III. De la relation du no
J a^ + b-x- ah
, bx , ^ arc tg -— + C,
on déduit
Jo (l-
dx
arc tg ce — arc tg 0
-\-b^x- ab
IV, De la relation du même numéro
C dx \ , a -\~ bx , , ,
' a- — b^ x^ 2 ab ^ a — bx
2aè
on déduit
V. Si (ft + /;) et ^a — b) sont positifs, on a la formule (n" 189) C dx 2
j a + b cos J' V/rtZ \)i
on en déduit
arc tg
arc lu >: — arc tu 0
Si, au contraire, a h ^ est .- 0 et a — ^ < 0, on a
j' dx 1 . fb-\-a cos a: + V^' — O'^ ^^^ ^^ \.r
J a -\-b cos 0.' ~ Y^ij «2 ° V ô+Tcos x J '
d'où
dx 1 i^Qg fb±\lb^ - a^-
Jo a+bcosx \/bi — a^ VI. Des deux relations du 11° 193, savoir
6«''^ cos bx dx =- ^ „g , ,,g -^ + C.,
. , , e^^iasïnbx — bcosbx) , ^
e«^ sin bx dx = — -^ „ , , . ^ + C,
on déduit, a étant > 0,
218. Intégrales obtenues par des formules de réduction. — I. Les formules de réduction se simplifient souvent quand on les applique aux intégrales définies. Ainsi, de la formule
j .r" e-'^dx --- — .r" e^-'^ + n j x''-^ e-'dx,
on conclut, si n est positif,
a-"(; ^rfj' = n\ x'^-'e-'^dx.
Si, de plus, n est entier, cette formule donnera de proche en proche
X" e-^'dx ^ n\\ e-'^dx = n\
II. Lorsque m et n sont des entiers positifs, les formules (3) et (4) du n" 196 donnent
\) I ' sin'" X cos» X dx -= "^^~^ j ' sin'"- - x cos" .r (/.f,
ju m + njo
"sin"'cicos"adx'= — —- "siiV'x-cos"-- xdx. Jo m + nJo
Ce sont des formules de réduction. La première suhsiste pour
71 = 0 et la seconde pour m -- 0, auxquels cas il viunl
I ' sin'" X dx = " sin"'-- x dx,
Jo m Jo
I ' COS" .r dx = *-^— I ' cos"-- X dx.
Ces quatre formules permettent de réduire de proche en proche les exposants m et » à 0 ou à 1. On obtient alors l'une des intégrales suivantes :
\ dx, i's'inxiU-, ['cosxili, \ 's'm x cosœ dx,
.0 Jo ,o ,0
ayant respectivement pour valeurs :
Pour écrire plus brièvement les expressions numériques auxquelles conduisent les formules de réduclion, convenons de représenter par m !! le produit de tous les entiers non supérieurs à ?» mais de même parité que m. Il viendra
" sin'" X dx =- I cos^'* x dx
TT—c^ (mpani,
(m impair) ,
(m — 1)!! (« — !)!!-, ^ . . ^ ^ ^ ^ çT (m et n pau's),
sin"' X cos'' X dx =
(m— l)!!(n — 1) !î /^moun outousA
{m-\-7tyi\ Vdeux impairs./
Lorsque m et n sont impairs tous les deux, soient m^^p -\-i, n = 2(/ + 1, la formule précédente se simplifie et il vient
fsin-
1 » W/ ' 'p+^ x cos-''-^^ X dx = i ■ i •
2(p-fç + l)!
219. Exemples de chang-ements de variables. — I. Par la substitution X = tg ;?, il vient, eu égard aux résultats précédents (m entier et positif),
r dx â . . ^ (2m — cl)!!-
I = I CC\'>-"'~- ~ fl~. = ^ .
Jo il + x'Y" Jo ^"^ (2m -2)!! 2
H. Par la substitution x -= sin z-, il vient (m entier et positif)
n x"'dx ÇT ^ m!! 2
V /. o" = sin"' z dz = \ , .... Jo VI — x^ Jo i (m — 1 !! .
III. Par la substitution \/ax — x^ = az d'où x = a: (l -j- z^), il vient [m entier et positif)
r-£ndx r dz (2m -1)!! }o \'aœ - x^ Jo (1 + ^''^)»^+^ (2ml!! '^^ '
IV. Par la substitution x = sin'^ z, il vient (/>, q entiers et positifs) \xv (1 x)'i dx='tL \ sin-^/ i ' ;; cos-'^+i z dz ^ f '^' ,^ ,.
V. Par la substitution x --= z : (1 + ::■), la même intégrale se transforme dans la suivante :
r zP dz plql
Jo {i+z)P\-^+^'~ {p+q+\)\
220. Formule de "Wallis. — Soient n un nombre entier et positif et X une variable comprise entre 0 et tt : 2 ; on a
sin^n+i X < sin^^î x < sin^'^-* x, .
par conséquent,
TT. 7ï 7T
j " sin2«+' xdx < ' sin-'* x dx < \' sin-"-' x dx
Jn Jo Jo
et, en remplaçant les intégrales par leurs valeurs numériques,
(2w) !! (2n — 1) !! tt (2?i — 2) !!
■^ ia..\ Il G» '^ /et— Â\ i|*
On déduit de ces inégalités
On peut donc écrire, 9 étant compris entre 0 et 1 , (2n)!! ~ri^i j"l
L(2n — 1) !!J 2n V 2ny 2 Faisant tendre n vers l'infini, on obtient la formule de Wallis
'4 -- lim
(2n) Il
221. Intégrales obtenues par des artifices de calcul. — L'intégration indéfinie est le procédé le plus général et le plus important pour calculer les intégrales définies, mais ce n'est pas le seul. Certaines intégrales définies peuvent se déterminer par des artifices de calcul, sans qu'il soit possible d'obtenir sous forme finie les intégrales indéfinies correspondantes. En voici deux exemples assez simples :
I. Par décomposition de l'intervalle d'intégration, on obtient X sin X dx
1 + COS^ X Jo 1 + cos- X
i X sin X dx Ç'^ x sin x dx
1 + cos^ x
Par la substitution x = - — 2, la dernière intégrale devient *o (- — z) sin z dz- fT sin zdz C^ z sin ^ dz
rr sin;s dz Çî z "Jo 4 + cos-2~"Jo î
+ cos^ z
Substituons cette valeur dans l'équation précédente et réduisons, nous trouvons
J'"' X sin xdx Çï si L ï+côs^r~"Jo H
sin x dx
= - i — arctg (cosx)
+ cos^a:
