I. Si c est compris entre a et b, on a

(1) r /• {x) dx -= f /• {x) dx-^ ( V [x] dx

Ja ja Je

II. On peut poser, ]x étant intermédiaire entre les limites supérieure et inférieure de f[x) dans l'intervalle (a, b)

(2) {'f[x)dx^^{b-a)

Ja

m. L'intégrale à limite variable >

est une fonction continue de X et, en tout point où f{\) est continue, elle a f{\) pour dérivée. D'où le théorème suivant qui est fondamental :

La dérivée d'une intégrale définie par rapjwrl à sa limite supérieure est égale à la valeur de la fonction sous le signe d'intégration à cette limite, pourvu que cette fonction soit continue en ce point.

L'intégrale définie possède aussi des propriétés qui lui sont plus particulières, comme les suivantes :

IV. Si une fonction intégrable f{x) se décompose en une somme d'autres fonctions intégrables cp (x) + 'i {œ) -f •■•, on a

I ' /■ (j-) di' - (' '^{x)dX'{- (' 'l [x] dd

C'est la règle d'intégration par décomposition dans le cas des intégrales définies.

Celte règle se démontre facilement au moyen de la définition de l'intégrale donnée au n" précédent. En effet, on a constamment

ï/-(i/)S. = S cp (i,) 0, + ^ -Mi') ^^/ -1-- Faisons tendre tous les 8, vers zéro et passons à la limite, l'équation précédente sera remplacée, par définition, |iar l'équation (3).