CHAPITRE VII

Formules fondamentales de la théorie des courbes planes.

!:$ 1. Tangente et normale aux courbes planes.

236. Représentation analytique d'une courbe plane. — En premier lieu, une courbe plane peut être considérée comme le lieu des points du plan dont les coordonnées cartésiennes x et y sont liées par une équation

Nous appellerons poijit ordinaire de la courbe, tout point où la fonction F est continue ainsi que ses dérivées partielles de tous les ordres et où les deux dérivées partielles F^ et F', ne s'annulent pas simultanément. Les autres points de la courbe sont des points singuliers ; nous les supposerons, s'il en existe, isolés les uns des autres.

Dans le voisinage d'un point ordinaire où Fy n'est pas nul, l'équation (1) déHnit une fonction implicite y de x (n» 142) (') ; on peut donc résoudre l'équation (1) par rapport à y et la ramener, au moins implicitement, à la forme

la fonction f[x) ayant, suivant les principes de dérivation des fonctions implicites, une dérivée finie et déterminée — F^ : Y„.

Si V'i, s'annulait en un point ordinaire, F.t ne s'annulerait pas ; la résolution de l'équation pourrait se faire par rapport à x considérée comme fonction de y et l'on aurait une conclusion analogue à la précédente.

Nous raisonnerons le plus souvent sur l'équation de la courbe mise sous la forme (2), mais nos formules s'étendront aux équations de

(*) Le théorème du n» 142 est un peu abstrait pour les débutants. On peut s'en passer et admettre l'existence de la fonction implicite comme une condition de plus imposée à F {x, y).

la forme (1) en vertu des règles de dérivation des fonctions implicites. Il faudra seulement se borner à considérer les points ordinaires de la courbe.

En second lieu, on peut considérer une courbe plane comme le lieu des positions successives d'un point mobile. On est alors conduit à exprimer les coordonnées x et y de ce point en fonctions continues d'un paramètre variable t. La courbe est alors définie par deux équations

et l'on dit que ces formules fournissent une représentation paramétrique de la courbe. Quand nous ferons usage de cette représentation, nous supposerons que les fonctions ^ ei <^ sont continues ainsi que toutes leurs dérivées, sauf pour des valeurs exceptionnelles de t.

En supposant que t devienne égal à x, on reviendra comme cas particulier du mode de représentation (3) au mode de représentation (2).

Une courbe étant donnée sous la forme (3), il suffit d'éliminer t pour mettre son équation sous la forme (1). L'élimination pourra toujours se faire si l'une des deux équations est résoluble par rapport à t, car il suffira, celle résolution faite, de porter la valeur de t dans l'autre équation.

237. Tangente en coordonnées cartésiennes. — Considérons une courbe plane, rappoitée à des axes rectangulaires ou obliques, et admettons d'abord que son équation soit de la forme

Nous supposerons que cette fonction [{x) ait une dérivée déterminée en tout point de la courbe dans l'intervalle des valeurs de x que l'on considère.

La tangente en un point M de la courbe est, comme on le sait déjà (n° o8), la limite d'une sécante qui passe par le point M et un autre point M' de la courbe qui se rapproche indéfiniment du premier. Soient x, y les coordonnées du point M, x -\- ^x ety + % celles du point M'; l'éciuation de la sécante sera (ç, r, désignant les coordonnées courantes)

Faisons tendre le point M' vers le point M ; ^.x et A/y tendent vers 0

et leur quotient vers la dérivée y' de y par rapport à x. L'équation de la tangente au point M sera donc

On met souvent l'équation de la tangente sous une forme plus symétrique. Si l'on remplace y' par dy : dx dans l'équation (5), l'équation de la tangente peut s'écrire

^ ' dx ~ dy

Cette nouvelle forme a l'avantage d'être symétrique en x et en y. Elle est indépendante, comme nous le verrons, du mode de représentation adopté pour la courbe.

Supposons, en second lieu, que l'équation de la courbe soit de la forme plus générale

Si le point M est un point ordinaire, une des deux dérivées F^ ou F^ est différente de zéro. On peut, en vertu de l'équation précédente, considérer // comme fonction de x ou x comme fonction de //. Si l'on considère y comme fonction de x, on trouve, en dérivant totalement l'équation de la courbe,

Remplaçant y' par sa valeur — F.r : Fy, l'équation (5) devient (7) {l-x)Y':r-h{-n-y)K-0.

Cette forme de l'équation de la tangente est également symétrique en X et en y. Elle donne lieu au théorème suivant :

En (ont point ordinaire d'une courbe FIx, y) = 0, existe une tangente unique et bien déterminée. Son équation s'obtiendra en difjérentiant totalement celle de la courbe et en remplaçant dx par ; — x et dy par -t] — y.

On remarquera que l'équation (7) tombe en défaut en un point singulier où F.7- et F^ s'annulent à la fois, car l'équation disi)arait alors, son premier membre étant identiquement nul.

