CHAPITRE VIII

Formules fondamentales de la théorie des surfaces et des courbes gauches.

.S; 1. Tangente à une courbe. Longueur d'un arc. Plan tangent à une surface.

261. Représentation analytique d'une surface, — On peut d'abord considérer une surface comme le lieu des points du plan dont les coordonnées cartésiennes .r, ^ et ;; sont liées par une équation

Nous appellerons point ordinaire de la surface, tout point où la fonction F est continue ainsi que ses dérivées partielles de tous les ordres el où l'une au moins des trois dérivées partielles F.r, F,, ou Fj est différente de zéro. Les autres points sont des points singuliers.

Dans le voisinage d'un point ordinaire où ¥- n'est pas nul, l'équation (1) définit une fonction implicite r- des deux variables indépendantes x et // (n° 143) (^) et, par conséquent, elle peut se ramener, au moins implicitement, à la forme

la fonction /'ayant des dérivées partielles finies et déterminées, qui se calculent au moyen des règles de dérivation des fonctions implicites.

Si F^ s'annulait en un point ordinaire, une des deux autres dérivées F.r ou F'/ ne serait pas nulle et la résolution de l'équation (1) pourrait se faire par rapport à x ou j)ar rapport à y.

On raisonne souvent sur l'équation de la surlace mise .«^ous la forme (?.), mais les formules s'étendent aux équations de la forme (1) en vertu des règles de dérivation des fonctions implicites. Il faut seulement considérer les points ordinaires de la surface.

On peut aussi définir une surface au moyen d'une représentation paramétrique. On exprime alors les coordonnées x, y, z de ses points

(') On peut faire, à propos do ce Uiéorènie. une remarque analogue à celle (le la page 226.

en fonction de deux paramètres indépendants u et v. La surface est alors représentée au moyen de trois équations :

Quand nous emploierons cette représentation, nous supposerons les trois fonctions f continues ainsi que leurs dérivées, sauf pour certains systèmes exceptionnels de valeurs de m, v.

Nous appellerons points ordinaires de la surface ceux où ces trois fonctions sont continues ainsi que leurs dérivées et où, de plus, l'un au moins des trois déterminants :

df.

âv

df.

àfz 1

dl.

dfs

àf.

df^

est différent de zéro,

Dans le voisinage d'un point ordinaire ainsi défini, on peut encore considérer une des trois coordonnées x, y, z comme fonction des deux autres. En effet, si le premier de ces déterminants est différent de zéro, on peut démontrer (n° 14ij que les deux premières équations (3) définissent u et v en fonction de x, y et, en portant ces valeurs dans la troisième équation, on obtiendra z en fonction de x et y, c'est-à-dire que l'équation de la surface pourra se mettre sous la forme (2).

Donc, dans les démonstrations, on pourra supposer à son gré que la surface soit définie par une équation de la forme (2) ou par un système de la forme 3i. Les démonstrations seront générales à condition de se borner aux points ordinaires de la surface.

262. Représentation analjrtique d'une courbe de l'espace. — En premier lieu, on peut définir une courbe de l'espace comme l'intersection de deux surfaces différentes, ou comme le lieu des points dont les coordonnées vérifient deux équations :

Les points ordinaires de la courbe sont ceux où les deux fonctions F, et Fg sont continues ainsi que leurs dérivées partielles et où l'un au moins des trois déterminants :

dF,

dz i

dx !

dVr,

dV.,

dV,

dV..

dh\

dz ;

dx [

'est pas nul.

Supposons que le premier de ces déterminants ne soit pas nul en un point. On peut démontrer (no 144) que l^s équations (4) définissent deux fonctions implicites y et z de x et que, ])ar conséquent, elles peuvent, au moins implicitement, se ramener à la forme

ces deux fonctions ayant des déiivées tinics et déterminées, (jui se calcidenl par les règles de dérivation des fonctions inq)licites.

Les résultats que nous établirons en raisonnant sin- les équations de la forme (5) pourront donc s'étendre aux équations de la forme (4j à condition de se limiter aux points ordinaires de la courbe.

On peut, en second lieu, considérer une courbe comme le lieu des

positions successives d'un point mobile, ce qui conduit à exprimer

X, y, z en (onction d'une variable indépendante /. On obtient ainsi une

représentation paramétrique de la courbe au moyen de trois équations :

(6) x = 'f,it), y = Mt), z = o,^t).

