X II
On se sert souvent d'une représentation paramétrique de l'ellipse. On exprime x oi y en fonction de / (anomalie excentrique) par les équations :
X = a cos /, y =^ b sin t.
On trouve ainsi, par les formules (13), (14), (15) et (16) :
^t = a sin t tg /, Sn ^ b.r
cos t, T = tg t SjaHin'H + b^osH,
N = - \(f^smH + b^cosH, a
On a donc la relation PN = b^.
ab
S^aH'mH + b^cosH
m. Iluperbole : ^ — t^ = 1. On trouve :
Tangente : -^ — ^ =- 1 ; ® a^ b" '
Normale : — ^ H = a^ + b- = c-.
IV. Logarithmique : y ^ ae"^-^. On trouve, par la première des formules (17) :
St == = — = const.
On rapprochera cette propriété de celle de la parabole, qui a une sous-normale constante.
V. Cycloïde. — La cycloïde (flg. 5) est décrite par un point M de la circonférence d'un cercle de rayon a qui roule sans glisser sur une droite fixe OX. Prenons cette droite pour axe des x, pour axe des y
la perpendiculaire menée par le point décrivant au moment où il se trouve sur OX. (-onsidérons une autre position du cercle généra- X leur. Soit OAlaquanlilé dont le point de contact s'est déplacé sur l'axe des x. D'après la définition du roulement, il s'est déplact de la même quantité sur le cercle. Donc l'arc AM entre le point dt contact et le point décrivant est égal à AO. Cela posé, soit t l'angle
variable des rayons CÂ et CM. Exprimons x et y en fonction de /. On a OA -= AM -- at; d'où
\ X = OA — MQ =^ Il [t — sin 0 (^^^ \ y = AC — QC = a (1 — cos /)•
Ces équations fournissent une représentation paramétrique de la cycloide. Elles montrent que la cycloïde se compose d'une suite illimitée à'arcades égales, situées au-dessus de OX, ayant respectivement pour hauteur le diamètre 2a et pour base la circonférence 'iar. du cercle générateur.
On a, dans le cas actuel,
x' = a [i — cos t) = y, y' --= a sin t. On en déduit la valeur de la sous-normale
Sn = ^j- =^ y' = a sin t.
Donc S;, est égale à la projection du rayon MC sur l'axe des x, et, par conséquent, la normale passe par le point de contact du cercle générateur.
241. Podaire d'une courbe plane. — On appelle podaire d'une courbe par rapport à un point G le lieu géométrique du pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la taug-ente.
Supposons que la courbe ait pour équation F{œ,y) = 0. Pour trouver celle de la podaire par rapport à l'origine, il faut éliminer x et ?/ entre l'équation de la courbe et les deux suivantes :
qui sont celles de la tangente et de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la tangente. La relation qui en résulte entre ; et t, est l'équation de la podaire.
Considérons, par exemple, les courbes de Lamé ou coicrbes tricmgulaires symétriques ^ qui ont pour équation
les équations de la tangente et de la perpendiculaire sont :
!'m\m~i T, fy\'>n-i h\b.
x\m»i fy
Par les propriétés des fractions égales, on conclut de la dernière équation
aj
L'élimination de x et y est donc immédiate. La podaire par rapport à l'origine a pour équation
L'ellipse et Yhyperbole en particulier, qui ont pour équations = 1,
ci' h'- '
tV2 —
auront pour podaires par rapport au centre ;
(<' 4- rr,' = (« ?)■' + (è -o^ ($"- + Vi- = \a 5
Si l'hyperbole est équilatère, a = è ; sa podaire devient
C'est une lemniscaie de Bernouilli, dont l'équation sera 7'- = a" cos 20 en coordonnées polaires.
242. Coordonnées polaires. — Soient r et 0 le rajon vecteur et l'argument d'un point du plan ; une courbe plane peut aussi être définie par une relation
entre les coordonnées d'un quelconque de ses points. Nous supposerons
généralement que cette équation peut être résolue par rapport à /'. L'équation de la courbe prend alors la forme
Soient r et 6 les coordonnées d'un point particulier M de cette courbe (fig. 6). Menons la tangente en ce point. Abaissons du pôle la perpendiculaire OP sur la tangente. Soient p la longueur de cette droite et a l'angle qu'elle fait avec l'axe OX. L'équation de la tangente sera (p, t désignant les coordonnées courantes)
p cos (x — a) = p.
