lim I c. = lim S (a-,+i - xt)\\ + Ai.)' • i

Cette limite est, par définition (n° 206), une intégrale détinie ; on a donc, en définitive,

8 = ^Ax yr+Tw •

L'opération qui consiste à calculer la longueur d'un arc s'appelle rectification. Nous reviendrons sur ce problème dans un chapitre suivant, où nous en donnerons des exemples.

245. Dérivée et différentielle d'un arc de courbe. — Considérons maintenant, sur la courbe

y - f{^), un arc variable s, compté depuis une origine f\\e x = a, y ^f{a) jusqu'il une extrémité mobile x, y. Cet arc sera mesuré par l'intégrale

(1) s = Ç'dx \ TTTW = i 'd^ Vi +y"'

Cette formule a été établie en regardant s comme une quantité essentiellement positive et nous avons implicitement supposé x >a ei le radical a été pris positivement. Mais, pour la généralité de la formule, il convient de considérer s comme susceptible d'un double signe, suivant le sens dans lequel on compte cet arc.

Nous conviendrons de considérer le radical comme positif dans la formule (1), de sorte que s sera positif pour x ^a et négatif pour x<a. Cela revient à i-egarder l'arc comme positif quand on le compte dans le sens où X varie en croissant et comme négatif dans le sens contraire. Si l'on prenait le radical négativement, la conclusion serait inverse.

Ceci posé, on tire de la formule (1)

(2) '' = ^ - VïTy^ ds = dx Vï+7^.

- En remarquant que dji = y'dji-, la difterentielle de l'arc se met sous la forme très usitée

(3) ds = Sjdx' + dif.

Si l'on a affaire à une représentation paramétrique de la courbe telle que a; =- cp (?), // ='^[t), on aura, x' et y' étant les dérivées de x et de y par rapport b. l, dx = x'dt, dy --- y'dt, d'où

(4) ds = dt SJx^^ + î/'2.

Nous conviendrons de prendre ce radical positivement, c'est-à-dire de considérer s comme croissant dans le même sens que t.

Enfin, on passe facilement des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires par les relations x ^ rcos 6, // = ?-sin 0, d'où lia- = dr cos 8 — r sin 0 d8, dy = dr sin 0-1-7- cos 0 rfO.

On trouve ainsi, r' désignant la dérivée dr : dh, ■

(5) ds -^ \dr- +"r'-6re- = dh V r- -\- r'- .

Nous conviendrons de prendre ce dernier radical positivement, c'est-à-dire de considérer ,v comme croissant dans le même sens que 0.

246. Théorème. — Le rapport d'un arc infiniment petit à sa corde a pour limite limité.

En effet, soient \s la longueur de l'arc Ao; et \y les différences des coordonnées des extrémités. La corde c a pour mesure \'\x'- + Aj/-. Ces quantités tendant vers zéro, on a donc

hm — — lun 7__=r=i = ■ , — - = 1.

247. Inclinaison de la tangente. — Soit -j; l'angle de la tangente à la courbe // -- / (.r) avec l'axe des x. Les axes étant rectangulaires, le coeilicicnt angulaire de la tangente est égal à tg -f. 11 vient donc

On en déduit

--r = yj=pp-v- ^'"•^ = vrTp"~

Remplacions y' et s' par dy : ilv et ds ; dx; nous tirons des relations précédentes les formules très employées

(8) dx -= ds cos cp, dy = f/*- sin cp.

Pour la généralité de ces formules, on doit supposer la tangente menée dans la direction où s va en croissant.

§ 3. Sens de la concavité.

Points d'inflexion des courbes planes.

248. Sens de la concavité. — Soient </ =- / [x) l'équation d'une courbe en axes rectangulaires ou obliques, et M un point de la courbe où la tangente MT n'est pas patallèle à l'axe des y (fig. 7). Si la courbe ne traverse pas sa tangente au point M, elle sera, en deçà et au delà du point M, située du même côté de la tangente MT (au moins dans le voisinage du point M). On dit que la courbe tourne, au point M, sa concavité du côté des y positifs ou du côté des // négatifs, suivant Fig. 7.

que la courbe se trouve par rapport à la tangente du côté des y positifs ou du côté des y négatifs.

Supposons que les dérivées des deux premiers ordi-es /' {x) et f"[x) soient déterminées et continues dans le voisinage du point M; on aura le théorème suivant :

La courbe y = f{x) tourne sa concavité du côté des y positifs ou du côté des y Jiégatifs, suivant que la dérivée seconde f" [x] est positive ou négative an point considéré.

En effet, l'un ou l'autre de ces deux cas se présente suivant que l'ordonnée de la courbe est plus grande que l'ordonnée de la tangente ou plus petite que cette ordonnée dans le voisinage du point M (aussi bien en deçà qu'au delà de ce point). Donnons à x un accroissement positif ou négatif Hx == dx. L'accroissement de l'ordonnée de la courbe sera Ay, l'accroissement correspondant de l'ordonnée de la tangente sera y'dx ou dy, ainsi qu'il résulte de l'équation (5) de cette droite (n'^ 237). Le sens de In concavité déi)end donc du signe de la différence

elle sera du côté des y positifs si cette différence est positive, du côté des y négatifs si cette différence est négative (le signe de ux devant rester arbitraire). Mais on a, par la formule de Taylor (n° 87),

^y = ily + 2 {dHj)a;+(icix = dy -\- ^ f" {x + Mx) dx^ .

Si f" [x) n'est pas nul, ["{x + Mx) sera du signe de /""(a-), à condition que dx soit suffisamment petit; ensuite dx'^ est essentiellement positif. Donc A// — dy sera du même signe que f (.r). La courbe sera située au dessus ou en dessous de sa tangente, de part et d'autre du point M, selon que /" [x] sera >0 ou <0.

249. Points d'inflexion. — Ce sont ceux où la courbe y = f{x) traverse sa tangente. Si la dérivée f"{x) existe, un tel point ne peut se rencontrer, en vertu du théorème précédent, que si f"[x) = 0. D'où le théorème suivant :

Les abscisses des poiyits d'inflexion sont racines de l'équation f"{x)=0.

Pour trouver les points d'inflexion, il faudra donc chercher les racines de cette équation. Mais toute racine ne donne pas un point d'inflexion. Pour qu'un point M où la tangente n'est pas parallèle à l'axe des y soit un point d'inflexion, il faut que l'ordonnée de la tangente MT surpasse celle de la courbe d'un côté du point M et que l'inverse ait lieu de l'autre côté. Il faut donc que ^y — dy change de signe avec dx.

Les dérivées première et seconde étant supposées continues, on a

^y-dy^'^rix^-yx).

Pour que .r soit l'abscisse d'un i)oint d'inflexion, il faut que f"(x + Mx) change de signe avec dx. De là le théorème suivant :

Les points d'inllexion de la courbe y = f{x) sont ceux oii f" {x) change de signe.

Supposons qu'une valeur x annule /" (.r) et toutes les dérivées suivantes jusqu'à l'ordre n exclusivement; la lormule de Taylor donnera

^y-dy^^''^'^ f"(x-\-hdx).

La dérivée «*^"'** a maintenant un signe indépendant de celui de dx supposé suffisanunent petit. Les changements de signes déj)endent

donc uniquement du facteur dx" . Celui-ci ne change de signe avec dx que si n est impair. De là la règle suivante :

Pou)- qu'une racine de f" ix) donne.un point d'inflexion, il faut que la première des dérivées d'ordre supérieur au second qui ne s'annule pas en même temps que f"{x), soit d'ordre impair.

Cette théorie suppose la continuité des dérivées. Il peut y avoir des points d'intlexion qui échappent à cette analyse pour les valeurs de ,r qui rendent discontinues les dérivées considérées.

§ 4. Courbure et développées des courbes planes.

250. Courbure. — Soit MM' un arc de courbe tel que la direction de la tangente varie toujours dans le même sens lorsque le point de contact se déplace de 31 en M'. Considérons les deux tangentes MT et M'T' menées à ses deux extrémités dans le même sens. On appelle courbure de l'arc l'angle des deux tangentes extrêmes ; courbure moyenne le rapport de cet angle à la longueur de l'arc ; courbure au point 31 la limite vers laquelle tend la courbure moyenne quand le point 31' se rapproche indéfiniment du point 31.

Désignons par A.ç et Acp les accroissements de la longueur de l'arc et de l'inclinaison de la tangente quand on passe du point 31 au point 31'. La courbure de l'arc 3131' sera Aci, sa courbure moyenne A'^ : A.s' et sa courbure au point M

,. A'i rfc5

hm ^ = -'- .

As ds

Nous remarquerons, pour commencer, le théorème suivant : Dans un cercle de rayon R, la courbure est la même en chaque point et égale à 1 : R.

En efTet, l'angle au centre correspondant à l'arc 3131' est le même angle A'^ que celui des tangentes extrêmes ; donc la longueur A^- de l'arc MM' est R A-^. La courbure moyenne est par conséquent égale à 1 : R, quel que soit l'arc MM'. Passant à la limite, on voit que la courbure sera aussi égale à 1 : R en chaque point.

251. Rayon de courbure. — Le courbure étant uniforme dans le cercle, il est naturel de comparer les autres courbes à un cercle sous le rapj)ort de la courbure. On ajjpelle rayon de courbure d'une courbe au point 31, le rayon du cercle qui a même courbure que la courbe

en ce point. Comme, dans le cercle, le rayon est l'inverse de la courbure, on a le théorème suivant :

Le rayon de courbure d'une courbe quelconque au point M est égale à l'inverse de la courbure en ce point.

Le rayon de courbure se désigne par R, on aura donc l'équation

Supposons que la courbe ait pour équation

et considérons y comme fonction de x. On a (n° 247) z> -- arc tg //', d'où, en dérivant,

(2) ?-TT^^- D'autre part, on sait (n° 245) que

Substituant ces valeurs, il vient

Cette formule comporte l'extraction d'une racine carrée. Un convient de considérer R comme essentiellement positif; on choisira donc en conséquence le signe du radical.

On remarquera qu'en un point d'inflexion où y" est nul, le rayon de courbure devient infini.

252. Cercle osculateur ou de courbure. — /.(' cercle osculateur en un point M d'une courbe plane est la limite d'un cercle })assant par le point M et deux autres points M' et M" qui se rapprochent indéfiniment du premier.

Supposons (lue la courbe ait pour équation

ll-f'{x).

Soient x, x^ et j'^ les abscisses des points M, M', M", a et |3 les cooi'données du centre et R le rayon du cercle (jui passe par ces trois points. Posons, // désignant la l'onction l\x] et a, 'j et R des constantes,

Les équations qui expriment que les trois jioints M, 'SV et M" sont sur le cercle sont :

Mais alors, en vertu du théorème de Rolle, F' (x) a une racine ; entre x et œ^ et une autre racine ;' entre i\ et x.,. Pour la même raison^ F" (x) a une racine ii entre i et ç'. Les éléments a, ,S et R du cercle passant par M, M' et M" vérifient donc les trois équations : ¥{x) = 0, F'i;) = 0, F"(^,)=^0.

Passons à la limite. Quand x^ et x^ tendent vers x, il en est de même de i et ij. Les éléments a, ,3 et R du cercle osculateur seront donc déterminés par les trois équations :

En les développant, il vient

Ces équations fournissent des valeurs déterminées pour les éléments du cercle osculateur, pourvu que y" ne soit pas nul. Les deux dernières déterminent les coordonnées a et ^ du centre, car on en tire

(7) ?>-y- ^n ^ cf.-X-=^-^ ^ ^^ '•

Portant ensuite ces valeurs dans la première équation, il vient

Cette formule est la même que (4). Donc le rayon du cercle osculateur est égal au rayon de courbure. C'est pourquoi le cercle osculateur s'appelle aussi cercle de courbure et son centre, centi'e de courbure.

Les formules (7) peuvent s'écrire sous une forme plus condensée, si l'on tient compte de l'équation (2). On a

ds Ces formules sont analogues à R = -j-, mais elles ont lieu sans

ambiguïté de signe.

253. Théorème. — Le centre de courbure L relatif au point M se tiwive sur la normale au point M à l'intersection de celle-ci avec une normale infiniment voisine.

En effet, x eiy étant les coordonnées de M, la seconde des équations (6), savoir

exprime que le point Z de coordonnées (a, (i>) est sur la normale au point M. De même, x^ étant l'abscisse du point M', l'équation F' (a;,) = 0 exprimera que le point Z est sur la normale au point M'. Mais alors, suivant le théorème de Rolle, F" [x) s'annule en un point i intermédiaire entre x et Xi. Les coordonnées a, [■!> de l'intersection des normales en M et M' véritlent donc les deux équations : F' (x) - 0, F" (l) ^ 0.

Faisons tendre M' vers M, q tend vers x, et, à la limite, les deux équations précédentes reproduisent les deux dernières équations (6) qui déterminent les coordonnées du centre de courbure.

254. Position du rayon de courbure, — Le rayon de courbure a été considéré jusqu'ici en grandeur seulement. Il est souvent commode de le définir en grandeur et en position. On appelle alors rayon de courbure le segment MZ mené du point M au centre de courbure correspondant. Le rayon de courbure est donc dirigé suivant la normale au point M du côté où la courbe tourne sa concavité.