On appelle alors points ordinaires de la courbe, ceux où les trois fonctions c^ sont continues ainsi que toutes leurs dérivées et oii l'une au moins des trois dérivées premières ci, z^o ou o;! est dilïérenle de zéro.

Dans le voisinage d'un point ordinaire, le système (6) peut aussi se transformer dans un système analogue à (5). En effet, si 'Çi(t) n'est pas nul, la première équation (6) définit / en fonction de .r (n° 142), et en ])orlant celte valeur dans les deux équations suivantes, on obtient y et z en fonction de .v.

Donc, dans 'es démonstrations, on pourra cboisir le mode de représentation que l'on voudra. Les conclusions seront générales à condition de se borner aux points ordinaires de la courbe.

C'est le mode de i-eprésentation paramétrique qui est le j.lus employé, parce qu'il a l'avantage de rendre les formules plus symétriques. Les fornudes ainsi ('lablies renlermenl comme cas i)articulier celles relatives au premier mode de représentation, car les é(|uations (6) se réduisent à la forme (5) en posant / - .i.

Lorsque tous les points d'une courbe sont dans un même plan, la courbe est plane, elle est gauche ilans le cas contraire.

263. Tangente et plan normal à une courbe, — Supposons (pie la

— 2rii —

courbe, rapportée à des axes rectangulaires ou obliques, ait pour représentation paramétrique

La tangente en un point M de coordonnées x, y, z est la limite d'une sécante passant par ce point et par un autre point M' qui se rapprocbe indétiniment du premier. Soient \t l'accroissement qu'il faut donner au paramètre pour passer de M à M', A,r, A//, A;:- les accroissements correspondants des coordonnées. Les équations de la sécante MM' peuvent s'écrire (;, r,, ^ désignant les coordonnées courantes)

^■' ^x \y Iz

Divisons les dénominateurs par \t et faisons tendre A/ vers 0. Les quotients Aa- : A^ ^y : \t, \z : A/ tendent vers les dérivées x',y',z', supposées existantes, de x, y, z par rapport à /. On trouve ainsi les équations de la tangente au point M, savoir

Ces équations supposent toutefois que x\ y', z' ne s'aimulent pas simultanément au point M et c'est ce qui a lieu en tout point ordinaire de la courbe.

Multiplions par dt les trois dénominateurs des équations (9) ; les équations de la tangente prendront la forme suivante :

Ces équations ont l'avantage d'être indépendantes du mode de représentation adopté pour la courbe.

Le plan normal en un point d'une courbe est le plan mené par ce point i)erpendicuhiirement à la tangente. Nous supposerons les axes rectangulaires. L'équation du plan normal se déduit inmiédiatement des équations (9). Les coefficients de direction de la tangente sont les coefficients de l'équation du plan normal ; cette équation sera donc

Si l'on multiplie cette équation par dt, elle prend la forme

(12) (; - x) dx + (r. - y) dy + (C - z) dz = 0.

264. DéÔLition de la longueur d'un arc de courbe. Différentielle de l'arc. — La longueur d'un arc de courbe AB se définit comme dans le

cas des courbes planes (n° 244). C'est la limite, quand elle existe, du périmètre d'un polygone inscrit lorsque le nombre des côtés augmente indéfiniment et que chacun des côtés tend vers zéro. Nous allons démontrer l'existence de cette limite, en supposant que tous les points de l'arc AB soient des points ordinaires. Nous pouvons donc admettre que les équations de la courbe soient de la forme

les deux fonctions <p et t}^ ayant des dérivées finies et déterminées. Les axes seront supposés rectangulaires.

Soient x = a et x = b les abscisses des extrémités de l'arc AB {a<b). Marquons sur cet arc m + 1 points (y compris les extrémités). Soient x^, x^,... Xn+i les abscisses de ces points numérotées par ordre de grandeur, de sorte que ^, = a et Xn-\-i = b seront celles des extré-* mités. Désignons par yi et Zi les valeurs de y ei([ez pour x = Xu Inscrivons dans l'arc AB un polygone ayant ces (n + 1) points pour sommets. Le côté r, qui joint les points d'abscisses .r^ et xt+i a pour longueur

Ci -= V(^^+i — ^ef + iyt+i — yi? + {Zi+i — ^-z)'. Mais on a, par la formule des accroissements finis, \t et li étant compris entre xi et xi^i , ?/.+i — yi = [Xi^-i — Xi) 'f'{\i), Zi+i — Zi = (Xi+i — Xi) i/' (i,).

