III. Les différeiitielles de ta forme
E (sin X, cos x) Log R (sin^-, cos x) dx dans lesquelles E désigne un polynôme et R une fraction rationnelle en sin X et cos x pourront s'intégrer par les fonctions élémentaires, si le polynôme E est une fonction im2)aire d'une des deux variables sin x ou cos X.
En effet, il résulte de la remarque faite au n° 190, 1, qui s'applique à chacun de ses termes, que E (sin a-, cos a) sera la dérivée d'un polynôme en cos X ou d'un polynôme en sin x. Pour fixer les idées, supposons que ce soit le premier cas et désignons par Ej (cosx) ce polynôme. En intégrant i)ar parties, on trouvera
r E Log R dx = E. log R — r E, -*^^ dx.
Cette formule fait dépendre l'intégrale proposée d'une autre dans laquelle la fonction sous le signe d'intégration sera rationnelle en sin X et cos x. Celle-ci s'obtiendra donc par les métliodes indiquées précédemment.
ICXKRCICES.
Démontrer les relations suivantes :
dx 1 X ^^. ^ I ^
JYT^à. ^^' - Log (2 -H cos X) + ^3 arc tg (;^ tg |") -|- C.
a^ cos^ X -{- b^ sin* x ab ° \ a
C (1 — r cos oc) dœ x , ^ /'l + *' j. ^^ , ^
J l-2rcosa- + --' = 2 + ""^ '° IF^ '^2 j + ^-
sin^. a; c/ir = — cos a^ 1 — ô ^^os^ ^ + k '^''^^ -^ ) + ^■•
X cos
- 0? aa; — -^ j a? ^
Lr^ cos a? 6?^^ =:-|-sin^(a;-* — 12^^' + 24) -f- cos 07(4 .t' — 24a;) + C.
Jgrtrr e^^ cos''' a; ofa? =^ — r-z— ; — TT- (a^ cos"^ a; + 2a sin a; cos a? + 2) + C. a («2 + 4)
I e"^ sin"^ X dx = — r-^—, — -r (a- sin^ ir — 2a sin a; cos a; + 2) + C. j a (a* + 4)
( x'^hog xdx = — --r ( Loffa; -^ ) + C.
(Log.T/"c/a; = a; [(Loga;)" — n[hogxY-^-\-n[n — l)(Loga;)''-- ]+C.
(arc sin xYdx == a; [(arc sin x)- — 2] + 2 (arc sin x) V 1 — x"^ -\- C,
I sinma7Log(
cos ma; ^ w fcos wîa; . ,
cos nxdx = Loff cos wa? | sin nx dx.
m 771 ] cos nx
§ 5. Etude particulière de la différentielle siiv'"^cos"^rf^", m et n étant des entiers positifs ou négatifs.
195. Réduction aux différentielles binômes. — La différentielle
sin'^j; cos'U" dx
se transforme immédiatement dans une différentielle binôme de la forme simplifiée par la substitution
sina; = V^ ' d'où QO^x=^\j\—t, dx = rij7T=T'
T^tyi — t]
Elle devient ainsi
Nous avons établi (n" 184) pour intégrer cette différentielle binôme des formules de réduction, qui suffisent pour effectuer l'intégration. Mais il est préférable d'exprimer innnédiatement ces formules de réduction en fonction de sin x et de cos x. C'est ce que nous allons faire dans le numéro suivant :
196. Formules de réduction. — On a, par une décomposition évidente,
sm"^xcos^^ xdx = sin*"-^a; [cos" x s'm xdx) ;
d'où, en intégrant par parties,
/i\ C • ,, » j sin'^-ia:cos"-i-ia:; , m — If . .„ , „,, ,
1 sm"'xcos^xdx= — i — --. sm'>'--xcos'^+-xdx.
J n-\-\ n-\-iJ
D'autre part, si l'on fait porter l'intégration sur le sinus après avoir isolé un facteur cos x, on aura
/rt\ C ■ » „ ; sin^^+^a;cos"-*a; , n — if . ,, „ , ,
2) sin'».i'COS".crfx= ■ — j -y sin"'+"-i-cos"--j:dJ'.
Dans l'intégrale qui est au second membre de la formule (1), remplaçons un facteur cos-.r par 1 — sin'x. Cette intégrale se décomposera en deux autres dont l'une reproduit celle du premier membre. En résolvant l'équation par rapport à cette intégrale, il viendra
fo\ c ■ », » J sin^-*xcos"+*x , m — 1 C . . , „ ,
3) sin'"xcos".Trf.r == 1 sm"'--.rcos"a'rfa;.
Opérons de même sur l'équation (2), mais en remplaçant un facteur sin^a; par 1 — cos-j', il viendra
sin'''+*j; cos" -^x n — 1 m + 11 m +«,
Enfin, cliangeons m en m 1- '^ dans la formule (3) et résolvons par rapport à l'intégrale du second membre. De même, changeons n en ?t + 2 dans la formule (4) et résolvons par rapport à l'intégrale du second membre. Nous obtiendrons les deux formules :
,-, Ç . ,,, „ , sin"'+*acos"+*x , m+n+2f . ,,„ „ .
