BC — CB' CA'— AC AB' — BA
(jui nous serviront tout ii l'heure.
272. Théorème. — Le plan moïc par la lanyentc au point M parallèlemenl à la tangente au point infiniment voisin W a pour limite le plan osculateur.
Soit (2) l'équation de ce plan. La condition de passer par M donne y (f) = 0 ; la condition d'être parallMe à la tangente au point M dont les cosinus directeurs sont jiroportionnels à .r\ y', z' donne Ax' + By' + Cz' -= 0 ou V (/) = 0 ; de même, la condition d'être parallèle à la tangente au point M' donne F' (/,) = 0. Mais alors, en vertu du tiiéorèmc de Rollc, F" a une racine t comprise entre /et /,.
Les coefficients du plan considéré vérifient donc les trois équations F (t) ■= 0, F' (t) = 0, F" (t) = 0. Quand M' tend vers M, t^ tend vers t et ~ également. Donc les coefficients du plan limite vérifient les trois équations : F {t) ^ 0, F' (0 = 0, F" (t) = 0.
Ce sont les mêmes que pour le plan osculateur.
273. Théorème. — La droite, intersection du plan osculateur en M avec le plan osculateur en un point infiniment voisin M' a pour limite la tangente en M.
Considérons x, y, z- et A, B, C comme les fonctions de / définies par les équations (1) et (7) et posons, ç, t], !^ désignant des variables indépendantes de t,
Les équations des plans osculateurs aux points M et M' qui correspondent aux valeurs t et t^ du paramètre pourront s'écrire <P{t)=^0, ^{t,) = 0.
Les coordonnées l, r^, Z, de l'intersection de ces deux plans vérifient ces deux équations à la fois ; mais alors, en vertu du théorème de Rolle, elles vérifient aussi <ï>' (■:) = 0, t étant compris entre t et t^. Quand M' tend vers M, /, et - tendent vers t. Donc les coordonnées i, y,, 'C, de l'intersection limite vérifient les deux équations ^{t) = 0 et <t>'(0 ^ 0. En remplaçant ^ et <ï>' par leurs développements, et en observant que Xx' + B^' + C^' = 0, il vient
d'où l'on tire
l — x 'f\ — y ^- — z- BC — B'C CA' — C'A AB' — A'B
et, à cause de (9),
Les coordonnées i, y., "C de la droite d'intersection limite vérifient donc les équations de la tangente nu point M. Ainsi cette droite se confond avec la tangente.
274. Cercle osculateur. — Le cercle osculateur en un point M d'une courbe gauche est la limite d'tin cercle passant par ce point et par deux
antres pinnis M' et M" de la courbe ijui se rapprochent indéfiniment du premier.
Soient x^, .(/,, z-^ les coordonnées du centre et R le rayon du cercle passant j)ar les trois points M, M' et M". Soient t, t^ t^ les valeurs du paramètre correspondant à ces trois points. Considérons x,ii,x- comme fonctions de t et posons
Les quantités .r,, /y,, v, et R vérilieront les trois équations : F(0 = 0, F(^) -- 0, Y{t,) = 0, qui expriment que le centre (x^, y/], ;;i) est à la distance R des trois points M, M' et M". On en conclut, comme dans le cas d'une courbe plane (n" SoS), que les éléments x^, y^, z^ et R du cercle osculateur vérifient les trois équations :
D'autre part, le cercle osculateur étant dans le plan osculateur, qui est la limite du plan MM'M", les coordonnées du centre vérifient l'équation (5) de ce plan. On a donc
Ajoutons à celle-ci les équations F'(/) = 0 et F"(/), qui déveloj»pées deviennent
^ ' \x'\x-x,)i-!i"ui-!i,)^z.-\z.-z,)^-(x''-]-y'-^-{-z'^). Nous formerons un système de trois é(piations, résoluble par rapport à {x — Xi), (// — //,) et {z — V,) et d'où l'on tire, en observant que le déterminant du système est A- j- B- + C'-' ,
n9\ -^1 ~ •^' ^ fli~J y, — y x'- H- y" + z-'- ^^^1 Bz' — Cy' Cx' — \z' A//' — Bx' ~ A- + B- + (r-
Ces équations déterminent les coordonnées x^, //, et v, du centre du cercle osculateur.
Le rayon R se détermine ensuite au moyen de l'équation F(/^ =0, qui donne
Remplaçons dans le second membre les parenthèses par lein-s valeurs tirées du système précédent, et ayons égard à l'identité
(B:.' - (V/'r" -h ((>' - A.:.')-' I [\y' - Bx'f = (A-^ + B^ -r Cr) [x'^ -\- //'-' -\- z'^) - i\x' + by' + Cz-'f- ;
il viendra, puisque ce dernier carré est nul (4^),
. jx'^- + y'^ -f ^'r , A2 + B2 + C-
d'où
VA^ + B-^ + C/ ' On cherche pour R une valeur positive, de sorte qu'on donnera à ce dernier radical le signe de 6-',
Remarque. — Le centre du cercle osculaleur se trouve, comme on l'a vu plus haut, dans le plan osculateur. U se trouve aussi dans le plan normal. En effet, la première des équations (11), ¥'{t) = 0, exprime que les coordonnées .l'i, y^, z^ vérifient l'équation du plan normal.
275, Simplification des formules quand s est pris comme variable indépendante. — Un trouve des résultats particulièrement simples quand on choisit l'arc s comme variable indépendante. On a, dans ce cas, s' = 1 c'est-à-dire que
Considérons le système formé de l'équation dérivée de la précédente et de la dernière équation (4), savoir
i^v'x" i-y'y" + z'z" = 0, \Ax" -\-By" -\-Cz" = 0.
On voit que x", y" et ,:•" vérifient les deux mêmes équations linéaires et homogènes que {x — Xi), iy — yi) et (z — z^), savoir l'équation (10) et la première des équations (U). Donc on a
/IIT, -^1 ^ ÎJl II ^"1 ^
l»»ii x" ~ y" ~ z"
Par les propriétés des rapports égaux, ces fractions sont encore égales aux deux suivantes :
i I, .1, -r- Il II -f- À '
