CHAPITRE VI

Intégrales définies.

§ 1 . Des intégrales définies considérées comme limites de sommes.

201. Origine géométrique des intégrales définies. — Soit /(a;) une fonction continue dans un intervalle {a, b) ; considérons la courbe qui a pour équation en axes rectangulaires

et supposons, pour fixer les idées, que l'ordonnée soit constamment positive dans l'intervalle {a, b). Proposons:nous de définir et d'évaluer l'aire' comprise entre la courbe, l'axe des a- et les deux droites x = a et X = b.

Partageons cette aire en segments consécutifs par des parallèles à l'axe des y d'abscisses successives œ^, x^,.. Xi,.. x>, menées entre les abscisses extrêmes ;r, = a, x>,+i =h. Un segment quelconque de base iXi^\.^ —x/) sera compris entre deux rectangles, l'un inscrit dans ce segment et l'autre circonscrit. Le premier a pour hauteur le minimum nh de f{x) dans l'intervalle (.*•/, jv-i) et l'autre, le maximum M, de t'{x) dans le même intervalle. Donc l'aire à évaluer sera comprise entre les deux sommes :

Il II

« = i: m/ (.i'H-, — Xi) , S -= i: M, [Xrii — Xi),

qui sont celles des rectangles inscrits ou des rectangles circonscrits aux segments.

Donc, si l'on peut démontrer que ces deux sommes tendent vers une limite commune, lorsque les points a-,, x^,.. x^.. se rapprochent indéfiniment les uns des autres et que leur nombre augmente indéfiniment, cette limite commune pourra sprvir de définition et de mesure à l'aire que nous nous sommes j)roposé d'étudier.

Le problème géométrique ([ue nous venons de poser conduit donc

à étudier les combinaisons des formes s et S. On verra que, comme le lait prévoir la représentation géométrique, l'égalité de leurs limites iutoujours l]eu quand la fonction f{x) est continue. Cette limite commune s'appelle alors une intégrale définie. Donc une intégrale définie représente géométriquement l'aire d'une courbe plane.

Nous allons maintenant reprendre la question à un point de vue purement analytique et plus général. Mais les considérations préliminaires qui précèdent sont de nature à jeter un certain jour sur les démonstrations plus abstraites que nous allons exposer.

202. Définition générale et propriétés des sommes S et s. — Soit f{x) une fonction simple et bornée dans un intervalle [a, b). Nous ne faisons d'abord aucune hypothèse sur la continuité de cette fonction. Partageons l'intervalle (a, b) en n parties consécutives par les points :

X^ = (l, .^2, .^3,... Xi,... X)ij Xji-l-i = 0.

Désignons, en général, par

Oi = Xij^i — Xi

l'amplitude d'un de ces intervalles, par M^ et w« les limites supérieures et inférieures de f[x) dans l'intervalle ô^. Formons les deux sommes, analogues à celles considérées dans le n" précédent,

S = i: M, hi, s = £ Mi s.-.

Ces deux sommes jouissent des deux propriétés fondamentales suivantes :

I. Les deux sommes S et s sont comprises entre deux limites fixes, indépendantes du mode de subdivision de lintervalle [a, b).

En effet, f{x) étant bornée dans l'intervalle (a, b), soient M et m ses limites «upérieure et inférieure dans cet intervalle. Considérons la somme S ; tous les iM, sont compris entre M et m et la somme des intervalles ô« est égale h {b — a). Donc ï M,- o, ou S est compris entre les deux limites :

mib — a) et m(b~a).

On prouve semblablement que s est compris entre les deux mêmes limites.

II. Si, ayant calculé les deux sommes S et s pour un premier mode de subdivision, on intercale de nouveaux points de subdivision entre les premiers, la somme S sera stationnaire ou décroissante, la somme s

stationnaire ou croissante. De plus, si o désigne mie limite supérieure de Vamplitude des intervalles primitifs et v le nombre des nouveaux points de subdivision ajoutés, la variation de chacune des deux sommes sera moindre que v (M — m) 5.