5 sm'"a;cos":rrfa'= --; —r^r sm"'^"j;cos"j:aj:
/ON r • >, n A sin»'+*a'COS»<-*x , m^n-^tÇ . „, „,., , (6) sm"'.rcos" .rrfa.'= — ; . ' sui'".rcos"+-.r(/.c
197. Usage des formules de réduction. — l/emi)lui combiné des formules précédentes permet d'elVecluer l'intégration dans les diverses hypothèses possibles, mais il y a i)lusieurs cas à distinguer. Ces divers cas peuvent d'ailleurs rentrer en partie les uns dans les autres.
Premier cas : m ^ ou > \, n < — I. — (Vest alors la formule (1) qu'il convient d'appliquer pour commencer. Si m =- I, on a immédiatement
sm .r cos" .r rf.r = —-. — \- C
ce qui résulte aussi de la formule (1). Supposons donc m > \.
sin"'.r
sin'"+*j;cos"-*ic , « — 1/ . , , ,
cos"xdx= ; , — sm"'.rcos" -xdx
1») Si m -r H > 0, l'application répétée de la formule (1) permettra de réduire l'exposant « à 0 ou à — i. On obtiendra alors une des deux intégrales suivantes, où k est un entier positif < m :
\sin^xdx. dx.
J J COSJ"
Celles-ci s'intégreront par la formule de réduction qui convient au troisième cas que nous examinerons tout à l'heure.
2°) Si m -r n < 0, la formule (1' permet de réduire l'exposant m à 1 ou à 0. Si m = 1, l'intégration est immédiate, comme on l'a vu il y a un instant. Si m -= Û, on obtient l'intégrale suivante, où A est un entier positif < — n :
} COS^ d'
On l'intégrera par la méthode de réduction que nous indiquerons tout à l'heure (cinquième cas).
3°) Si m -h M = 0, la formule \1] peut s'écrire
(7) \xr>xdx= Çl-^" - l'tg— ^r<lr.
Cette formule de réduction permet de réduire l'exposant m à 0 ou à 1, ce qui ramène à une des deux intégrales connues :
j da- = J- + C, j tgj' dx = — Log cosa--h C.
Deuxième cas : m < — 1, h = ou > 1. — Ce cas est le symétrique
du précédent. La formule (2) permettra d'effectuer l'intégration, sinon
elle ramènera à l'une des trois intégrales suivantes, cii k est un entier
positif :
r k 1 fcos^j- r dx
cos^ xdx, --. — dx,
sm X Jcos'^x
Les deux premières s'intègrent par la méthode de réduction que nous indiquerons plus loin pour le quatrième cas, la dernière par celle du cinquième cas.
Troisième ras : m = ou > 4, n = ou > — 1. — C'est la formule (3) qui convient à ce cas. Si m est impair, cette formule permet de réduire m à l'unité, auquel cas l'intégration est immédiate. Si m est pair, elle permet de réduire m à 0. On obtient ainsi l'intégrale {n > — 1)
j nos" X dx.
Si n est égal à 0, à 1 ou à — 1, l'intégration se fait immédiatement par l'une des formules du n^ 189. Si n est > l, on appliquera la méthode de réduction du cas suivant, ce qui achèvera l'intégration.
Quatrième cas : m = ou > — 4, ?i = ou > 1. — Ce cas est le symétrique du précédent. On appliquera la formule (4), Si n est impair, on peut le réduire à l'unité, ce qui rend l'intégration immédiate. Si n est pair, la formule permet de le réduire à 0, ce qui donne l'intégrale
sin"*a; dx.
Celle-ci s'obtient par une des formules du n» 189 quand m est égal à 0 à 1 ou à — 1. Sinon, l'intégration s'achèvera par la méthode de réduction du cas précédent.
Cinquième cas : m et n nuls ou négatifs. — La réduction se fera par l'emploi simultané des formules (5) et (6). Si m n'est pas égal à 0 ou à — 1 de prime abord, la formule (5) permettra de réduire m à l'une de ces deux valeurs. De même, si n n'est pas de prime abord égal à 0 ou à — 1, la formule (6) permettra de l'y réduire. En définitive, il restera à calculer une des intégrales
u u^, [j^. r Jî —
j ' j sm a; j cos x J sm x cos x dont les valeurs sont connues (n" 189).
198. Cas d'intégrabilité facile. — 11 y a lieu d'attirer l'attention sur les trois cas suivants, qui sont des cas d'intégrabilité facile correspondant à ceux des diflerentielles binômes (n° 180).
1° Si m est positif et impair, soit m ^ 2A- + 1, cos a: === ^ ; il vient
1 sin'" X cos^xdx = — 1(1 — 2*)^ z" dz
2° Si n est positif et impair, soit n = 2A: -|- 1, sin ii- = z ; il vient
jsin»' X cos"x dx = b"» (! — ::•«)'' dz
3*» Si m + n est négatif et pair, soit m 4- n -^ — 2 k, Ig x ^ z ; il vient
jsin"' X cos" a- dx = iz"^ {\ + z-)^ * dz.
