I. Si c est un point intermédiaire entre a et b, on a
iJo = L'a H~ L/c
et une relation analogue pour l.
En effet, les deux membres ont le même sens pourvu que, dans le calcul de L^,, le point c soit toujours choisi comme jioint de subdivision de l'intervalle (a, h), ce qu'on peut toujours admettre, puisque la limite est indépendante du mode de subdivision adopté.
II. En désignant par ix une inoyenne entre les limites supérieure et inférieure M et m de f{x) dans l'intervalle [a, b), on peut écrire
La = [J. [b—a] et une relation analogue pour L
En effet, on a vu (n° 202) que la somme S est toujours comprise entre M {b — a) et m [b — a), donc sa limite sera comprise entre les deux mêmes quantités, ce qu'exprime l'équation précédente.
III. Remplaçons b par une variable X, ce qui est permis pourvu que\
soit > a et que f[x) soit toujours bornée dans l'intervalle [a, X) ; les
deux limites de sommes
i-iff , 'a
seront des fonctions de X, je dis que ce sont des fonctions continues de\.
Posons, pour plus de clarté,
L,^ = F (XI DoiHions à X un accroissement positif // ; on aura, par la pi'opriélé I,
F (X + h) -^ L^ -f lV - F (X) + LF" et, par la propriété II,
F(X + //) — F(X) ^ a//, ,u étant une moyenne entre les limites supérieure et inférieure de/'(ir)
dans l'intervalle (X,X + //). Donc y- reste fini quand h tend vers zéro et [j. h tend vers zéro avec h. On a donc
limF(X + /0 = F(X).
La même conclusion subsiste pour h négatif. En effet, on a dans ce cas, en s'appuyant sur les mêmes théorèmes,
F (X + h) = L^ - là+, = F (X) - .a (- h) == F (X) + iJ. h, c'est-à-dire la même équation que dans le premier cas. Donc L^ est une fonction continue de X.
La démonstration se fait de même pour /« .
l\. Si f{x) est continue pour x = X, les deux fonctions L^ et /„ ont pour dérivée /'(X) en ce point.
Reprenons, en effet, l'équation précédente
OÙ // a un signe quelconque et où y. désigne une valeur moyenne
entre les limites supérieuie et inférieure de f{x) dans l'intervalle
(X, X + ^). On en tire, en faisant tendre h vers zéro et en observant
que f[x) est supposée continue pour a- = X,
hm — ^^ j = lim u -= / (X)
Donc, par définition de la dérivée, F (X) ou L« a pour dérivée /(X). La démonstration serait la même pour /« .
205. Fonctions intégrables. Intégrales définies. — Lorsque, pour une fonction /'(a), les deux limites de sommes L« et /« sont égales, la fonction [[x] est intégrable dans l'intervalle (a, b). La valeur comnmne de ces deux limites s'appelle une intégrale définie et se représente par le symbole
f{x)dx,
Jo.
que l'on prononce : intégrale (ou, plus souvent, somme) de a à h f{x) dx.
La lettre x sous le signe d'intégration i)eut être remplacée par toute autre lettre, l'exfjression
Ja
est identirpie à la précédente.
Les quantités a oX b sont les limites de l'intégrale ; a est sa limite inférieure et b sa limite supérieure.
Nous ne nous proposons pas de rechercher ici les caractères généraux des fonctions intégrables. C'est une étude assez spéciale qui doit être faite dans un paragraphe particulier. On ne rencontre guère, en pratique, que les fonctions dont l'intégrabilité résulte des deux théorèmes suivants, auxquels nous nous bornerons pour le moment :
I. Une fonction f{x) est intégrable dans tout intervalle (a, b) oh elle est continue.
En effet, faisons varier X depuis la valeur a jusqu'à la valeur b ; par la propriété IV du no précédent, les deux fonctions La et /« ont constamment môme dérivée dans l'intervalle {a, b), donc elles ne peuvent différer que par une constante. Mais il résulte de la propriété I du n° précédent qu'elles s'annulent toutes deux quand X tend vers a. Donc elles sont constamment égales et elles le sont, en particulier, pour X = &.
Ce théorème peut être démontré directement, sans recourir à la considération des dérivées, mais en se servant du théorème IV du n° 27. En effet, calculons les sommes S et s avec les mêmes subdivisions o<^ ce qui n'inllue pas sur leurs limites, il vient
S — .9 = S(M,:-;ne)oY
Quelque petit que soit i, on peut supposer tous les o/ assez petits pour que toutes les différences Mj — trii soient < e, et comme la somme des oi est égale à {b — «), il vient
Donc la différence S — s devient inférieure à tout nombre donné à condition de pousser la subdivision assez loin ; par conséquent, S et s ont la même limite et L = ^.
IL Plus généralement , une fonction bornée f[x) est intégrable dans fout intervalle {a, b), oii ellr lùi qu'un nombre limité de points de discontinuité.
En effet, faisons croître X à partir de la valeur a et soient X,, X.,, ... les points de discontinuité successifs de f{x). Les deux fonctions Lrt et la sont égales, par la démonstration précédente, tant que X est < Xi, donc, étant continues (n" 204, III), elles sont encore égales pour X = X,. Elles ne peuvent différer (pie par une constante quand X varie de X, à X., car leurs dérivées sont égales, mais.
comme les deux fonctions sont égales pour X = Xj, elles sont constamment égales et elles le restent encore pour X = Xj, et ainsi de suite.
206. Autres limites de sommes qui peuvent servir de définition à l'intégrale définie. — Il est souvent utile de considérer l'intégrale définie comme la limite d'expressions différentes des précédentes. Supposons que f{x) soit intégrable dans l'intervalle [a, b) et faisons de nouveau le partage de cet intervalle par les points Xi = a, x^, ... Xi, ... Xn+i== b en parties d'amplitudes Bj ==^ (^v+i — Xi). On pourra aussi poser
tb n
les points ç/ étant choisis respectivement d'une manière arbitraire dans chacun des intervalles ùi et tous ces intervalles tendant vers zéro. En effet, f{zi) étant compris entre M^ et 77ii, la somme pi'écédente est comprise entre les deux expressions ^MiOi et I^miO/, qui ont toutes deux pour limite l'intégrale définie, donc la somme considérée doit avoir la même limite.
On peut choisir, en particulier, li ■== xi et écrire S^ = dxt ; il vient alors
f [x) dx = lim E /■ [x^ dxi
Ainsi, l'intégrale définie peut être considérée comme la limite d'une somme de difj'érentielles. C'est même là le premier point de vue auquel on s'est placé pour la définir. Aussi c'est dans la relation précédente que l'on trouve l'origine de la notation de l'inlégiale définie et, en particulier, du signe j" qui représente une limite de somme.
207. Propriétés des intégrales définies. — Répétons d'abord trois propriétés, déjà reconnues (no 204) aux limites de sommes L et / qui servent de définition à l'intégrale définie :
