V. Il est utile d'observer la relation (4) I ' dx (b-a

qui a lieu par définition, car, f{x) étant égale à I , cette intégrale est la limite de -o, et cette somme est toujours égale à b — a.

VI. L'intégrale définie a, lorsque / (.r) est continue et ])0sitive, une signification géométrique, qui résulte d(;s considérations émises au début du chapitre (n'^ 201). L'expression

j''fix)dx

mesure l'aire de la courbe qui a pour équation y =-- f{x) en coordonnées rectangulaires, cette aire étant limitée par la courbe, l'axe des X et les deux droites x - a et x = h.

208. Autres propriétés et remarques complémentaires. — I. On a' supposé jusqu'ici ]) > a pour définir l'intégrale

f{x) dx,

mais on p(3ut aussi supposer h < a. La définition reste formellement' la même, pourvu que f[x) soit intégrable dans l'intervalle [h, a). Le partage de cet intervalle se fait alors par les points J^a. ^3. ••• ^i> ••• ^"« qui se suivent dans l'ordre de a vers b. Soit encore x^ = a, a^j + i = b et ùi -= Xi+i — Xi ; on pose, comme précédemment,

r f(x) dx = lim S MiOi = lim S m.S,- = lim î f{li) o,-,

mais toutes les quantités §«■ sont maintenant négatives. Remarquons que l'on a, par la définition habituelle,

limi: M À = — limi M , {—o,)=~\"f {x) dx ;

/ = i i = n Jb

nous obtenons ainsi la relation

(5) { f{x)dx= — {'' f[x)dx.,

Ja Jb

Donc intervertir les limites d'une intégrale définie revient à changer son signe.

IL La remarque précédente permet d'écrire l'équation (1) du n° précédent sous la forme suivante :

(6) Cfix) dx -\~ fVi^) d^ + T/" (^) d^ = 0,

Ja Jb Je

comme on a en géométrie ab + bc + ca = G en vertu du principe des signes. Sous cette forme, l'équation est symétrique en a, b ei c ; par conséquent, elle subsiste quelles que soient les situations respectives de ces trois points. Elle suppose seulement que la fonction soit intégrable dans chacun des intervalles considérés.

IIL Un facteur constant peut être mis hors du signe d'intégration. Soit, en effet, A constant ; on a, par définition (n° 200),

\"x f{x) dx = lim y: A fili) 3, = A lim ï f[h) oi

Par conséquent.

(7) rAf{x)dx = X rf{x)dx.

Ja Ja

IV. Lorsque [(.r) est continue, l'équation (2) du n° précédent peut être transformée. Celte fonction peut acquérir toute valeur comprise entre son maximum et son minimum dans l'intervalle [a, b) et, en particulier, la valeur ;jl pour une valeur ç de .r comprisf; entre a et h. Il vient donc

(8) \"f{x)(ir = fa){b-a)

Cette formule ainsi que la formule (2) dont elle dérive, sont des cas particuliers du théorème de la moyenne, qui suit .

209. Théorème de la moyenne. — Considérons l'intégrale {b > a)

f {.X) '^ [x) ih-

et supposons que la fonction à intégrer soit le produit de deux fonctions intégrables, dont l'une cp (x) est constamment positive dans l'intervalle la, b) et dont l'autre a respectivement M et m comme limites supérieure et inférieure dans cet intervalle. On aura

I '[M — f{x)] o {X) dx > 0 f \f{x) — m] -ç {xi dx . 0,

car, les fonctions à intégrer étant constamment positives, ces intégrales sont des limites de sommes positives. On peut décomposer ces intégrales en deux autres (n" 207, IV) et faire sortir les constantes M et m du signe d'intégration (n" 2u8, III) ; il vient ainsi, sans diftîculté,

M 1 cp (.r) dx > \ f(x) cp (x) dx > m \ o {x)aIx.

Ja ' Ja Jn

Donc, en désignant par [x une valeur moyenne entre celles de i'{x) dans l'intervalle (a, b), on peut écrire

rb ri.

(9) f{x) cp {X) dx=- Il \ cp (x) dx

J" Jf

(i'est dans cette relation que consiste le théorème de la moiienne. Nous l'avons établie en supposant b > a et -f (x) positif, mais elle subsiste évidemment, pourvu que z> (x) ne change iia.s de signe dans l'intervalle (a, b).

Quand /'(.r) est une fonction continue dans l'intervalle (a, b), on désigne par ; une valeur de x dans cet inlervalle et l'on peut écrire l'équation (9) sous la forme suivantr :

(10) ( f(x)dx^f{k^ ( .<D{x)dx.