Désignons par M< et /«, les limites supérieure et inférieure de la fonction '^'{x)^ dans l'intervalle {Xi, J'i+i) et par H une quantité de valeur absolue moindre que 1 ; on a évidemment

cp'{X42=(p'(Ç,)2 4-e(M, — m,)

Donc, en posant, en abrégé,

Oi = {Xi-\.i — Xi), on peut mettre c, sous la forme

Ci == Oi \l + cp' (i,f + J.' {^,)2 + 9 (M, -m,). Si l'on remarque que la racine carrée d'une quantité supérieure à l'unité varie moins rapidement que cette quantité ('), on en conclut qu'on peut poser

Ci = S, Vl+<?'(i«)' + f(54* avec une erreur moindre en valeur absolue que (M, — m,) o,.

( *j En effet, si « est > 1, on a, quel que soit x,

I V^Tf^ -\Ja I -- I x': (VM^+ VÔ) I < I a; I

Soit donc P le périmètre du polygone inscrit ; on aura

avec une erreur moindre que ^{Mt — Wi)o,.

Faisons tendre tous les côtés du polygone, et par suite, tous les oi vers zéro ; on aura, à la limite, par définition de l'intégrale (n° 206),

lim P - f dx\'i i-'f'[x)^-\-y{x)\

sans aucune erreur, car, comme la fonction continue 'f'i-vj- est intégrable, les deux sommes HMjS/ et Sw^o/ tendent vers la même limite et I!(Mï — m/)ùi tend vers zéro.

L'arc variable AM compris entre un point fixe A d'abscisse a et un point variable M d'abscisse x est une fonction .s de x. Cette fonction est continue et admet une dérivée. On a, en effet,

(14) ~= \/TTV(x)^TV{W^

La différentielle de Varc sera donc représentée par la formule

(15) ds = dx\li -i- <^\xY + V{xf =dxyj\ + (^) + (^ J

Dans les calculs précédents, tous les radicaux ont été pris positivement, ce qui revient à considérer l'arc s comme croissant dans le même sens que x. Dans l'hypothèse inverse, tous les radicaux devraient être pris négativement. Nous ferons (sauf indication contraire) la première hypothèse, chaque fois que x sera pris comme variable indépendante.

265. Théorème. — Le rapport d'un arc infiniment petit à la corde qui le sous-tend a pour lignite l'unité.

En effet, soient As la longueur de l'arc, ^x, ^y et Ax les différences des coordonnées des extrémités. La corde correspondante c a pour mesure V^^* + ^ff + ^^^- Lorsque ces quantités tendent vers zéro, on a

\s ds

— 2fi4 —

en vertu de la formule (15). Le signe du radical ne donne pas lieu à discussion, car il ne s'agit dans le théorème que de longueurs absolues.

266. Dérivée et différentielle d'un arc de courbe dans le cas d'une représentation paramétrique. — La formule (15) peut se mettre sous la forme

(16) ds = ± \/dx' -f dt + dz^ .

Celte formule ne contient plus que les différentielles des coordonnées et elle ne dépend plus en rien du mode de représentation choisi pour la courbe. Elle est donc générale et elle s'applique au cas d'une représentation paramétrique. Les coordonnées x, y, z sont alors des fonctions de t ayant pour dérivées x', y', z'. Remplaçons dx, dy, dz par x'dt, y'dt, z'dt. La formule (16) deviendra

(17) ds ^ ± dt Vic'2 + î/'2 4- î'2 et la dérivée s' de s par rapport à t sera

Le signe à donner aux radicaux dépend du sens dans lequel on compte l'arc. Sauf indication contraire, nous leur donnerons le signe +, ce qui revient à compter l'arc dans le sens où / varie en croissant.

267. Cosinus directeurs de la tangente à une courbe. — Nous désignerons par a, (iJ, Y les cosinus des angles que fait la tangente avec les axes coordonnées. On leur donne le nom de cosinus directeurs de cette droite. Pour les détlnir sans ambiguité, nous considérerons la tangente menée au point M {x, y, z) dans le sens des arcs croissants. Les cosinus directeurs de la droite MM' qui joint le point M au point M' de coordonnées (.r + Ax, // -j- A//, :; + \z) sont, r désignant la longueur absolue de la droite MM',

\x Av A;; T' "c' c'

Soit As l'arc MM' ; As sera positif si MM' est mené dans le sens des arcs croissants. Or les expressions précédentes peuvent s'écrire

Aj: As Ai/ As A;^ As

^s c' \s c ' As c

Supposons que M' tende vers M ; As et r étant positifs, A.v : ( aura

pour limite + l (n° 26o}. Les cosinus directeurs de la direction MM'

deviennent, à la limite,

,,^> dx x' n du y' dz z'

^ ds s' ' ds s ' ds s

Tels sont en grandeur ot en signe les cosinus directeurs de la tangente menée dans le sens des arcs croissants. En remplaçant s' par sa valeur (18) ces formules peuvent s'écrire

Si le radical est pris positivement, s et t croissent dans le même sens

et la tangente est menée dans le sens où / varie en croissant. Bemarque. — Les formules précédentes prouvent que toute courbe

dont les tangentes sont parallèles à une direction fixe, se réduH à une

droite. En effet, soient a, b, c les coefficients de la direction fixe. On

aura

Donc X : a, y : b q{ z : c ayant même dérivée, ne différent que par des constantes et l'on a

a f ' b c Ce sont les équations d'une droite.

268. Plan tangent à une surface. — Le lieu géométrique des tangentes menées par u)i point ordinaire d'une surface à toutes les courbes tracées sur la surface et passant pur ce point, est un plan auquel ou donne le nom de plan tangent à la surface.

Supposons que la surface ait pour équation en coordonnées rectangulaires ou obliques

Dans le voisinage d'un point ordinaire, une des trois dérivées partielles de F est différente de zéro et l'on peut supposer que ce soit F'. Alors l'équation de la surface jiourra être résolue par rapport à :; et ramenée à la forme

'(22) z-^f{x,yu

la fonction /ayant des dérivées partielles déterminées que nous désignerons en abrégé par /; et jtar q, de sorte que l'on aura

ôf f; ^, âf f;

dx F'' ^~dy F'

Toute courbe tracée sur la surface se projettera sur le plan xy suivant une certaine courbe plane. Considérons une représentation paramétrique de cette courbe plane

(23) ^- = cp {t), y = ^ {t).

L'ensemble des équations (22) et (23) fournit une représentation paramétrique correspondante de la courbe tracée sur la surface, car, en remplaçant x et y par <f (t) et 4- {t), l'équation (22) donne aussi z en fonction de t.

Les équations de la tangente au point M (x, y, z) de cette courbe seront (n° 263)

(24) iizi^rnzi^^^^.

Mais, en dérivant totalement l'équation (22) par rapport à /, on a

z' --= px' -\- qy'.

En éliminant x', y\ z' entre cette équation et les précédentes, on trouve la relation

qui est vérifiée par les coordonnées i, ri, C d'une tangente quelconque passant par M. Cette équation étant du premier degré est celle d'un plan. Ce plan est le plan tangent à la surface au point M.

L'équation (25) est surtout usitée quand l'équation de la surface est donnée sous la forme (22). Si l'équation de la surface est de la forme (21), on substitue les valeurs

Frr F»/

dans l'équation (25), qui devient

Donc l'équation du plan tangent s'obtient en difjérentinnt totalement l'équation de la .surface et en remplaçant dx, dy et dz par l — x, tj — y et'C. — z.

Considérons maintenant le cas où la surface est définie par une représentation paramétrique

(27) x = fi{u,v), // = /e(u,t'), z=f3(u,v).

Il suffit de considérer u et v comme fonctions d'un paramètre unique / pour que les équations précédentes soient celles d'une courbe tracée sur la surface. Les équations de la tangente à cette G ourbe au point M seront

Mais les coefficients de directions x\ y' et z' ont maintenant pour expressions :

X = — u' -]--^v', au ov

'' du ^ -'" •

âv

ils sont donc liés par une relation générale, qui résulte de l'élimination de m' et de v' entre les trois équations précédentes, savoir

du dv

y, dU df,

^ du dv

du dv

L'élimination de x\ y', z' entre les équations de la tangente et cette relation fournit une équation vérifiée par les coordonnées d'une tangente quelconque passant par M. C'est l'équation du plan tangent. Pour l'obtenir, il suffit de remplacer x', y', z', par i — x t; — y et "C — z dans la relation précédente. Nous l'écrirons sous la forme

^ — x -ri — y !; — 2 (28) x'u y'u z'u =0.