Dans ces trois cas, on dévelopj)era donc la puissance du binôme par la formule de Newton et chaque terme sera immédiatement intégrable.
— iSl —
La méthode d'intégration par substitution résultant des théorèmes généraux sera donc préférable, dans ces divers cas, à l'emploi des formules de réduction.
Remarque. — Si m + n = 0, il vient par la substitution igx = z
s'» dz
En supposant m positif, il suffira donc d'effectuer la division de 2"* par \ -\- z^- pour pouvoir intégrer. Mais on constate immédiatement qu'on tombe sur les mêmes calculs qu'en appliquant la formule (7). Donc, dans ce cas, les méthodes d'intégration par rationalisation et par réduction coïncident.
199. Cas particuliers. Intégration de sin'" x dx et de cos"' x dx. — Ces différentielles se ramènent l'une à l'autre par le chang-ement de x en — -Y X \ nous considérerons donc seulement la première. Celle-ci sera de l'une des quatre formes suivantes, où k désigne un entier positif :
%\vr^-^^xdx, —^m — ' ■ „-^ ,. — . sin-f^xdx.
sm-'^a? sur'' r^ a;
Les deux premières rentrent dans les deux premiers cas d'intégrabilité facile du n° précédent.
On a, par la substitution cos x = z,
sin2Â+i xdx^ — [l — z^Y'dz,
et, par la substitution cot x = w,
■ "t =—(14- «*')''"' dtc.
La troisième, sans se ramener à la différentielle d'un polynôme, se réduit toutefois à une somme de différentielles immédiatement intégrables
OC
par la substitution ig ^ = t, qui donne
dx 1(1+ t^f' dt 1 ( \y^^ d^
sin^'t+i X ' 1^^ f"^-^^ 2^^\^ tj t
La dernière différentielle est la plus longue à intégrer, il faut recourir soit aux méthodes de décomposition du n" 190 soit à la formule de réduction (5), qui devient
8 sin"* X dx =- sm^-2 x dx.
Cette formule ramènera, puisque m est supposé pair, à
dx = X -\- C.
Remarque. — Les résultats précédents permettent de prévoir quelle sera la forme de l'intégrale cherchée dans les quatre hypothèses que nous venons d'examiner. Soient P>i(a;) un polynôme de degré n en ce, A et B des constantes numériques. On aura
sin-''+^ xdx ^ P2ft+i (cos x) -\- C -r^— = P.ft-i (cot a;) + C .
= PM tg o - P^4 cot - + A Logtg^ 4- c
I sin^'^ X dx = sin x cos x Psa— 2 (sin x] -{-^ x -\- C.
200. Intégration de sin"* a; cos" a; c^a? par d'autres méthodes. — Il est toujours possible d'éviter l'emploi des formules de réduction. Nous avons déjà vu comment au n° 190 quand m et n sont nuls ou positifs. Nous supposerons donc maintenant qu'un au moins de ces exposants soit négatif.
I. Si m et w sont de signes contraires, la différentielle proposée sera de l'une des deux formes suivantes, où ?; et q sont nuls ou positifs :
sin^o? - cos^a? ,
— —-dx, . ^ dx.
cos« X sin9 X
Si p >îst impair, c'est un des cas d'intégrabililé facile du n» 198. Supposons donc que p soit pair et considérons seulement la deuxième différentielle, puisque la première s'y ramène par le changement de x en
^ -\- X. Soit j) = SA ; on remplacera cosP.*; par (1 — sin-a')'* , on développera et la différentielle se partagera en une somme d'autres qui s'intégreront par les méthodes du n° 199. Toutefois on n'appliquera cette méthode que si m + w n'est pas pair et négatif, auquel cas on retrouverait encore une fois un cas d'intégrabilité facile du n° 198.
II. — Si m et n sont tous deux négatifs et de même parité, m -\- n est pair et négatif. C'est le cas facile que nous venons de rappeler. Si m et n sont négatifs mais de parités diflërentes, la différentielle sera de l'une des deux formes suivantes où p et q sont positifs (q pouvant être nul) :
dx dx
am-^x cos^*+*a;' sin'^^+'a; cos^^a;
On peut d'ailleurs supposer que ce soit la seconde forme, car la première s'y ramène par le changement de ./• en x -\- ,y.
Pour intégrer cette différentielle, on la multiplie par sin-a: + cos-a;. Cette multiplication a pour effet de la décomposer en deux autres :
dx dx
8in-9~*a7cos*^a? sin^*+*a? cos^^^^a;
Ces deux différentielles sont encore de la même forme que la proposée, mais les exposants sont diminués. Il n'y a exception pour la première que si g = 0 et pour h seconde que si ^^ = 1 , auxquels cas ces différentielles prennent l'une des deux formes :
sina; dx dx
cQ^Vx' sin'^'-l-ia;'
mais alors la première est immédiatement intégrable et la seconde s'intègre par la méthode du n° 199.
Si les termes obtenus ne sont pas de cette forme, on recommence sur chacun d'eux la même opération et on continue ainsi de suite jusqu'à ce que l'intégration puisse se faire comme ci-dessus.
Exercices.