Ja Ja

En faisant z. (x) = l, dans les formules (9) et (10) on retrouve les

formules (2) et (8) obtenues plus haut, savoir

ru ru

f{x) dx = u dx == 'X [b — a),

{')\x) dx = /•(;) {'dx = ni) {b - a).

Jft Jrt

S 2. Relation entre les intégrales définies et indéfinies. Calcul des intégrales définies.

210. Retour sur le chapitre précédent : Existence d'une fonction ayant pour dérivée f{x). Remarques sur les notations. — Dans tout le chapitre V, on a admis provisoirement le résultat suivant, énoncé au n" 158 : Si f{x) est contimie dans l'intervalle [a, b), il existe une fonction ayant f{x) pour dérivée dans cet intervalle. Ce théorème se trouve maintenant rigoureusement établi. En effet, l'intégrale

fin) du

est une fonction particulière qui jouit de cette propriété (n" 207, III). Lorsqu'il n'en résulte aucune confusion, on remplace habituellement la variable y par x dans la notation de l'intégrale précédente, qui devient

fix) dx.

Cette expression a donc pour dérivée la fonction /" (a;) écrite sous le signe d'intégration. Cette propriété commune des intégrales indéfinie et définie :

jfix)dx, \j-{i-)d^-,

explique l'origine du signe | dans la notation de la première.

211. Relation fondamentale pour le calcul des intégrales définies. — Lorsque, par un procédé quelconque, on a trouvé une fonction continue F [x) qui admet f{x) pour dérivée dans l'intervalle [a, b), cette fonction ne peut dillerer que par une constante de l'intégrale définie considéré", ci-dessus, car ces deux fonctions ont la même dérivée, li vifnt donc, C désignant une constante à déterminer,

\''l{x)dx = ¥{x)-]-C.

En particulier, si x = a, on trouve O--F(a) + C, d'où C = — F(a) ; j3ar conséquent,

rf[x)dx^Y{x)—Y [a]

et, si l'on fait x ^ b,

il)

Ç'f(x) dx = F{b)-~ V ia)

C'est la fornmle fondamentale pour le calcul des intégrales définies. On la met souvent sous la forme plus condensée

dx = [F (^•):i

Le second membre se prononce en abrégé : F (x) aux limites a et b. Il représente l'accroissement éprouvé par la fonction continue F (.r), quand x passe de a à b. De là le théorème suivant :

L'intégrale définie f{x) dx, prise entre deux limites entre lesquelles

f[x) est continue, est égale à r accroissement d'une fonction continueY {x) ayant f'{x) pour dérivée, quand x passe de a à b.

212. Sur la manière d'employer le théorème précédent. — Le théorème précédent est fondamental. Il ramène le calcul de l'intégrale définie à celui de l'intégrale indéfinie, auquel s'appliquent toutes les méthodes exposées dans le chapitre V.

En ellét, l'intégrale indéfinie est, par définition, une fonction ayant pour dérivée f{x) et l'équation (2) peut s'écrire

\j\x)dx^- [jf{x)dx'^\

L'intégrale indéfinie comporte une constante arbitraire, mais on peut )a négliger |)our le calcul de l'intégrale définie, car le théorème précédent s'applique à toute fonction ayant jiour dérivée f{x).

Lorsque la fonction F {x) est à déterminations multiples, le choix des valeurs à attribuer à F {a) et F [b) dans la formule (1) n-sulte de la condition de continuité imposée à V {x). En général, on pourra choisir arbitrairement la détermination de F (a) mais alors celle de F {b) est imposée, car il faut que ¥ (x) varie d'une manière continue de F {a) à F (b) quand x varie de a à b.

Cette remarque s'applique, en particulier, aux inverses des fonctions circulaires. On a, par exemple, *^ dx

I i , ^.i = arctg/^ — arctgfl,

mais les valeurs arc tg a el arc tg b doivent appartenir à la même branche de la fonction. Le plus simple est donc de considérer la branche principale. Si l'on lait « = 0 et 6 = 4, il vient ainsi

213. Remarque sur la définition de l'intégrale définie. — Certains auteurs prennent la relation (3)

comme définition de l'intégrale définie, et considèrent comme une propriété l'égalité de cette expression avec une limite de somme. Ce mode d'exposition peut paraître plus simple à première vue, mais cette simplicité est plus apparente que réelle. En effet, cette définition postule l'existence d'une fonction ayant pour dérivée f{x), et celle-ci ne peut être établie d'une manière générale que par la considération d'une limite de somme.

