VA2 + B2 + C

Reportons-nous à la valeur (13) de R; il en résulte que o est égal à 4- 1 ou à — 1 suivant que le radical a le signe de s' ou le signe contraire ('). Donc, le radical recevant le signe de s', on a o ^= -[- 1.

C'est la condition qui exprime que les deux trièdres MTNB et OXYZ sont de même rotation.

En effet, on peut toujours par un déplacement continu amener MT en coïncidence avec OX et MN en coïncidence avec OY. Alors MB est dirigé suivant OZ ou en sens contraire ; selon qu'on se trouve dans l'une ou l'autre hypothèse, on aura Z = ± 1 d'où

Mais, si B était égal à -f- 1 avant le déplacement, il le sera encore après, car il ne peut changer brusquement de valeur pendant le déplacement. Donc MB sera venu en coïncidence avec OZ.

281. Torsion. Rayon de torsion. — Après avoir considéré l'angle de deux tangentes menées en deux points différents .M et M' de la courbe, il est naturel de considérer l'angle de deux plans osculateurs. On arrive ainsi à la notion de sevonde courbure ou de torsion.

L'angle ^ des plans osculateurs aux points M et M' s'appelle la torsion de l'nrr MM' ; le rapport de la torsion à la longueur de cet arc est la torsion moyenne de cet arc ; la limite de la torsion moyenne de l'arc MM' quand M' tend vers M est la torsion de la courbe au

{}) Le déterminant 0 formé avec les cosinus directeurs de trois directions rectangulaires est toujours égal à -{- 1 ou à — 1. On le vérifie immédiatement on (''lovant m (iétorminani au carré par la rèîjle connue.

2)oi7it M. Le rayon de torsion T an point M est l'inverse de la torsion en ce point.

Remarquons que l'angle des plans osculateurs aux points M et M' est le même que celui des binormales en ces mêmes points. Les cosinus directeurs de la binorniale ont été désignés par X, Y et Z. Donc le même calcul que celui qui a été fait au n^ 276 pour déterminer 1 : R au moyen des cosinus directeurs a, |3 et y de la tangente, donnera, dans le cas actuel,

Cette formule sullit pour déterminer la valeur absolue de la torsion et du rayon de torsion. Un examen plus approfondi conduit cependant à donner un signe à la torsion. C'est ce qui sera fait dans les numéros suivants où nous donnerons en même temps la valeur de T en fonction des dérivées de x, y, z.

La formule (19) prouve que toute courbe qui a une torsion constamment nulle est une courbe plane. En effet, 1 : T étant nul, on a X'2 4- Y'"- + Z'" = 0. Comme on suppose X', Y' et Z' réels, ces quantités sont nulles séparément et X, Y, Z sont des constantes. On a alors

\x -\- Yt/ + TjZ = const.

car le premier membre a pour dérivée X^c' + \y' + Zz', c'est-à-dire 0 puisque la binormale est perpendiculaire à la tangente. Donc les coordonnées x, y, z vérifient l'équation d'un plan.

282. Signe de la torsion. Détermination du rayon de torsion en grandeur et en signe. — On a les trois équations :

X' + Y2 + Z2 = 1, Xx' + Yp' -H Zz' == 0, X^" + Yv" + Z=" = 0,

car la première devient identique et les deux suivantes se réduisent aux

équations (4^*) quand on remplace X, Y', Z par leurs valeurs (18).

Dérivons les deux premières de ces équations en tenant compte de la troisième. Il vient

(20) XX'4-YY' + ZZ'=0, a?'X' + y'Y'+^'Z' = 0.

Ces deux équations expriment qu'une droite qui a pour coefficient de direction X'Y' et Z' est perpendiculaire à la binormale et à la tangente. Ces coefficients de direction sont donc ceux de la normale principale et l'on peut poser

j^ = -X! = Jl== + VX'^ + Y'^ 4- Z"'

Ce dernier radical a la même valeur absolue que s' : T, en vertu de l'équation (19). Tandis que nous avons considéré R comme essentiellement positif, nous conviendrons de donner un signe à T. Nous choisirons ce signe de manière que s' : T ait le même .«igné que les rapports égaux qui précèdent, c'est-à-dire de manière à pouvoir poser le système de formules

Ces formules déterminent T en grandeur et en signe. Mais il convient

d'obtonir la valeur de T en fonction des dérivées des coordonnées du

point M. On tire des égalités précédentes par les propriétés des rapports

égaux :

s' XX' + P-Y'+vZ' .,.,,,. , ^„, -T^ X'^ + ix^+v^ = XX + îA + vZ .

Remplaçons X, ;j., v par leurs valeurs tirées des équations (17) et tenons compte de l'équation (20) x'X' +y'Y' + z'Z' = 0 ; il restera

Mais, en dérivant la relation x"X -\- 9/"Y -\- z"Z ^^ 0, on trouve

Substituons cette valeur et remplaçons encore X, Y et Z par leurs expressions (18) où le radical a le signe de s', il vient

J R Ax"' + Bi/"' + Cz'"

T ~ 5'3 Ya^ 4- B2 + C2

Remplaçons R par sa valeur s'^ : \/a- + B- + C- (n" 274) où le radical a le même signe que dans la formule précédente et posons, en abrégé,

(22) D=Ax"'-^-B7/"'-\-Cz"'^\x' y' z'

On aura finalement

Cette formule détermine T en grandeur et en signe. On voit que T s'exprime rationnellement en fonction des coordonnées du point M, ce qui n'avait pas lieu pour le rayon de courbure. Le signe de la torsion est, de plus, indépendant du sens dans lequel on compte les arcs, car cette formule ne dépend pas de .<;'.

