V. Soient f\x) et f"{cc) deux fonctions bornées ; on a

]•: rij ^¥. rb v. rb

[f'[x) —f'[x)]dx > f{x)dx— f"{x)dx

Jo Jn jci

et une relation de sens contraire pour les intégrales par défaut.

Cette propriété se démontre comme la précédente, en observant que l'on a dans chaque intervalle o^-

Ml y Ml — Mi, nii < mi — mi .

226. Propriétés des fonctions intégrables. — I. Soient f{x) tme fonction intégrable dans Vintervalle (a, b) et c une constante ; la fonction cf{x) sera intégrable dans le même intervalle.

Cette conséquence résulte immédiatement de la propriété III du numéro précédent.

II. Soient f[x), f"(x),... des fonctions intégrables ; leur somme sera aussi intégrable.

En effet, cette conséquence résulte immédiatement des inégalités établies au numéro précédent (propriété IV).

III. Le produit de deux fonctions intégrables est encore intégrable.

Soit f[x) le produit de deux fonctions f et f" intégrables dans l'intervalle [a, b). Décomposons cet intervalle en parties consécutives ô^- et soient M/etw/, M/ et m^ , M/ et mi les limites supérieures et inférieures do /■', /■" et /"dans chaque intervalle S^,

Supposons d'abord que /"' et /"" et, par suite, /' soient constamment positifs. On aura

M^- < MiMi , mi y minii , Mi — mi ^ M^M< — mimi . La dernière inégalité peut s'écrire

Mi — mi^ Mi (M/ — mi) -\- mi (M/ — nii ).

Soient M' et M" les limites supérieures de f et de /"" dans l'intervalle («, è) ; on aura a fortiori

Mi — m.i 7r M"(M) — m]) + m' (M-'— m'') et on en conclut

lim ï (M,— m/)ô\<M"lim 2 (M ■— m-)a, + M'limS (m';'— m-'jô,.

Les deux limites du second membre sont nulles par hypothèse, car /' et f" sont intégrables. Donc le premier membre est nul aussi, ce qui prouve le théorème.

Passons au cas où f et f" sont de signes quelconques. Ce cas se ramène au précédent. Soient, en effet, m' et 7n" les limites inférieures de ces deux fonctions dans l'intervalle (a, b). On aura

f'f" = if — ni') {f" — m") H- m'f"-[- w"f'—m'm".

Or, le second membre est une somme de fonctions intégrables, car le premier produit (/"' — m') (/"' — m"), ayant ses facteurs positifs, est intégrable en vertu de la démonstration précédente. Donc /"/"" est intég-rable en vertu de la propriété II.

IV. Si la fonction f est intégrable dans Vintervalle [a, b) et si ses limites supérieure et inférieure M et m sont de même signe, la fonction 1 : f est intégrable dans le même intervalle.

Supposons, pour fixer les idées, M et yn positifs. L'oscillation de 1 : /" dans l'intervalle o^ sera

1 I M, — mil

Par conséquent,

lim ï f-- — ^^ 0, < 1- lim S (M, — mi) ô, --== 0. \rni MiJ ' m- ^

221 . Expression par une intégrale de la différence entre les intégrales par excès et par défaut. — Soit /"(a) une fonction bornée dans l'intervalle [a, b). Représentons par

dise. f[x)

la discontinuité de f{x) au point x (n^ 25). On aura la relation suivante :

K ri> 1) 'h K rh

(5) f\pc]dx — f[x)dx-~- dise, f^xulx.

Ja J a Ja

Décomposons l'intervalle [a, b) en parties consécutives o, et désignons par Mi et tn, les limites supérieure et inférieure de f{x), par A^ la limite supéiieure de dise, f{x) dans chaque intervalle o/. La démonstration de la relation (5) repose sur le lerame suivant :

Quelque petit que soit le nombre jiositift, on peut trouver un mode de décomposition de (a, b) en parties o, aussi petites que Von veut, tel quon ait dans chacune d'elles

En effet, si, t étant donné, aucun mode de décomposition de l'intervalle (rt, b) ne pouvait vérifier la condition précédente, en raisonnant comme dans la démonstration du théorème du n" 33, on prouverait qu'il existe au moins un point c dans l'intervalle («, b), tel qu'une décomposition de l'intervalle (c — o, c -}■■ o) vérifiant la mémo condition fût impossible pour des valeurs aussi petites qu'on veut de o. Or, cette conclusion est inexacte, car, à partir d'une valeur suffisamment petite de o, l'oscillation de /(a-) dans l'intervalle [C — o, c -f- o) sera inférieure à dise. f{c) -f s.