214. Extension des procédés d'intégration aux intégrales définies. — Les règles d'intégration ]iar décomposition, par parties et par substitution s'étendent aux intégrales définies, mais avec des modifications tenant aux limites.

L Si M, i', w, ... sont des fonctions intégrables de x, on aura

(4) {u -f v — w + •••) cf,r = u (la- -f v d.r — w dd' ^ ■■• C'est la rè(i le d'intégration par décomposition ûéik démontrée (n° 707, IV).

H. Soient u et v des fonctions de x ayant des dérivées intégrables u' et v' dans l'intervalle (a, b) ; uv a pour dérivée uv' -\-v'u; on a donc

I [uv' -\- ii'v) dx = uv

et, par la règle précédente,

(5) uv' dx = \ uv\ — vu' dx.

Ja L J,, J,(

C'est la règle d'intégration par parties.

III. La règle d'intégration par substitution exige un peu i)lus d'attention. Soit /(a-) une fonction continue de x dans l'intervalle (a, b) ; posons

et supposons : 1" que, quand t varie de l^ à T, cp (/,) varie d'une manière continue de a hb ; '2° que cp [t) cil une dérivée continue cp' (t) dans l'intervalle (f,, T) ; 3° que f[f{t}] soit aussi continue dans cet intervalle. Cette dernière condition résultera d'ailleurs des précédentes si cp(f) reste compris entre a et b. Je dis qu'on aura

(6) 1 V(^) dx == Cfl^fil)] 'f ' 1/) dt.

Pour le démontrer, considérons les deux fonctions de t : f{x)dx et f[o{t)]'^' it)dt.

Elles ont même dérivée. La dérivée de la seconde est la fonction sous le signe d'intégration (n° 207). Celle de la première s'obtient par la règle des fonctions de fonctions : on calcule d'abord la dérivée de cette intégrale par rapport à sa limite supérieure 'f{t), ce qui donne fb^(l)], puis on multiplie ce résultat par la dérivée de cp(0. On trouve dans les deux cas f[o{t)] (£>'{t).

Les deux intégrales ayant même dérivée, ne diffèrent que par une constante ; elles s'annulent toutes deux pour t = t^, donc elles sont égales. En particulier, si t =- T, il vient

f{x)dx~'- n^f{t)]'f'{t)di.

Cette équation revient à (6), car cp (fj =- a, cp (T) == b.

Remarque. — La formule (6) étend aux intégrales définies la règle d'intégration par substitution. On voit que l'intégrale transformée par la substitution x =^ o (t) aura pour limites les valeurs de t qui correspondent aux valeurs limites de x.

La règle d'intégration par substitution ne peut être employée sans certaines précautions. En effet, si l'une des conditions supposées dans la démonstration venait à manquer, la règle [)Ourrait conduire à des résultats erronés.

Considérons, par exemple, l'intégrale

dx.

Si l'on fait la substitution x - 1 : /, l'application inconsidérée de la formule (6j donne un résultat faux, savoir

Mais les conditions du théorème n'ont pas lieu, car cp {t}, étant égal à 1 : t, ne varie pas d'une manière continue quand t varie de — 1 à + 1.

214. Généralisation de la démonstration relative au changement de variables. — La règle d'intégration par substitution vient d'être établie dans l'hypothèse où f{x) est une fonction continue. La démonstration peut s'étendre à toute fonction intégrable /"(-'-'). Considérons donc, dans cette hypothèse, l'intégrale.

et proposons-nous de la transformer par la substitution

en admettant : 1" que o(t) et 'f\t) sont continues dans l'intervalle de t^ à T ; 2° que l'on a '^{t^) = a, cp(T) = b ; 0° que f[o{i)] <i'{t) est intégrable dans l'intervalle (ïj, T).

Nous commencc'i'ons par supposer que -.^'(t) ne change pas de signe dans l'intervalle de t^ à T. Nous admettrons, pour tîxerles idées, que T est > ^i et que cp'(^) est positif. Alors •-•[t) est une fonction croissante dans l'intervalle (^j, T). Décomposons cet intervalle eu parties indéfiniment décroissantes par les points fj, ^'g,... ti,... ^^+1 = T et soient iCi == a, CC2,... Xi,... ocn+i = b les valeurs correspondantes de ce. Ces valeurs seront rangées par ordre de grandeur et se rapprocheront indéfiniment avec celles de t. Posons, en général,

on aura par le théorème des accroissements finis, 6/ étant compris entre ti et ii-^i ,

Désignons encore par ;« la valeur de ce correspondant à. t =^ f)r, celle-ci sera comprise entre X/ et Xi^i , de sorte qu'on aura, par définition (no206).

rr{a^dœ==\ïm if^^^i.

Cette somme peut s'écrii'e

et, quand tous les intervalles tendent vers zéro, elle a pour limite

C n'f{i)]'r'{i)dL

Telle sera donc l'expression de l'intégrale transformée en t.

Cette première démonstration suppose que o' [t) ne change pas de signe dans l'intervalle (<,, T). On peut l'étendre au cas où o' [t) changerait de signe, même un nombre infini de fois.

Considérons, en effet, la différence

■■M] rt

C'est une fonction de t dans l'intervalle {t^, T). Elle s'annule pour t =^ t^ et, par conséquent, elle est nulle dans tout cet intervalle, car je vais démontrer que sa dérivée est constamment nulle.

A cet effet, considéi'ons deux valeurs quelconques t ei t -{- ^t dans l'intervalle (i!,, T). Soient A.^ et A'i; les accroissements de 'f et de -^ qui correspondent à \t. Observons qu'on peut remplacer t par une autre lettre x sous le signe d'intégration ; on aura

A'J; = ' ' f[x) dx — f{^[x) I ■:;\x) dx.

Considérons une valeur particulière t ; je dis que 'WC\ sera nul. En effet, o'(^) est différent de zéro ou est nul :

P Si tp'(^) est différent de zéro, on peut supposer A/ assez petit en valeur absolue pour que «p'(a?) qui est une fonction continue ne change pas de signe dans l'Hitervalle de < à < -[~ -^^^ Alors les intégrales de l'équation précédente sont égales par la démonstration faite en premier lieu. Donc, pourvu que |A^| soit assez petit, AJ; ^ 0 et '^^{t) = 0.

2°) Si 'f '(0 = 0, désignons par ;j. une valeur moyenne de f\oc) dans l'intervalle de 'o{t\ à cp(^) -f A'j) et par ij.' une valeur moyenne de /T'f(^)]'f '(.'") dans l'intervalle de < à ^ + -^^ ; le théorème de^moyenne, appliqué à chaque intégrale, donne ■^*"

A'i -= [j-Av — ia'A^, A'i/ Acs ,

A^ ' A< ' Si A^ tend vers zéro. Ao : A^ tend vers 'f'(^) qui est nul par hypothèse; [ji' tend aussi vers zéro, car on a (0 < 0 < 1).

,..'.-^/-[-^(r|-OAj!)]'f'(/-|-OA^).

Donc d'I : dtQw 'Wï) est encore égal à zéro.

215. Intégrales définies généralisées. — La (.léliiiitioii de riiilégrale définie suppose essentiellement (lue les limites a et b sont finies et que la fonction l'[x) est bornée dans l'intervalle a, h). Si ces conditions n'ont pas lieu, il faut de nouvelles définitions.

1° Soit f{x) une fonction bornée et intégrable dans l'intervalle {a, x'), quel que soit ,i\ poui'vu (jue .r' soii > a. L'intégrale ûc l\i)da: prise entre les limites a et x sera, par définition, la limite de l'intégrale prise entre a et x' quand x' tend vers l'infini. On a donc

(7) ( V\J) (Ix ^- lim 1 l(x)dx.

1,1 X' = :r.ja

Si cette limite n'existait pas, l'intégrale à limite infinie n'existerait pas non plus. L'existence de l'intégrale à limite infinie n'est donc pas toujours certaine, même quand la fonction f{x) est continue. Il y a des règles qui permettent, dans des cas étendus, de constater si l'intégrale à limite infinie a une valeur déterminée ou non. Nous nous en occuperons dans une autre partie du cours. Pour le moment, nous nous contenterons de remarquer que, si l'intégration indéfinie peut être effectuée, la définition de l'intégrale à limite infinie suffit pour s'assurer de son existence et la calculer. On aura, par exemple,

I e-'^dx ^ lim j e--'' dx = lim fl — e-'^'T = 1.

Les intégrales jirises entre les limites — ^ et /?, ou entre les limites — vc et + >: s'interprètent d'une manière analogue.

2° Soit maintenant f{x) une fonction qui augmente indéfiniment quand x tend vers h, mais qui est bornée et intégrable dans l'intervalle (fl, h — s), quel que petit que soit z [a étant < h). On posera, par définition,

(8) ['f[x\ dx=--\\vi\ I ' 'fix) dx.

L'existence de l'intégrale est liée à celle de cette limite. Lorsque l'intégration indéfinie peut être effectuée en pratique, cette définition suffit pour le calcul. On aura, par exemple,

ri dx