Il s'agit de déterminer a et p. La tangente passant par M, on a d'abord
;• cos (0 — a) = p.
Admettons pour un instant que a et p se rapportent à la sécante MM'.
Fiff. 6.
La relation précédente demeurera vérifiée quand on remplacera 6 et ;' par les coordonnées r + -^^' et 6 -|- A6 de M'. On aura donc
A. r cos (6 — a) = 0.
Divisons par A6 et faisons tendre A6 vers zéro. Nous obtiendrons à la limite la relation qui convient à la tangente, savoir
-^,rcos(6 — a) = r'cos(6 — a) — rsin(0 — a) = 0;
d'où
On en conclut
cos T a cos (t— 6 +9 — a , ^, r' . ^
h r = ^^^ ,; \ y^cos T— 6 snifr — 6)
cos(ô — a) cos(e — a) ^ ^ r ^
L'équation de la tangente au point (r, 6) sera donc
(19) -=-eos(t — Ô) ^sin(- — 6).
Soit a l'angle du rayon vecteur CM avec la tangente menée dans le sens où 6 va en croissant. Cet angle est le complémentaire de (6 — a). Comme il est compris entre 0 et -^ il est complètement déterminé par la formule
(20) tg|.=-^.
La sûus-tangente St. et la sous-normale S^ en coordonnées polaires sont les valeurs algébriques des segments OT et ON (fig. 6) compris sur la normale au rayon vecteur entre le pôle et la tangente ou la normale. On aura
Les segments ainsi calculés auront le signe de tga. On voit facilement qu'ils seront positifs ou négatifs, suivant qu'il faut faire tourner le rayon OM d'un angle droit dans le sens positif ou dans le sens négatif pour l'amener dans la direction de ON.
La tangente T' et la normale N' en coordonnées polaires sont les portions MT et MN de tangente et de normale comprises entre le point M et la perpendiculaire NOT menée par l'origine au rayon vecteur. On a, les expressions devant être prises positivement,
La perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente a pour longueur j) et pour inclinaison a ; on a
fi p = rcos(0 — a) =
arctg— — .
En éliminant 0 entre les deux équations p = p et- = x où les seconds membres seront exprimés en fonctions de 0, on obtiendra entre p et t l'équation de la podaire de la courbe par rapport au pôle.
243. Applications (coordonnées polaires). — I. Spirale d' Archimède : r = «6. On a r' ^ a ; on en conclut
Donc, dans la spirale d'Archimède, la sous-normale polaire est constante et la sous-tangente au point (r, ô) a même longueur qu'un arc de cercle de rayon r et d'ouverture 0. En particulier, la sous-tangente au premier point où la spirale recoupe l'axe polaire a même longueur que la circonférence décrite avec le rayon vecteur de ce point.
II. Spirale logarithmique : r ^- «e"'^. On a r' = mae"^^ = mr. On en conclut.
tg [J- ^ — » S^ --- — , S„ = mr,
Vr+
Donc : 1°) La spirale logarithmique coupe le rayon vecteur sous un angle constant [j. ; 2°) Les points T et N (fig. 6) décrivent des spirales semblables à la proposée ; 3°) La podaire a pour équation
Vl + m' et c'est aussi une spirale semblable à la proposée.
Exercices.
1 . Tangente, normale et segments correspondants pour l'hyperbole rapportée à ses asymptotes . xy = a" .
2. Dans un cercle de rayon «, on mène un diamètre 00' et la tangente à l'une des extrémités 0'. Par l'autre extrémité 0, on mène une sécante quelconque coupant le cercle en V et la tangente en Q. On retranche de OQ un segment QM égal à OP. Le lieu du point M est une cissoïde de Diocles. Trouver son équation, la tangente, la normale, etc.
