I . , = lim arc sin ^1 — e
3" Si la fonction f{x) augmentait indéfiniment quand x tend vers a, mais était bornée et intégrable dans l'intervalle [a -f e, b] quelque petit que fût b, on poserait d'une manière analogue
(9) ( )-{x)dx= lim f' (■{x)dx.
J(t £=0 JO.-\-Z
L'existence de l'intégrale serait liée à celle de cette limite.
4° Supposons enfin que f{x) devienne infinie pour un nombre limité de valeurs de x dans l'intervalle (a, b). On peut partager cet intervalle ei] plusieurs autres où f{x) n'est plus infinie qu'à l'une des limites. L'intégrale de f[x)dx étendue à l'intervalle total (a, b) sera, par définition, la somme des intégrales étendues à chacun des intervalles partiels. Pour que l'intégrale existe dans l'intervalle (a, 6), il faut donc qu'elle existe dans chacun des intervalles partiels, ce qui pourra se vérifier au moyen des deux définitions précédentes.
216. Extension de la formule fondamentale au calcul des intégrales g-énéralisées. — l. Lorsque la fonction f{x) est continue pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle {a, b) sauf pour un nombre limité de valeurs exceptionnelles qui peuvent la rendre infinie, l'équation fondamentale pour le calcul des intégrales définies, savoir
Çf[x)dx --=¥{b) — ¥{a).
subsiste, pourvu que la fonction Y[x) soit continue dans tout l'intervalle (a, h) sans exception et qu'elb ait f[x) pour dérivée, sauf pour les valeurs exceptionnelles.
En effet, si h est la seule valeur exceptionnelle, l'équation (8) donne
j Vi-'') (i^i- = lim I HV^ -s) — F(fl)] - W) — F(fl).
La conclusion est analogue, si a est la seule valeur exceptionnelle. Enfin, s'il y a des valeurs exceptionnelles intermédiaires entre a et l\ on peut raisonner comme s'il n'y en avait qu'une seule c ; et il vient
\''f[x) dx = r+ f'/V) ^^^ = t^l^-) - l'('0 + l'(^) - t^(0 .
Je J(i Je
Comme F(c) disparaît, on retrouve encore la même équation.
IL Si les fonctions f{x) et F(.i') sont continues pour toutes les valeurs de X supérieurs à a, et si ¥{x) tend vers une limite déterminée F(oo ) quand x tend vers l'infini, l'équation fondamentale
subsistera aussi, car, en appliquant l'équation (7), il viendra
Cm dx = lim \V{x') — F(fl)J ^ F( >: ) - V[a).
J ri
217. Application des théorèmes généraux au calcul d'intégrales définies particulières — Nous allons d'abord iiulicpitr (piehpies aj»|)lications de la formule fondamentale
\"f(x)dx= j/U)rf/j*
L De la relation r' dx - — — j- + C, on tire
