II. Considérons, en second lieu, l'intégrale généralisée

Log (sin x) dx.

Cette intégrale est déterminée quoique Log (sin x) soit infini pour ^ = 0. En effet, on a, quelque petit que soit le nombre positif s,

' Log (sin x) rfa; -= " Log x dx -\- " Log

Jo Jo Jo

Log X dx -\- I " Log — ;- dx

\x (Log a' — 1]

sma;

Mais icLoga; s'annule pour a^ = 0 et Log (sin x : x] reste fini ; il vient donc pour s = 0, le second membre étant bien déterminé,

rLog(sinj;)dx;= ~

Lo£

2"~ J~^Jo ^^~x-^^-

Donc le premier membre est bien déterminé aussi. Ce premier point établi, on a, d'une part,

j Log (sin x] dx = ' Log (sin x) dx + j Log (sin x) dx

sin x) dx.

car par la substitution x = - — z l'intégrale aux limites - : 2 et - se transforme dans celle aux limites 0 et tî : 2.

D'autre part, de sinx' = 2 sin ^ ces â» on déduit, en prenant les logarithmes et en intégrant,

Log (sin x) dx ^ - Log 2 - h Log f sin ~ ) dx - 1 - ' | Log ( cos J" Jdx = 7cLog2 + 2 {~hog{s'mx)dx + ^\'LoQ{cosx)dx

Jo Jo

= 71 Log 2 + 4 j " Log (sin x) dx,

car les deux intégrales aux limites 0 et 7t : 2 se ramènent l'une à l'autre par la substitution x^r,:^ — 2 et sont, par conséquent, égales. De la comparaison des valeurs obtenues de part et d'autre pour la même intégrale, on déduit, en réduisant,

* Log (sin x) dx = — ^ Log 2.

§ 3. Intégrales par excès et par défaut. Intégrales définies les plus générales.

222. Intégrales par excès et par défaut. — Soit f{x) une fonction simple et bornée dans un intervalle (a, h); on sait que, si l'on décompose cet intervalle en un nombre indéfiniment croissant n de parties consécutives 0/ et qu'on désigne par M/ et mi les limites supérieure et inférieure de f[x) dans l'intervalle 0,, les deux sommes

(1) S M/o,- et ï >»,o,

tendent vers des limites déterminées L et /, indépendantes du mode de subdivision adopté (n" 203). Nous appellerons ces limites les intégrales par excès et par défaut de la fonction f{x) dans l'intervalle (a, b) et nous les représenterons dorénavant avec les notations

(2) fia-) dx et r{œ)

Ja ."

dx.

On sait encore, que, si ces deux limites sont égales, leur valeur commune se nomme une intégrale définie et se désigne par le symbole

(3) Çn^)

da\

On dit, dans ce cas, que la fonction f{x) est iutégrable dans l'intervalle (a, b).

223. Limites d'indétermination de l'intégrale définie d'une fonction non intégrable. — Lorsque la fonction f{x) est intégrable dans l'intervalle (a, b), on sait (n® 206) que l'on a, les points ç^ étant arbitrairement choisis dans les intervalles Sj,

(4) Çf[x) dcc = lim S r{^i)Bi.

Ja i=i

Lorsque f[x) n'est pas intégrable, cette limite n'existe plus, mais son indétermination n'est pas complète. Les inégalités

montrent que, lorsque tous les oi tendent vers zéro, l'expression du milieu a pour limites d'indétermination les intégrales par excès et par défaut. La limite qui figure au second membre de l'équation (4) est donc indéterminée, mais comprise entre les expressions (2). Nous conviendrons de conserver l'équation (4) comme définition de l'intégrale

f[x) dx,

même au cas où f{x) n'est pas intégrable et, par conséquent, d'attribuer à cette intégrale une valeur indéterminée, mais comprise dans l'intervalle des expressions (2).

224. Extension des définitions aux fonctions qui présentent des points d'indétermination partielle. — Jusqu'à présent, pour plus de simplicité seulement, nous avons formé les deux sommes (1) du numéro précédent et considéré leurs limites, en supposant que la fonction /'{x) était simple, c'est-à-dire complètement déterminée pour chaque valeur de x. Rien n'empêche de former des sommes analogues dans le cas oîi la fonction f[x) est indéterminée pour certaines valeurs de x, pourvu que ses limites d'indétermination soient déterminées pour chacune de ces valeurs. On conçoit, en effet, que la fonction puisse prendre, pour chacune des valeurs de a?, toutes les valeurs comprimes entre les limites d'indétermination correspondantes. La connaissance de ces dernières limites permet donc d'assigner aussi les limites supérieure et inférieure de f[x) dans un intervalle quelconque. Elle permet donc de former les sommes (1) considérées plus haut. D'ailleurs le fait de l'indétermination n'altère en rien nos raisonnements, de sorte que ces deux sommes tendent encore vers des limites déterminées. Ce sont les intégrcdes par défaut et par excès de la fonction et elles se représentent par les expressions (2).

Si ces deux limites sont égales, la fonction f[x) est intégrable et cette

limite commune se représente par l'expression (3). Enfin, cette limite commune est encore la limite définie par l'équation (4) de quelque manière qne l'on choisisse /'(:/) entre ses limites d'indétermination.

Ajoutons une dernière remarque. La définition de la discontinuité d'une fonction et le théorème du n° 33 de l'introduction subsistent sans aucun changement pour les fonctions qui présentent des points d'indétermination partielle de la nature de ceux que nous venons d'examiner. 11 est clair que la discontinuité d'une fonction en un point semblable est au moins égale à l'amplitude de l'indétermination en ce point ou à l'écart des deux limites d'indétermination.

225. Propriétés des intégrales par excès ou par défaut. — Parmi les propriétés que nous allons énumérer, les deux premières ont déjà été démontrées (n" 204), la notation seule sera changée.