IV. Soient f\x), f"{x),... des fonctions bornées ; on a

J(i Jn J'i

et une inégalité de sens contraire pour les intégrales par défaut.

En eflet, décomposons l'intervalle [a, b) en parties infiniment petites 0. ; soient M^ et m^, M^. et m'., M|' et m'.' ,... les limites supérieures et inférieures de (/"+/"'+•••), de f\ de /■",... dans l'intervalle c.. La limite M. ne peut pas être supérieure à M^' -\- M" -}-.•• et m. ne peut pas être moindre que m'. -\- m\' +••. On aura donc

et une relation de sens contraire pour les limites inférieures des fonctions. En passant à la limite, on obtient les inégalités à démontrer.