255. Relation entre le rayon de courbure et la normale, — La longueur de la normale, considérée au n° 239, a pour expression ± ^ Vl +î/'^ Il en résulte que l'on a, au signe près :

^ ^ N yy"

Précédemment N a été considéré comme essentiellement positif ainsi que R. Mais nous allons faire en sorte que l'équation (10) subsiste même en signe. Il faut pour cela donner un signe à X, savoir le signe -\- si N est du même côté de la courbe que R et le signe — s'il est du côté opposé.

En effet, le second membre de l' équation (10) a le signe de — yy" Il sera positif si y/ et//" sont de signes contraires, alors, la courbe tournant sa concavité vers l'axe OX ^n" 248), R et N sont du même côté de la courbe. L'inverse aurait lieu dans le cas contraire.

256. Développée et développante. — Si le point M se déplace sur la courbe, le centre de couibure correspondant Z se déplace en même temps. Le lieu géométrique du centre de courbure se nomme déveloirpée. Par 0{)position, la courbe génératrice se nomme déveluppante.

On obtient immédiatement une représentation paramétrique de la déveloi)pée. Elle est fournie par les équations (7), qui donnent

^ .11) J.-2— F ' i^^y^—yi — '

et qui expriment les coordonnées d'un point a, [i de la développée en fonction du paramètre x. En éliminant x entre ces deux équations, on mettra l'équation de la développée sous la forme F (a, [i] = 0. Mais il est souvent tout aussi avantageux d'envisager la développée sous la forme (11).

La développée jouit de propriétés remarquables, que nous allons démontrer :

I. Le rayon de courbure en M tonche la développée au centre de courbure Z correspondant.

Considérant y, a et p comme fonctions de x, on a (6^^)

Dérivons totalement cette équation. La somme des termes provenant de la variation des lettres x et y est nulle en vertu de la troisième équation (6) ; il reste donc

(13) -a'-^'y'^O, d'où ^ = -Y-

Donc la tangente en Z à la développée, qui a pour coefficient angulaire p' : a', est parallèle à la normale en M à la développante (donc au rayon de courbure), qui a pour coefficient angulaire — 1 : y'. Par suite, ces droites, ayant le point Z commun, coïncident.

IL Varc de la développée est égal à la différence de longueur des rayons de courbure tangents à ses extrémités.

Considérant y, a, [i et R comme fonctions de x, on a (6'')

{x-ar + {y-{ir-^K'.

Si Ton dérive totalement cette équation, la somme des termes provenant de la variation des lettres xeiy est nulle en vertu de la seconde équation (6) ; il reste donc

{x — a) a' + (î/ — p) p' = — RR'.

D'autre part, en éliminant y' entre (12) et (13), puis en appliquant les propriétés des fractions égales, il vient

a' ^' a'* + P" Va'2 + ^

La dernière égalité se simplifie en ayant égard aux précédentes et en observant que Va'- + ^''^ est la dérivée de l'arc de la développée. Si l'on désigne cet arc par <y, il vient

RR' 1 R 1, < T>( L f

^ = ± — r, d'où R' = ± a'.

Le signe à choisir dépend du sens dans lequel on compte l'arc «i. Comptons-le dans le sens où R croît, ce qui suppose que R varie constamment dans le même sens dans l'intervalle considéré des valeurs de x, nous aurons R' = a'. Donc R et 7, ayant même dérivée,

ne diffèrent que par une constante dans cet intervalle.

Considérons (fig. 8) un arcMoM de la développante compté depuis un point fixe Mo d'abscisse Xo jusqu'à un point variable M d'abscisse x. Supposons que le rayon de courbure varie constamment en croissant ^^^' ^- quand on se déplace sur la courbe de

Mo vers M. Soit ZoZ l'arc correspondant de la développée, de sorte que MoZo et MZ sont les rayons de courbures Ro et R des points Mo et M. Désignons par - l'arc ZoZ. On aura

Pour X == Xo, cette relation donne Ro = C, nous obtenons donc la relation à démontrer :

(14) a = R — Ro.

Nous avons supposé dans cette démonstration que la variation de R était toujours de même sens ; le théorème tomberait en défaut si R

passait par un maximum ou un minimum.