Considérons la somme S. Supposons d'abord qu'on n'ajoute qu'un seul point de subdivision et que ce point tombe dans l'intervalle o.. Cet intervalle sera partagé en deux autres o^! et S" et le terme primitif M^5j. sera remplacé dans la nouvelle valeur de S par la somme

où M^! et M^!' sont les limites supérieures de \'[x) dans les intervalles 5] et 8^!'. Mais, ceux-ci étant des parties de 5^., on a

et, comme 8^! + 8]' = 8^., on en conclut

Donc, après l'adjonction d'un nouveau point de subdivision, la somme S ne peut pas avoir augmenté, et si elle a diminué, sa variation sera inférieure à (M^. — m^ 8^ et a fortiori à (M — m) 8.

Si, au lieu d'un seul, on ajoute v nouveaux points de subdivision, on peut les supposer ajoutés successivement, et comme le raisonnement précédent s'applique \)ouv cliacun d'eux, on voit que la somme S sera stationnaire ou décroissante et que sa diminution totale ne pourra surpasser v (M — m) o.

Le raisonnement est analogue pour la somme s.

Ceci posé, on a le tbéorème fondamental suivant :

203. Théorème de M. Darboux. — Si l'on multiplie indi'liiiimcnl le nombre des points de subdivision, de manière que tous les intervalles Zi tendent vers %éro, les deux sommes S et s tendront respectivement vers des limitefi déterminées L et /, indépendantes du mode de subdivision adopté.

Considérons d'abord la somuie S. (rest une quantité variable, mais bornée supérieurement et inférieurement en vertu de la propriété I du n° précédent. Soit L le plus grand nombre qui ne surpasse aucune des sommes S possibles, ou, en d'autres termes, la limite inférieure de toutes ces sommes (n" 20). Je dis que S a nécessairement pour limite L quand tous les intervalles 8, tendent vers zéro.

En effet, soit s un nombre positif aussi petit qu'on veut, on pourra trouver un premier mode de subdivision A', tel que la somme correspondante S' soit moindre que L + £, sinon L ne serait pas la limite inférieure supposée. Soit v le nombre des points de subdivision de \'. Je vais démontrer que toute somme S relative à un mode quelconque de subdivision à en parties plus petites que o, différera de L d'une quantité arbitrairement petite 2s, pourvu seulement que o soit assez petit.

En effet, considérons un troisième mode de subdivision A" obtenu en ajoutant les points de subdivision du mode A' à ceux de A, donc au maximum v nouveaux points de subdivision, et soit S" la somme correspondante. On aura, par la propriété (I du n" précédent, S — S" < v(M — m) 0.

Mais A" résulte aussi de l'adjonction des points de subdivision du mode A à ceux de A', de sorte qu'on a aussi S" < S' et a fortiori < L + c.

On conclut donc a fortiori de l'inégalité précédente, qui peut s'écrire S < S" + v (M — m) o,

S< IH-î + v(M — //i)o et il suffit de supposer ù<z -. (M — m) v pour que l'on ait

Donc S, qui ne peut être inférieur à L, en diffère aussi peu que l'on veut à condition de supposer tous les ti assez petits, c'est-à-dire que S a pour limite L.

On prouve d'une manière analogue que s tend vers une limite déterminée /, qui est la limite -^érieure de toutes les sommes s possibles.

Ces deux limites L et / peuvent être différentes, mais le cas le plus intéressant est celui où elles sont égales et l'on dit alors que la fonction f{x) est inlégrahlc. Cette condition a lieu lorsque f[x) vérifie certaines conditions de continuité. Nous commencerons par établir quelques propriétés générales des sommes L et /, qui nous conduiront facilement à cette conclusion et qui nous seront d'ailleurs utiles par elles-mêmes.

204. Propriétés des limites de sommes L et /. — Nous venons de démontrer que les sommes S et s tendent vers des limites détermi-

nées quand toutes les parties oi de l'intervalle (a, h) tendent vers zéro. Ces limites dépendent évidemment de l'intervalle [a, h) luimême. C'est pourquoi, au lieu de L et /, nous écrirons aussi L« et /« avec des indices qui font connaître l'intervalle dans lequel se fait la sommation.

Ces expressions jouissent des propriétés suivantes :