En second lieu, on peut vérifier la condition proposée par un mode de décomposition en parties aussi petites que l'on veut. En effet, après

avoir préalablement décomposé {ci, h) en parties aussi petites que l'on veut, on pourra encore, en vertu du raisonnement précédent, subdiviser chacune de ces parties de manière à réaliser la condition proposée.

Du lemme précédent, on déduit facilement la démonstration de l'équation (5). En effet, considérons un mode de subdivisions en parties o^. vérifiant la condition du lemme. On aura, dans chacune d'elles,

^i^Mi — w?^ < A,- + s;

par conséquent, la somme s'étendant à toutes les parties,

S AA-< S M,o, S mA- < i^ A,o, + s (è - «) .

Faisons tendre à la fois tous les o^ et t vers zéro. Les deux membres extrêmes de ces inégalités tendent vers la même limite, qui est, par définition, le second membre de l'équation (5), Donc la limite de l'expression du milieu, qui est le premier membre de cette équation, sera la même que la précédente. L'équation (5'i est donc démontrée.

§ 4. Ensembles. Formes diverses de la condition d'intégrabilité.

228. Points limites d'un ensemble. — Considérons un système de valeurs de .v en nombre fini ou infini. Chaque valeur de ce s'appelle un point ; la collection des points considérés s'appelle un ensemble.

Un ensemble E est bot^né supérieurement finférieurementj, si tous les nombres qui le composent sont inférieurs (supérieurs) à un nombre fixe. Si tous les points d'un ensemble sont compris entre a et b, nous dintns que l'ensemble est borné par les points a et b.

On nomme point limite d'un ensemble E tout point p tel que l'intervalle [p — t, p -\- t) contienne une infinité de points de E, quelque petit que soit le nombre positif z. Dans ce cas, p peut être considéré comme la limite d'une suite de points de E et réciproquement.

Tout ensemble bot^né E qui contient une infinité d'éléments admet au moins un poiyit limite.

Pour le montrer, supposons E borné par les points a et b. Partageons l'intervalle [a, b) en deux parties égales. Une des deux moitiés au moins contiendra encore une infinité de points de E. Partageons encore en deux la moitié qui jouit de cette propriété et continuons ainsi de suite indéfiniment. Nous formerons ainsi une suite d'intervalles, successivement intérieurs les uns aux autres, indéfiniment décroissants et contenant tous une infinité de points de E, Les limites de ces intervalles tendent vers un même point /) qui sera un point limite de E,

229. Ensembles dérivés. — Si l'ensemble E contient une infinité de points, l'ensemble de ses points limites forme un nouvel ensemble E' que

l'on appelle le dérivé de E (G. Cantor). Si E' contient encore une infinité de points, son dérivé E" est le dérivé du second ordre de E, et ainsi de suite.

Un ensemble qui contient un nombre infini d'éléments est de pre77ii&re espèce s'il n'admet qu'un nombre limité de dérivés successifs ; il est de seconde espèce, s'il admet des dérivés de tous les ordres jusqu'à l'infini.

Un ensemble qui ne contient qu'un nombi'e limité de points est de Vordre zéro. Un ensemble qui admet des dérivés des n premiers ordres mais pas davantage est de l'ordre n ; alors son dérivé de l'ordre d ne contient qu'un nombre limité de points.

230. Ensembles parfaits. — M, C. Jordan appelle parfait tout ensemble E qui contient son dérivé E'. Nous allons démontrer le théorème suivant :

Tout ensemble dérivé est parfait.

Si un ensemble est composé d'un nombre limité de points, il n'admet aucun point limite et il est parfait. Supposons donc que le dérivé E' d'un ensemble E renferme une infinité de points et soit p un point limite de E'. Quel que soit £, l'intervalle [p — ^, p -\r 0 renferme, par définition, une infinité de points de E'. Soit q l'un d'eux ; l'intervalle ((/ — -,? + ') et « fortiori l'intervalle [p — 2t,p -\-2t), qui contient le précédent, renfermeront une infinité de points de E. Donc, 2t étant aussi petit qu'on veut, p est un point limite de E et p appartient à E'. On voit ainsi que E', contenant tous ses points limites, contient son dérivé et est parfait.

231. Ensembles complémentaires. Points frontières — Soit E un ensemble. Si E ne contient pas tous les points possibles, les points qui n'appartiennent pas à E forment un nouvel ensemble E,. Les deux ensembles E et E, se nomment complémentaires.

Soit a un point quelconque ; le point a se nomme un poiyit frontière de E (ou de EJ, si, quelque petit que soit le nombre positifs, l'intervalle [a — £, a + -) contient toujours des points de E et de son complémentaire Ej.

Tout point de E qui n'est pas un point frontière sera dit intérieur à E et tout point de Ej qui n'est pas un point frontière sera dit extérieur à E.

Il résulte de ces définitions que, si a est un point intérieur (extérieur) à E, tout point de l'intervalle (a — £, a-\-t) sera aussi intérieur (extérieur) à E, à partir d'une valeur positive suffisamment petite de t.

Les points frontières de deux ensembles compléfn enta ires E et E^ sont ceux qui appartienyient à la fois à l'un de ces deux ensembles et au dérivé de Vautre.

En effet, tout point a appartient à E ou à E,. Pour fixer les idées, supposons que a soit un point de E.

D'une part, si a est un point frontière, l'intervalle [a — h, « + 0 contient toujours, par définition, des points de Ej, donc a est un point linaite de E,, par conséquent, un point de E| et a est commun à E et EJ. Réciproquement, si a est un point de E|^ l'intervalle [a — £, a-{-z) contient toujours une infinité de points de Ej et, de plus, un point au moins de E (le point ci). Donc a est un point frontière.

Soit e[x) une fonction égale à 1 en tout point de E et à 0 en tout autre point. Il résulte immédiatement de leur définition que les points frontières de E sont les points de discontinuité de e[x) . On en conclut facilement la proposition suivante :

Tout ensemble E qui ne contient jjcis tous les points possibles admet au moins un point frontière.

En effet, entre deux valeurs de x appartenant respectivement à E et à son complémentaire E^, la fonction e{x) passe de 1 à 0. Comme elle ne peut passer par aucune valeur intermédiaire, elle possède au moins un point de discontinuité entre ces deux valeurs de x (n° 27, Yl) et ce point est un point frontière.

232. Mesure des ensembles. — Soient E un ensemble de points, e[x) une fonction égale à 1 en tout point de E et à 0 en tout autre point, a et h [bya) deux nombres quelconques; formons les deux intégrales :

E rh D rh

I e(A') dx^ I e{x)dx.

La première s'appelle la longueur extérieure de E dans l'intervalle (f/,J), la seconde sa longueur intérieure. Quand ces deux intégrales sont égales, leur valeur commune s'appelle simplement longueur de l'ensemble dans l'intervalle {a,h) et l'on dit que l'ensemble est mesurable dans cet intervalle. Lorsque l'ensemble E est borné par les points a et ô, on dit que les expressions précédentes sont les longueurs de E, sans désignation d'intervalle.

Supposons que l'on décompose l'intervalle {a,b) en parties consécutives, infiniment petites, o^ et rappelons-nous la signification des deux intégrales précédentes, nous pourrons énoncer les propositions suivantes :

La longueur extérieure de l'ensemble^ dans V intervalle {a,b) est la limite de la somme des parties S^- qui contiennent un point au moins de E; kl. longueur intérieure la limite de la somme des parties qui ne renferment que des points de E. Ces limites sont indépendantes du mode de subdivision de {a,b) en intervalles o/.

Appliquons aux deux intégrales qui mesurent les longueurs extérieure et intérieure de E la relation du n° 227. 11 vient

j e[x)dx — I e{œ)dx= j à'\sc.eix)dx.

Or la fonction dise,e(a;) est égale à 1 en tout point frontière de E et à 0 partout ailleurs. D'où la proposition suivante, qu'il est d'ailleurs facile d'obtenir directement :

La différence entre les longueurs extérieure et intérieure d'un ensemble E est égale à la longueur extérieure de l'ensemble de ses points frontières.

Cette proposition conduit au théorème suivant ;

Pour qu'un ensemble soit mesurable, il est nécessaire et suffisant que l'ensemble de ses points frontières soit de longueur nulle.

233. Ensembles de longueur nulle. — Les ensembles de longueur nulle présentent, comme on le voit, un intérêt particulier.

La condition nécessaire et suffisante pour que E soit de longueur nulle

dans l'intervalle ia,b), est que l'on ait

]•: fh I e{x)dx^O,

ou que la somme des parties o^ de l'intervalle {a,b) qui contiennent un point au moins de E ait pour limite 0, quand toutes ces parties tendent vers 0. D'ailleurs, s'il en est ainsi pour un premier mode de subdivision il en sera de même pour tous.

Tout ensemble qui ne contient qu'un nombre limité de points est évidemment de longueur nulle. l*lus généralement, on a le théorème suivant :

Tout ensemble de première espèce est de longueur nulle.

Le théorème est vrai pour un ensemble de l'ordre 0 ; pour le démontrer en général, supposons le déjà prouvé pour l'ordre 7t — 1 et montrons qu'il subsiste pour l'ordre n.

Soit E un ensemble de l'ordre «, borné par les points a et b. Son jiième

dérivé Eî"' ne contient qu'un nombre limité de points. Supposons d'abord

qu'il n'en contienne qu'un seul b; alors, quelque petit que soit t, l'ensemble

des points de E compris entre a et b — e et de l'ordre [n — 1) et l'on

a, par hypothèse,

Krh-t

e {x) do: ^ 0,

par conséquent,

E ri. K ro~i E fb !•; /-/-

e {x) dx ^ \ -\- \ e {x) dx -^ \ e {x) dx ^. ï,

et s, étant aussi petit qu'on veiit, E est de longueur nulle.

Si le n'®'"^ dérivé ne contenait que le seul point a, le raisonnement serait analogue. Enfin, dans le cas général, on peut partager l'intervalle («,i) en intervalles consécutifs, no contenant plus de points de E " qu'à l'une

des limites; par suite, E étant de longueur nulle dans chacune de ces parties, sera aussi de longueur nulle dans l'intervalle [a, b).

Les ensembles de longueur nulle possèdent une propriété qui présente au point de vue de l'intégration un gi'and intérêt :

Soit f{x) une fu)ictio)i bornée ; ou ne modifie pas V intégrale [par excès ou par défaut) de cette fonction dans V intervalle [a, b), si l'on remplace f{x) par une autre fonction bornée f {œ), pourvu que Vensemhle des jwints où f{x) et fiix) diffèrent l'une de l'autre ait une longueur nulle.

En effet, soient E l'ensemble de longueur nulle des points où f^ diffère de f, e{x) la fonction définie précédemment par rapport à E, M une limite supérieure de la différence absolue entre /"et f. La fonction f^ est, pour chaque valeur de x, comprise entre les deux limites :

donc son intégrale par excès est, en vertu des propriétés IV et V du n" 225, comprise entre les deux limites

( /-fte ± M \e {x) dx

Le second terme étant nul, puisque E est de longueur nulle, il vient

I /"i dx^= I fdx.

La démonstration se fait d'une manière analogue pour l'intégrale par défaut.

234. Formes diverses de la condition d'intégrabilité. — Considérons une fonction /'(a^) , bornée dans l'intervalle («, b). La condition nécessaire et suffisante pour que celte fonction soit intégrable, est que les deux sommes (no 222) :

aient la même limite ou que la somme essentiellement positive :

ait pour limite 0 avec tous les intervalles ô^.

