Même question pour la courbe

y =. x^ : Sa", z = a"^ : 2x.

R. On a, en choisissant convenablement le sens des arcs,

ds 2x* -\- adx 2a^x'

Ensuite [t désignant l'unité du même signe que x)

tt ^ P ^ Y ^ L ; j^=— MP+ï), f^=ea, ' = tOL;

2a^x^ 2x* a* 2x^ + a^' (X=— sa, Y=— sy, Z=— £.3.

T = — eR - —

:^ Hélice circulaire. — Cette courbe est déci'ite par un point M qui se meut uniformément sur une droite, laquelle tourne elle-même d'un mouvement uniforme autour d'un axe. L'hélice est donc tracée sur un cylindre de révolution. Soient r le rayon de la section droite du cylindre et k une constante. Si l'on prend l'axe du cylindre pour axe des z et si l'on fait passer l'axe des y par un point de la courbe, les équations de l'hélice seront :

X = r sin t, y ^ '' cos t, z = kt.

Nous compterons les arcs dans le sens où t croit, de sorte que nous aurons, /* désignant une constante positive,

s' = Sjr'^'-Çk^ = h.

On a ensuite

\ ky kx r* hr

Donc, 1*^ les rayons de courbure et de torsion sont constants ; 2° la normale principale à l'hélice est en même temps normale au cylindre ; 3° la binormale fait un angle constant avec OZ ; 4*^ la torsion a le signe de A'. Si les axes sont donnés comme d'habitude (n° 283), les spires, vues de l'extérieur du cylindre supposé vertical, paraissent monter de gauche à droite si /; est positif fdextrorsum"! et de droite à gauche si k est négatif (sinistrorsumi.

Les coordonnées du centre de courbure Mj sont :

k\^ fk

Donc le lieu du centre de courbure est une nouvelle hélice. Le centre de courbure au point ^fj de cette nouvelle hélice est au point M. Les deux hélices décrites par M et M] sont réciproques au point de vue de la courbure : chacune d'elles est le lieu des centres de courbure de l'autre. Cette propriété est un cas particulier d'un théorème plus général (Exercice 6).

4. Hélice quelconque. — Une droite AB qui reste parallèle à OZ et dont le point A décrit une courbe PQ dans le plan XY engendre une surface cylindrique. Supposons que le point M se déplace avec une vitesse constante sur la droite AB, pendant que le point A se déplace avec une vitesse constante sur la courbe PQ ; le point M décrit sur la surface du cylindre une courbe que l'on appelle une hélice. Soit - l'arc de la courbe PQ (section droite du cylindre). Les équations de l'hélice seront de la forme [k constant)

^ = r(^). y = 'H4, z.=^kz.

En déduire les propriétés suivantes : 1° L'arc s de l'hélice est proportionnel à celui - de la section droite. 2° La tangente à l'hélice fait un angle cou.- tant avec la génératrice du cylindre. 3° La normale principale à l'hélice est norniale au cylindre. 4° Les rayons de courbure de l'hélice et de la section droite sont proportionnels. 5" Les rayons de courbure et de torsion de l'hélice sont dans un rapport constant.

Montrer que, réciproquement : 1° toute courbe dont les tangentes font un angle constant avec une direction fixe ; 2*" toute courbe dunt les normales principales sont perpendiculaires à une direction fixe ; 3° toute courbe dont les rayons de courbure et de torsion sont dans un rapport constant, est une hélice.

5. Calculer les dérivées des coordonnées ./;,, y,, ^j du centre de courbure Mi d'une courbe gauche et celle de l'arc s^ décrit par ce point.

R. On dérive les relations a*, — x =^ RÀ,... et l'on tient compte des formules de Frenet. On trouve

y;===aR'-Y^.', d'où .f = R'V^,/.

6. Courbes à courbure constante. — Le lieu du centre de courbure Ml d'une courbe gauche à courbure constante jouit de propriétés remarquables. On tire, dans ce cas, des équations de l'exercice précédent

En affectant de l'indice 1 les quantités qui se rapportent au lieu du point Mj, il vient

Donc la tangente au point M, est parallèle à la binormale au point M, On a ensuite les trois relations :

On en tire d'abord

«r+^r+r; =X'>y'-+z'-, d'où ^Y=T' et R,-R;

ensuite, au moyen des formules de Frenet,

On eu conclut que le point M est le centre de courbure au point M] de la courbe décrite par ce centre de courbure. Donc les deux courbes considérées, la courbe génératrice et la courbe décrite par son centre de courbure, sont réciproquement les lieux des centres de courbure l'une de l'autre.

7. Courbes sphériques. — On appelle ainsi les courbes tracées sur une sphère. L'origine étant au centre, on a

/p2 | yt j j2 = p« = const.

En dérivant par rapport à 5 et en se servant des formules de Frenet, on en déduit, de proche en proche,

«^ + Py + ï^ = 0, >.,-+jxy-fv^ = R, Xa--i-Yy + Z^ = — R'T d'où

a, = ÀR XTR', y- — uR — YTR', .- = — vR — ZTR'.

Soit 0 l'angle de la normale principale en M avec la normale inté-

rieure à la sphère, on conclut, sans peine, des formules précédentes : 1° que l'on a, les dérivées étant toujours prises par rapport à l'arc,

R = pcose, l:T=i:Ô', R2 + (TR')2 = p2 ;

2° que toute courbe sphérique à courbure constante est plane et qu'elle doit être, par conséquent, un cercle de la splière.

8. Soit s = MM' un arc infiniment petit d'une courbe gauche. Démontrer que la distance o du point M' au plan osculateur en M, la plus courte distance o' des tangentes en M et en M', la différence £ entre l'arc s et sa corde, ont respectivement pour expressions aux inliniment petits près du 4* ordre,