283. Interprétation géométrique du signe de la torsion. — Les deux signes dont la torsion est susceptible correspondent aux deux sens dillé-

rents dans lesquels le plan osculateur peut tourner autour de la tangente lorsque le point M se déplace sur la courbe dans un sens déterminé.

SoientOXYZles axes coordonnés etMTNBle trièdre principal (n°278). Par un déplacement continu des axes, on pourra amener OX en coïncidence avec MT et faire en sorte que MN tombe entre OY et OZ. Alors, comme les deux trièdres sont de même rotation, MB tombera entre OZ et le pi'olongement de OY comme l'indique la lîg. 9.

La relation (21)

T ~ vs'

Fiff. 9.

subsiste pendant ce déplacement et l'on en conclut que ses deux membres sont invariables, car le premier a une valeur absolue fixe et le second ne peut changer brusquement de valeur.

Les axes étant dans leur nouvelle position, soient 'f l'angle ZOB et ^ l'angle ZON. Ces deux angles sont complémentaires ; on a donc

V =^ cos'l', Z = cos©, Z' = — cp' sincp = — 'i' cos'i',

et il vient

Donc c5 et s varient en sens contraire si T est positif, et dans le même sens si T est négatif.

Supposons que le point M se déplace dans la direction de la tangente MT, c'est-à-dire dans celle des arcs croissants. Si T est positif, v diminue, donc MB tourne vers MZ et, par suite, vers MN (fîg. 9). L'inverse a lieu, si T est négatif. De là cette conclusion :

Lorsque le point M se déplace sur la courbe dans le sens des arcs croissants, la rotation de la hinormale autour de la tangente se fait du côté de la normale principale si T est positif et du côté opposé si T est négatif.

Cette règle s'applique, quel que soit le sens de rotation du trièdre OXYZ. Supposons maintenant ce trièdre donné comme d'habitude. Alors, pour un observateur qui se tient debout sur le plan YZ du côté de OX, la rotation de OZ vers OY se fait dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Dans ce cas, la règle précédente pourra se transformer dans la suivante :

Un observateur ifumobile qui voit venir à lui le point M, verra tourner le plan osculateur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre si T est positif et dans le sens de ces aiguilles si T est négatif.

On dit que l'allure de la courbe est dextrorsicm dans le premier cas (T positif) et sinistrorsum dans le second [T négatif).

Cette distinction est évidemnnent indépendante du sens dans lequel se fait le mouvement. En effet, si ce sens vient à changer, le sens de la rotation est renversé, mais, comme la position de l'observateur est renversée en même temps, les apparences restent les mêmes.

284. Formules de Frenet. — Les formules de Frenet jouent un rôle important dans la théorie des courbes gauches. Elles ont pour objet d'exprimer les différentielles des cosinus directeurs des directions principales en fonction de ces cosinus eux-mêmes, de la courbure et de la torsion.

Nous connaissons déjà deux de ces systèmes de formules (n"^ 277 et 282) :

,__, dX dY dZ ds

Nous allons établir le troisième qui donne dl, d\t. et c/v. A cet effet, observons que a, X et X sont les cosinus des angles faits par OX avec trois droites lectangulaires; on a donc

En différentiant cette relation, on en tire, eu égard aux valeurs de doL et rfX tirées des systèmes précédents,

XrfX = — ac^a XrfX - — Ids (-^ 4- ^\

ce qui fournit la valeur de c?X. Les différentielles d\t. et r/v s'obtiennent de même. Le troisième système de formules sera donc le suivant :

285. Expressions des dérivées successives des coordonnées par rapport à l'arc. — Prenant l'arc s comme variable indépendante. On a d'abord, par les formules de Frenet,

X ,„ X' XR' / a , . R' X

Si l'on continue à dériver de proche en proche, en remplaçant chaque fois les dérivées de a, X, X par leurs valeurs tirées des formules de Frenet, on trouvera un résultat de la forme suivante

.r(" = aP, + XP, 4- XP3,

où Pj, Po et P3 sont des fonctions rationnelles de R, T et de leurs déri-

vées successives. Ces mêmes fonctions s'introduisent dans les valeurs de y*' et de z ">, de sorte que l'on aura

yW=,3P, aP, +YP3,

-« =yP^ + vP, +ZP3.

En particulier pour les trois premiers ordres, les valeurs de P^ P^ et P3 se trouvent dans les expressions de x' , x" et x'" écrites ci-dessus.

Pour faire une application de ces formules, plaçons l'origine des coordonnées à l'origine des arcs, prenons les axes coordonnés suivant les directions principales, OX suivant la tangente. OY suivant la normale principale, OZ suivant la binormale au point 0, et proposons nous de développer x,p eiz suivant les puissances de s par la formule de Maclaurin. On aura, au point 0, a^ = [j^q = Zg = 1 et les autres cosinus seront nuls.

Nous nous bornerons à calculer les trois premiers termes de la formule de Maclaurin. Le développement de 0: est le suivant :

(/ ni

X = XoS + —S' -\ —s^ + -

et ceux de i/ et c sont analogues. On a, dans le cas actuel,

"'-Jl

I ri /( 1 Mf R

^:=-0, 4=0, On trouvera donc