Considérons maintenant une représentation paramétrique de la courbe telle que

L'équation de la sécante MM' peut s'écrire l — ^' fj — y

Divisons les dénominateurs par l'accroissement \t qu'il faut donner au paramètre pour passer de M à M'. Faisons tendre M vers 0, donc M' vers M et passons à la limite. Lf^s quotients ^x : It et ^y : \t tendent vers les dérivées supposées existantes x' eiy' 6e x et de y par rapport à t. L'équation de la tangente sera donc

/ft\ ^ — ^ -^ — y

^^' ~lc^~ y' ■

Cette équation suppose toutefois que x' et y' ne soient pas nuls tous deux au point M, auquel cas cette équation disparaîtrait encore identiquement.

On peut multiplier par dt les deux dénominateurs de l'équation (8), on retrouve ainsi l'équation (6) de la tangente.

L'équation de la tangente doit être modifiée lorsque a;' ei y' s'annulent tous deux au point M. Dans cette hypothèse, soient x!" etyt"' les deux premières dérivées du même ordre qui ne s'annulent pas simultanément au point M. Toutes les dérivées précédentes étant nulles au point t, la formule de Taylor donne (n" 87)

Aa- = ^ cp;n) (t + 6A0, \y = ^ 4' '^' (t + OAf).

Dans ce cas, avant de passer à la limite, nous diviserons donc les dénominateurs ^x et A// de l'équation de la sécante par (Ai)» . A la limite, \t tendant vers 0, nous obtiendrons l'équation de la tangente sous la forme exceptionnelle

Cette équation subsiste si x" ou y'^ seul s'annule. Mais elle se réduit, dans le premier cas, à ;—a' = 0, et dans le second, àr.— 7/ = 0.

238. Equations de la normale (axes rectangulaires). — La normale en un point M de la courbe est la perpendiculaire à la tangente, menée par ce point. Supposons les axes rectangulaires. Alors les coefficients angulaires de la tangente et de la normale sont inverses et de signes contraires. On pourra donc donner à la normale diverses Ibrines correspondant à celles de la tangente.

La première correspond à l'ëquation (6) et est indépendante du mode de représentation de la courbe, c'est l'équation

(9) {l-x)dx + {-ri — y)dy^O.

Si l'on considère // comme une fonction de •>■ ayant pour dérivée y', on écrira l'équation de la normale sous la forme qui correspond à (5). Ce sera

Si la courbe a pour équation F{x, y) = 0, la normale en un point ordinaire aura pour équation

Enfin, si x et y sont considérés comme lonctions de /, on mettra l'équation de la normale sous la forme, qui correspond à (8),

(12) {^-x)x'-\-{ri-y)y'=^0.

239. Calcul de quelques segments remarquables. — Certains segments, définis au moyen de la tangente et de la normale, se rencontrent naturellement dans l'étude des courbes planes ; nous les calculerons d'abord dans l'hypotlièse d'une représentation paramétrique, c'est -à-dire en considérant x et y comme fonctions de t.

La sous-tangente S^ est le segment PT de l'axe des x (fig. 4), compté avec un signe déterminé du pied de l'ordonnée du point M jusqu'au point où la tangente coupe l'axe des x.

Les sens positifs et négatifs sont les mêmes que pour les abscisses.

La sous-tangente s'obtient donc en faisant r, = 0 dans l'équation (8) de la tangente et en tirant de là la valeur de ç — x. Il vient ainsi (en coordonnées rectangulaires ou obliques)

La sous-normale S,i se définit par rapport à la normale comme S< par rapport à la tangente, (".'est le segment PN de la figure. Sa

valeur s'obtient en posant r^ = 0 dans l'équation (12) et en tirant de là la valeur de i — x. Il vient (en coordonnées rectangulaires) :

Les longueurs T et N de la tangente et de la normale sont les longueurs absolues MT et MN, comprises sur ces droites entre la courbe et l'axe des x. On a donc (en coordonnées rectangulaires) :

N ^ \^l+if = ± ^\Jx'^ + y'-\

La distance P de l'origine à la tangente se tire de l'équation de cette droite par un principe bien connu de géométrie analytique. On conclut de l'équation (8) (en coordonnées rectangulaires) :

Si, au lieu de considérer x eiy comme fonctions de t, on considère y comme fonction de x, il faut faire x' = l dans les formules précédentes. On trouve les expressions plus simples :

( S, == - |r, S, = yy', T=± |rVr+7"^ (17) "^ ,

/ N--±vVi + w'2 P ^ + -1 — y^

[ y -^y VI +?/'^

240. Applications (coordonnées rectang^ulaires). — I. Parabole : y- = 2/?:r. Considérant y comme fonction de a-, on a yy' = ];. On trouve donc

Tangente : ■r(y =j)[l + x)] Normale : (ç — x]y -{- (r, — y) p = 0. Les formules (17) donneront ensuite :

Donc, dans la pai'abole, la sous-normale est constante.

x^ v^ II. Ellipse : — + -p- ^ 1. On trouve :

Tangente : ^ + |^ = 4 ;

Normale : '^ — -^^ =^ a' — b- = c"- .