D'ailleurs, en un point ordinaire, cette équation ne peut pas se réduire à une identité, car l'un au moins des trois mineurs relatifs à i — a;, Y, — .(/ et iC — ^ n'est pas nul.

269. Normale à une surface (axes rectangulaires), — La normale en un point M [x, /y, z) d'une surface est la perpendiculaire élevée au plan tangent en ce point. Les équations de la normale se déduisent immédiatement de celle de ce plan. En effet, les axes étant rectangulaires, les coefficients de direction de la normale sont les coefficients de l'équation du plan langent. La normale sera représentée par l'un des trois systèmes d'équations, correspondant respectivement à (25), (26) et (28) :

\ y'v^'r - K^'r ' KK - KK K^y'r - y'A-

Les cosinus directeurs X, Y, Z de la iioi-niale se déduisent de ces formules, car ils sont proportionnels aux dénominateurs qui ilgurent dans chacun des trois systèmes d'équations. Ils se détermineront donc par l'un des trois systèmes con-espondants :

P q —1 \' i + jf- -\- q-

K K ^^ Vf;^ + f;^ + f;^" •

V y'u^'v-^X- KX--KA ^'ny'r-y'uK

Le double signe qui figure dans ces équations correspond aux deux sens dilTérents dans lesquels on peut mener la normale à la surface.

§ 2. Plan osculateur.

Courbure et torsion des courbes gauches.

270. Représentation de la courbe. — Dans tout le paragraphe actuel, nous considérerons la représentation paramétrique suivante d'une courbe gauche :

(1) x = 'f,{t), y = 'i,{t), 2 = 'f3(0 et nous supposerons les axes coordonnés rectangulaires.

Plusieurs des formules que nous établirons se simplihent quand on prend .s- comme variable indépendante. Pour éviter toute confusion dans les formules, nous numéroterons en chiffres romains celles qui se rapportent à cette hypothèse spéciale.

271. Plan osculateur. — Ia' plan osvnlateur m un point M <ruue courbe gauche est lu limite iriin plan passant par le peint M et dexix autres points M' et M" de la courbe qui se rapprochent indéfiniment du premier.

L'équation d'un plan quelconque est de la forme

(2) Aç + Br. + Cr + P = 0.

Posons, A, B, C et P désignant des constantes et x, y, .:■ les fonctions (I) de ^ écrites ci-dessus,

Soient /, ti et /, l^s valeurs du paramètre qui correspondent aux trois points M, M' et M" ; les équations qui expriment que le plan (2) liasse par ces trois points sont :

3Iais alors, en vertu du théorème de Roi le, F' a une racine - comprise entre / et ^ et une autre l'acine t' comprise entre /j et fj- Pour la même raison, F" a une racine 7, comprise entre t et t'. On a donc les trois équations :

Faisons tendre M' et 31" vers M. c'est-à-dire f, et to vers t ; - e{ ~i tendent aussi vers t et, à la limite, les trois équations précédentes deviennent :

Ce sont les trois équations qui déterminent les ccefïicients de l'équation du plan osculateur. En les développant, il vient :

i' A^- + By + Cz 4- P = u, (4») Ax'-\-By' + Cz-' =^0,

[ \x" + By" + C^" = 0.

Soustrayant de (2) la première des équations (4), on met l'équation du plan osculateur sous la forme très usitée

En éliminant A, B et C entre cette équation et les deux dernières équations (4), on met l'équation du plan osculateur sous forme de déterminant

Les coelVicients A. B, C ne sont déterminés qu'à un l'acteur près par les équations précédentes. Mais nous conviendrons de désigner par A, B et C les coefficients qui figurent dans l'équation (6), de sorte que nous poserons

Les équations (5) et (6) ne représentent le plan osculateur que si

l'une au moins des quantités A, B et C est différente de zéro. Si ces trois quantités s'annulaient simultanément en un point, les deux équations se réduiraient à des identités et l'équation du pian osculateur devrait être modifiée. Nous laisserons de côté ces points exceptionnels pour le moment.

Remarque I. — Il est impossible que les trois quantités A, B, C s'annulent à la fois tout le long d'une courbe. En effet, on aurait tout le long de cette courbe