IV

{x,-x)x" -hiy,-y)y" + {z^-z)z"

x"-' 4- y"- + z"' qui se réduisent simplement à

— Tii —

car la seconde équation (11) devient maintenant

X" {x,-x) + y" {y, -y) + z" [z, -z)^\. En définitive, il vient donc

fvi\ ^1 — ^ y^ — y z^ — z p 1

Telles sont les équations très sim])les qui déterminent Xi, yi, Zi et R quand s est pris comme variable indépendante.

276. Courbure, Rayon de courbure. — La courbure se définit dans les courbes gaucbes comme dans les courbes planes. Considérons sur la courbe deux points M et M' et menons les tangentes MT et M'T' en ces deux points dans le sens des arcs croissants. L'angle de ces deux tangentes est la courbure de rare MM', le rai)port de cet angle à la longueur «le l'arc est sa courbure moyenne, enfin la limite de la courbure moyenne quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, s'appelle la courbure de la courbe au point M.

Le 7'ayon de courbure au point M est le rayon d'un cercle ayant même courbure que la courbe en ce point. Le rayon de courbure R est donc égal à l'inverse de la courbure.

Pour déterminer ce rayon, désignons par a, |j, -; les cosinus directeurs de la tangente MT au point M{x, y, z), par a + Aa, (3 + Ap, y -\- Ay ceux de la tangente M'T' au point M', par -^ l'angle des deux tangentes MT et M'T' ; on aura

C0S'^ = a(a + Aa]-f i'i([i-fA;i,.-t-yr;-i-Ay).

Mais, en ajoutant membre à membre les deux relations

a= + !ii^ 4- f = ^^ (^- 1- ^a)' + (h + -^.â)' + (r + ^it - J .

((ui ont lieu respectivement entre les cosinus directeurs d'une droite relativement à trois axes rectangulaires, il vient

2[a(a + Aa) + P(?^-AP)+y(y4-Ay)] = 2-(Aa2 + Ap- + Ay^)

Le premier membre est 2 cos -f, il vient donc

Aa- + A;i- -I- Ay- = 2(1 — coscp) --= (^2 sin \ ;•

Remarquons que le rapport de 2 sin ^ à cp a pour limite l'unité quand v tend vers zéro. Donc on peut, sans en changer la limite, substituer ces deux quantités l'une à l'autre dans un rapport d'infiniment petits. Soit A*' la longueur de l'arc infiniment petit MM' ; la courbure

au point M est égale à la limite de 'f : Aa\ Comme la courbure est aussi égale à 1 : R, il vient

^,=hm -i- =liml ^l-=lim .', '-•

On a donc, en définitive,

i da^+di^M-t/ï^^g'^ + l^'^ + ï'^ ^ ' R2' ds-' s'2

Le rayon de courbure est égal au rayon du cercle osculateur. En effet, si l'on prend s comme variable indépendante, a, § et y se réduisent à x', y' et z' (n" 267), donc a', ,3' et -;' à x", y" et z", enfin s' ^i ; il vient donc

(VII) ^ = x''-^ + y"-^ + z"\

C'est précisément la valeur (VI) du rayon du cercle osculateur trouvée au n° précédent.

On considère R comme essentiellement positif, son expression en fonction des dérivées des coordonnées quelle que soit la variable indépendante, sera donc (13)

Va-2 + R2 + c^

où le radical reçoit le signe de s'.

Le cercle osculateur, ayant pour rayon le rayon de courbure, reçoit, à cause de cela, le nom de cercle de courbure et son centre celui de centre de courbure.

Remarque. — La formule (14) prouve qu'une ligne dont la courbure est constamment nulle se réduit à une droite ('). En effet, on a alors a'- 4- ,3'- + y'- = 0. Chacun des carrés, étant réel, doit être nul séparément. Donc -/, 3 et y sont constants et la ligne est droite

277. Position du rayon de courbure. Normale principale. — On considère généralement le rayon de courbure comme déterminé de situation et de direction dans l'espace. C'est la droite menée du point M au

(1) Toute la théorie exposée ici concerne les courbes réelles. Le tliéorùmo uc s'applique pas aux courbes imaginaires. Cette observation s'étend d'ailleurs à plusieurs des théorèmes énoncés plus loin ou proposés comme exercices.

centre de courbure correspondant, dont les coordonnées a;,, //, et z-i ont été déterminées pi'écédemment (n" 27o). La droite dirigée suivant le rayon de courbure est normale à la courbe et située dans le plan osculateur (n° 274). On lui donne le nom de normale piincipale. Les cosinus directeurs a, jjl et v de la normale principale se déduisent sans ambiguïté de signe des équations (12) en y taisant les substitutions : ,i\ —x== Ra, yi — y = Rfi, - 1 — - -= Rv. On arrive à un résultat plus simple quand on prend .v comme variable indépendante. On peut alors faire les substitutions précédentes dans les équations (VI) et il vient

(VIII) ±^ = ^ = -l^=i{.

Il est facile de déduire de ce cas particulier des équations générales. On a, en efTet, dans ce cas particulier,

(IX) x" = jLf^^^ÈL, y"-^^ .".^Él ^ ' ' ds KdsJ ds ' '^ ds' " ds

Les équations (VIII) peuvent donc s'écrire

(15^ L==Ji J^^i

^ ' do. dp dy ds

et, comme celles-ci ne renferment plus que des différentielles premières, elles ont lieu, quelle que soit la variable indépendante. Elles peuvent aussi s'écrire, en divisant tous les dénominateurs par d/,

Si l'on y fait les substitutions :

on les mettra sous la forme

Comme s" change de signe en même temps que s\ ces formules mettent en évidence que a, ijl, v ne dépendent pas du sens dans lequel on compte les arcs.

278. Directions principales. — Par le point M d'une courbe menons la tanyenlc dans le sens des arcs croissants, lu normale principale et

la perpendiculaire au plan osculateur. Cette dernière droite, qui est perpendiculaire aux deux autres, s'appelle, à cause de cela, la binormale. Ces trois droites forment, en chaque point d'une courbe, le trièdre principal et leurs directions, qui sont perpendiculaires entre elles, s'appellent les directions principales.

Les cosinus directeurs a, [i ety de la tangente MT, menée dans le sens des arcs croissants, sont définis sans ambiguité par les formules du n<> 267 :

Les cosinus directeurs a, a, v de la normale principale MX le sont également par les formules (17) :

Nous désignerons par X, Y et Z les cosinus directeurs de la binormale iMB. Ceux-ci étant proportionnels aux coefficients A, B et C de l'équation du plan osculateur, on aura