Rappelons-nous (no 203) que, lorsque tous les intervalles ô^- tendent vers 0, la somme S tend vers sa limite inférieure, la somme 5 vers sa limite supérieure. 11 en résulte que A tend vers sa limite inférieure. De là cette première forme de la condition d'intégrabilité :

L Pour que f{x) soit intégrable dans l'intervalle {a,b), il faut et il suffit qu'à tout nombre positif z, si jyetit qu'il soit, corresponde un mode de subdivision pour lequel on ait A< £.

En eftet, dans ce cas, A, qui est essentiellement positif, a pour limite inférieure 0 et, par conséquent, tend vers zéro avec tous les o,.

La formule du n° 227 fournit une autre expression de la condition d'intégrabilité :

II. La condition d'intégrabilité d'une fonction bornée f[x) dans l'intervalle [a, h) est que l'on ait

j dise.

f[x) dx ^=^ 0.

Telle est, en effet, la condition d'égalité des deux intégrales par excès et par défaut.

Cette condition peut être présentée sous une forme d'une vérification plus commode en pratique. A cet effet, soit ? un nombre positif quelconque. Désignons par Er l'ensemble des points de l'intervalle [a, h) où la discontinuité de f{x) est — ou > z. Cet ensemble dépend généralement de £. La considération de l'ensemble Er conduit à la proposition suivante :

in. La condition d' intégrabilité d'une fonction bornée f[x) dans l'intervalle [a, b) est que Er soit de longueur nulle, quelque petit que soit £.

En effet, soit e (x) une fonction égale à 1 en tout point de E^ et à 0 partout ailleurs et désignons par M — m l'oscillation de f[x) dans l'intervalle [a, b) ; on a évidemment, pour toute valeur de x dans cet intervalle,

t e {œ) < dise. f{x) < £ + (M — m) e [x).

Multiplions par dx et intégrons par excès entre a et b ; il viendra, Eç désignant aussi la longueur extérieure de l'ensembl) Er,

£ Es < dise. f{x) dx < t(b — a) + (M — m) E..

Ces inégalités prouvent évidemment que l'intégrale ne peut être nulle que si Eç est toujours nul et que, l'éciproquement, l'intégrale sera nulle, si Er est constamment nul quand i tend vers zéro.

De cette dernière proposition on conclut, comme cas particulier, la suivante :

Toute fonction bornée dans l'intervalle (r/, b) qui^ quelque petit que soit t, n'a qu'un nombre limité de discontinuités supérieures à i, est intégrable dans cet intervalle.

Cette proposition conduit elle-même au théorème suivant :

Toute fonction bornée f(o:) qui varie constamment dans le nxômc sens dans l'intervalle {a, b) est intégrable.

En effet, la somme de toutes les discontinuités de f[x) dans l'intervalle (a, h) ne pouvant surpasser la valeur absolue de f[b) — f{a), le nombre de celles qui surpassent une quantité donnée s est nécessairement limité.

235. Intégrales prises dans un ensemble. — Soient E un ensemble borné par les points a et 6, f[x) une fonction définie en tout point de E, c'est-à-dire avant une valeur déterminée, ou, tout au moins, des limites d'indétermination déterminées en tout point de E.

Pour définir les intégrales de /"(a;) dans l'ensemble E, considérons une fonction f^ [x) égale à f[x) en tout point de E et à 0 en tout autre point. Les deux intégrales

U (^"'i dx et /i (,

Ja Ja

x] dx

seront les intégrales par excès et par défaut de f{pc) dans l'ensemble E, Si ces deux intégrales sont égales, la fonction f[x) est intégrable dans l'ensemble E.

Considérons, en particulier, le cas où la fonction f{x) est définie dans l'intervalle («, h). On peut énoncer la proposition suivante :

Si la fonction f{x) est intégrable dans l'intervalle {a, b), elle est aussi intégrable dans tout ensemble mesurable E borné par les points a et b.

En effet, soit e [x) une fonction égale à 1 en tout point de E et à 0 partout ailleurs. Cette fonction sera intégrable dans l'intervalle [a, b). Mais on a, dans l'intervalle (a, è),

Donc, f étant le produit de deux fonctions intégrables, est intégrable dans l'intervalle (a, b).