, d [er^ sin bx) = e"^ (è cos bx -\- a sin bx) dx.
On en tire
a d (e«^ sin bx) — bd [e^"^ cos èa;) = (a- + b-) e«^ sin èa- dx, b d (e«^ sin bx) -{- ad (g«^ cos èx) = (a- -f ft^) goa:- cos bx dx. Il viendra donc, en intégrant,
. , , e«^ fa sin bx — b cos bx) , ^
e^'^ sin bx dx = ^ ., , ,., '- -h G,
, , ef^'^ (b sin bx -\- a cos bx) , ^ e"'^ cos bx dx = , , ,„ + G.
Les intégrales plus générales, proposées dans le titre, se déduisent des précédentes par la méthode de dérivation. En dérivant n fois par rapport à a, il vient
. , , ^n e"^ (a s\n bx — b cos bx) , ^
g^ng^aco sin hxdx^X) — ^^ „ , .., '- + G,
„ r.^ , , „ n ^^ [b sin bx + a cos bx) . ^
x"e«^cos hx dx = D„ ^ ., , ., ^ + G,
194. Différentielles réductibles aux précédentes. — I. On peut réduire aux précédentes et, par conséquent, intégrer les différentielles de la forme générale
E [x, e"^, sin bx, cos ex) dx ail E {x, y,...) désigne un polynôme en x, </,... et a, b, c des constantes quelconques.
En effet, ces différentielles se réduisent à une somme d'autres de la forme
xmg7îax sinP bx cos^^ cx dx.
On peut remplacer sin^ bx et cos<i^ cx par des sommes de sinus et de cosinus de multiples de bx ou de cx. Donc le produit sin^' bx cos'/ case décomposera en une somme de produits partiels des diverses formes :
sin /j; sin \jjl-, sin )>a; cos jjuc, cos )a' cos u-x.
Geux-ci se décomposent eux-mêmes en une somme de sinus ou de cosinus par les formules indiquées au n" 190, II. De sorte que, par ces décompositions, la différentielle proposée se partagera en une somme d'autres des divers types :
j^m^naa; ^^^ ^mg^nax gin px dx, x^n^yxax qos px dx,
où m, n sont des entiers nuls ou positifs et a, p des constantes quelconques. Tous ces types de différentielles ont été intégrés dans les numéros précédents.
II. On peut aussi ramener aux précédentes et, par conséquent, intégrer les difjérentielles des divers types :
E {x, Log x) dx, E {X, arc sin x) dx, E {x, arc cos x) dx où E {x, y) est un polynôme en x, y. En effet, par les substitutions respectives
Log X = z, arc sin x = z. arc cos x = z,
ces différentielles deviendront
E {€'■ , z) e- dz, E (sin z, z) cos zdz —E'cos ;:•,;;) sin :• J^ et elles rentreront dans la forme générale supposée dans le théorème préf'édent.