R. On prend 0 comme pôle, 00' comme axe polaire. L'équation est en coordonnées polaires
r = 2a (sec 6 — cos 6),
et en coordonnées cartésiennes
3. Un cercle de rayon a roule sur une droite OX ; un point fixé à ce cercle décrit une cycloïde allongée s'il est intérieur au cercle, une cycloïde accourcie s'il est extérieur au cercle. Trouver les équations de ces courbes, la tangente, la normale, etc.
R. Conservons les notations du n° 140 (Vj. Soit, en plus, h la distance du point décrivant au centre du cercle. On a
X =^ at — h sin t, y ^^ ci — h cos t.
La normale à la courbe passe encore par le point de contact du cercle et de la droite.
4. Un cercle de rayon h roule extérieurement sur un cercle de rayon a. On considère trois points M, M' et M", fixés au cercle mobile, le premier sur la circonférence, le second dans l'intérieur, le troisième à l'extériem' du cercle. Le point M décrit une épicycloïde, le point M' une épicycloïde allongée, le point M" une épicycloïde accourcie. Trouver les équations de ces courbes, la tangente, la normale, etc.
R. Prenons pour origine le centre du cercle fixe, pour axe des x le diamètre passant par le point décrivant au moment où il est le plus près du centre fixe. Soient h la distance du point décrivant au centre mobile et t l'angle dont a tourné le rayon vecteur mené du centre fixe au point de contact. On aura
î a; = (« + ^) ^os t — Il cos ( — 7 — t y ^= [a -\- 0) sin t — // sin
b La normale passe par le point de contact des deux cercles^
5. Même problème, le roulement se faisant intérieurement. Les courbes sont alors des hypocycloïdes.
R. Leurs équations s'obtiennent en changeant dans les précédentes // en — /< et è en — h. On a
!x = [a — b) cos t + It cos y =^ [a — h) sin t — h sin
6. La cardioïde (courbe en forme de cœur) est l'épicycloïde engendrée pai' le roulement de deux cercles de même rayon a. Si l'on prend pour
pôle le point décrivant au moment où il coïncide avec le point de contact. L'équation de la courbe est en coordonnées polaires
r = 2a (1 — cos 6).
Déterminer les éléments de cette courbe et sa podaire.
R. On trouve
S'„ =2«sinO,
T'=r:sin:^,
]S'=r:cos^,
2j = r sin -.
La podaire a pour équation
p = Aa sin^ x.
7. Podaire d'une circonférence de rayon a par rapport à un point de la courbe.
R. La courbe est une cardioïde (Exercice précédent).
8. Podaires de la parabole par rapport : 1° au foyer; 2° au sommet. R. La première est la tangente au sommet ; la seconde une cissoïde
(Exercice 2).
§ 2. Longueur d'un arc de courbe plane. Inclinaison de la tangente.
244. Longueur d'un arc de courbe plane. — Considérons une courbe
Il - m,
rapportée à des axes rectangulaires. La longueur .s' d'un arc compris entre les points dont les coordonnées sont x = a, ij = f(a) et x ^ b, y =f[b),esi, par définition, la limite du périmètre d'un polygone inscrit lorsque le nombre des côtés augmente indéfiniment et que chacun des côtés tend vers zéro. .
Nous allons montrer, en admettant quef{x) a une dérivée continue f'{x) que cette limite est déterminée et s'exprime par une intégrale définie.
Prenons, à cet ellel, sur l'arc considéré, n + 1 points (y compris ses extrémités) et désignons les coordonnées de l'un quelconque d'entre eux par x, et ///, de sorte que, les abscisses étant numérotées par ordre de grandeur, x^ et »/, seront les coordonnées a et /"(a) de l'origine x„ii et ,v„-|i les coordonnées b et /(/») de l'extrémité.
Inscrivons le polygone qui a ces {n + 1) points pour sommets. Le coté Ci qui joint [Xi, y,) à (^,+i, t/i+i) a pour mesure
Mais la formule des accroissements finis, donne, l, étant intermédiaire entre Xi et Xi+i,
II, ^i — yt = /■' lit) {Xi+i — Xt) . Il vient donc
Cl = (a-.+i - x>) VÏ+THÎTT^ Lorsque les côtés du polygone tendent vers zéro, les différences x^+i — Xi tendent aussi vers zéro. Il vient
