V. Chaînette. Cette courbe a pour équation
L'axe des x est sa base, la longueur a son paramètre. On trouve
d'où 1 + //'- = y" : a-. On en conclut d'abord
Donc le rayon de courbure de la chaînette est proportionnel au carré de l'ordonnée.
D'autre part, il vient par la formule (10)
N yy"
Donc, dans la chaînette, le rayon de courbure est égal à la normale limitée à la base, mais il est dirigé en sens contraire.
260. Coordonnées polaires. — Soit -^ l'inclinaison de la tangente sur l'axe polaire, a celle de la normale. Comme ces deux angles varient de la même quantité, on a -f' = a' et il vient
ds s' s
ch o' a'
Mais on a (n»» 245 et 242)
s ' = \/^2|,^'2^ a =; 6 — arc tg — ;
d'où, en dérivant par rapport à 0,
rr'' — r'- r- + 2r'- — rr"
Remplaçant s et a' par ces valeurs, on trouve
,v2 | 2r'- — rr''
Les coordonnées cartésiennes a et |3 du centre de courbure s'obtiennent au moyen des relations (9), d'où l'on déduit
r du , (rsinô)'
\ do Ci'
r 1^=^ + — = rsm6 + A— ^^,
On aura soin de ne pas confondre a coordonnée du centre de courbure avec 7. inclinaison de la normale.
Appliquons ces formules à quelques exemples :
I. Spirale logarithmique : r -= ae"^^. — Dans ce cas, l'angle |x est constant ; a étant l'inclinaison de la normale, on a x = 0 — ij. et on conclut a' =- 1. 11 vient donc
Do'jc le rayon de courbure est propo7^tionnel au rayon vecteur. D'autre part, si l'on so reporte à la valeur de la normale polaire N', on voit que R ^ N', Donc le rayon de courbure est égal à la normale
polaire. Le centre de courbure est au point N (fig. 6). Si p et - sont les coordonnées du centre de courbure, on aura
p = N' = mr, T -.= e -f-.
En éliminant r et 0 entre ces équations et celle de la courbe, on trouve l'équation de la développée
p = ma e ^ - '
Cette développée est une spirale égale à la première, car, eu faisant tourner l'axe polaire autour du pôle, de manière à augmenter l'argument d'une quantité u) définie par l'équation
m(w — -^1 yna e ^ -' ^=^ \,
on retrouvera l'équation de la première spirale,
II. Lemniscate de Bernouilli : r" = af- cos 20. — '■ On tire de cette équation
rr' = — «2 sin 26, r' : r = — tg 20.
On en conclut d'abord, a étant l'inclinaison de la normale,
a = 6 — arctg-^^30.
Donc, dans la lemniscate, rinclinaison de la normale est triple de celle du rayon vecteur. On a donc aussi
D'autre part, N' étant la normale polaire, on a
s ' = N ' -- yJr^^r'^ = — ^ = — - ^ cos 20 r
De là résulte la valeur de R :
Donc le rayon de courbure de la lemniscate varie en raison inverse du rayon vecteur et il est le tiers de la normale 2)olaire, ce qui permet de le construire facilement.
Soient maintenant i, 3 les coordonnées du centre de courbure. Faisant z.' ^ ;j dans les formules (22), il vient, réductions faites,
a =■ — (7'r''cos0 — n-'sinO), 3 = -— (rr-sinO — rr'cosO).
Enfin, en remplai,\ant r-' et rr' par leurs valeurs a- cos 20 et — a- sin 20, on trouve, après qiielques simplifications,
3»' ir
L'équation de la développée s'obtient en éliminant r et 0, On a
d'où
Exercices.
1. Rayon de courbure de la cissoïde (Exercice 2, p. 230). R. La courbe a pour équation y* = x^ : (2« — a?). On en tire