257. Description de la développante d'un mouvement continu. Sa détermination analytique. — Les théorèmes ])récédents fuiu-nissent un moyen de décrire la développante d'un mouvement continu quand on connaît la développée. Concevons un lil parfaitement tlexible, inextensible et sans épaisseur, enroulé sur la développée et s'en détachant tangentiellement en Zo pour venir aboutir en Mo où on lo coupe (fig. 8). Imaginons qu'on déroule le fil en le détachant tangentiellement de la développée et en le maintenant toujours tendu ; l'extrémité libre du (il décrira la développant!;. Eu effet, quand le fi! se détachera en Z, il prendra la direction Z.M, et comme le brin détaché s'est accru de l'arc ZoZ, sa longueur sera R. Son extrémité sera donc en M. Comme la longueur ZoMo du brin initial est arbitraire, à une même développée correspondent une infinité de développantes.

Au point de vue analytique, la détermination des développantes quand la développée est donnée, se ramène à la rectification de l'arc (le la développée, c'est-à-dire à une quadrature.

En effet, sujiposons que l'équation de la développée soit ramenée à la forme

Prenons a comme variable indépendante. Désignons par ,3' la dérivée de ,3 par rapport à a. L'src 7 compté à partir du point Zo (fig. 8) dans le sens où a augmente, se détermine par la formule {n° 245)

j rfayi

Cette quadrature effectuée, le problème sera résolu. En effet, soit À l'inclinaison sur l'axe des abscisses de la tangente ZM à la développée; les coordonnées du point M de la développante sont : a; = a -|- R cos a, y = '^i^i{ sin À.

On a tgA = ,3'. On en déduit, ZM faisant un angle obtus avec l'axe des abscisses (fig. S),

cos A = . , ^ . sm A = — ^ , ^

Comme R = cr + C, il vient donc (16) . = . ^ + ^ --^ ^'<^ + C)

Les seconds membres étant fonctions de a, les équations (16) fournissent une représentation paramétrique de la développante.

Si la tangente ZM était dirigée en sens opposé, cos a et sin a changeraient de signe, mais les équations précédentes n'en seraient pas altérée.", car, R variant alors en sens inverse de j, on aurait R = -(. + C).

Les équations (16) renferment une constante arbitraire C, ce qui doit être, puisqu'il existe une infinité de développantes.

258. Adaptation des formiiles au cas d'une représentation paramétrique. — Si X et y sont des fonctions de t, ayant pour dérivées x' et y', les dérivées premières et secondes de y par rapport à x ont pour expressions (n° 152)

•^ — ;^' ^ocy ~ -^^ •

On doit donc substituer ces valeurs à y' et à //" dans les formules précédemment trouvées.

L'expression du rayon de courbure se déduit de la formule (4), la transfoi'mation donne

Les coordonnées a et p du centre de courbure seront déterminées par les équations suivantes, déduites des équations (7) :

(i») « - ^ ^Y y.vy, ' i'-y^ x'y" — x"jf ' Enfin la relation (10) entre R et N deviendra

259. Applications diverses. — I. Coniques en général. Prenons un axe de la courbe comme axe des x, l'équation d'une conique en coordonnées rectangulaires sera de la forme

1/2 = oa;2 + 'i^x + y.

On en tire

; og-H-^ „ gy — (ocr + j^) ;(/' ^^T — P'

// — y ' .'/ y2 yS

Substituons ces valeurs dans la relation (10), il vient

R i+y'' __ yMl + </'-).. N^ N yy" ' oLy — [i^ ^- — ay'

d'où

Donc /^ 7'aj/ûn d^ courbure d'une conique est propoi'tionnel nu cube de la noiinale limitée à un axe de la courbe.

Si l'on prend pour origine un foyer et l'axe focal pour axe des x, l'équation prend la forme

X- + //' = (i'^" + ;')" • En identifiant cette équation avec la précédente, on a a = e- — 1, P^ep, y=P', d'où [j- — ay = p- et

Donc le rayon de courbure d'une conique est égal au cube de la normale divisé par le carré du demi-paramètre (ordonnée au foyer) .

II. Parabole. Prenons l'axe de symétrie comme axe des y et la directrice comme axe des x. Les points de la parabole sont à égale distance du foyer et de la directrice; l'équation de cette courbe sera

^' 4- (// — pT- -- y , d'où

On aura donc

N yy"

Donc le rayon de courbure de la parabole est double de la normale limitée à la directrice et il est dirigé en sens contraire, ce qui fournit une construction facile de ce rayon.

Les coordonnées du centre de courbure sont données par les équations (11) qui se simplifient grâce à la dernière équation ci-dessus. Il vient

a = a; — ^yy' -= — y

Substituant les valeurs de y et de x tirées de ces relations dans l'équation de la parabole, on trouve celle de la développée