III. Ellipse. Considérons la représentation paramétrique

X ^= a cos t, y = b sin t.

On en déduit

x' ^ — a sin t, x" = — a cos t, y' := b cos t, y" = — bsln t,

d'où x'y" — y'x" == ab. Il vient donc (n" 2o8)

s' =- Va- s'm-t + b^ cosH

„, [a- sinH + b^ cosHy

{aby

Les coordonnées du centre de courbure sont : / , & cos / (0- sin-f -f- b^ cos^t) a- — b^

i a = fl cos / T--Î = COS^f

] ab a

) o ; • , rt sin f (a2 sin^f 4- b- cosH) a- — b- . ,. r 'ft=^bsint ^ T -^ — 1 sin^f.

Ces formules fournissent u!ie représentation paramétrique de la développée. Si on élimine t, l'équation de celte courbe prend la forme

IV, Cydoïde. Considérons la représentation paramétrique de cette courbe (n° 240)

X =- a {t — sin t), ij = a (1 — cos /). On en tire x' -=-.}/ = a {\ — cos t), x" = y' = as[nt, y" = acosl; par suite,

x'"~ 4- y'-^ ^ 2a" (1 — cos t), x'y' ' — x"y' = — a- (1 — cos /) . Il vient ainsi

Donc, dans la cyclolde, le rayon de courbure est double de la normale et il est dirigé dans le même sens.

Les coordonnées du centre de courbure sont fournies par les équations (18) qui donnent, à cause de la dernière égalité écrite ci-dessus

a = a; + 2</' = a {t + sin t) ,3 = ^ + 2a;' = — a (1 — cos t).

Mais, en posant t^-Tz -\- 1^, ces équations deviennent a = aTT 4- rt [tj — sin i,), [i = 2fl + a (1 — cos /,)• Donc la développée est une cyclo'ide égale à la première mais déplacée de a- dans le sens des x positifs et de 2fl dans celui des y négatifs.