CHAPITRE IX

Calcul des aires, des arcs et des volumes. Evaluation approchée des intégrales définies.

î^ 1. Quadrature des aires planes.

286. Quadrature des aires planes (coordonnées cartésiennes). — Soit f{x) une fonction continue dans l'intervalle {a, b) {a < b). Considérons la courbe plane qui a pour équation

// = f{^), par rapport à deux axes OX et OY se coupant sous un angle )>. Proposons-nous d'évaluer l'aire comprise entre la courbe, l'axe des x et les deux droites x ^ a ei x ^ b.

Nous supposerons, pour commencer, que f{x) soit constamment positif dans l'intervalle [n, b). Alors le problème à résoudre est celui ([ue nous avons déjà examiné au n° 201, mais en axes rectangulaires. La solution est analogue pour des axes quelconques. Décomposons l'aire en segments par des parallèles à l'axe des y d'abscisses successives Xi = a, o-'a, ^3... Xi,... Xn+i ^ b ei soient, en général, M? et nh les limites supérieure et inférieure de f{x) dans l'intervalle {xi, Xij^i) d'amplitude o/. L'aire du segment de base 0, est intermédiaire entre celles des deux parallélogrammes de même base 0,, l'un inscrit dans le segment et l'autre circonscrit. Ces i)arallèlogrammes ont respectivement pour mesures w/o/ sin ). et .ALo, .^^in).. L'aire S à évaluer sera comprise entre les deux sonnnes :

Il H

sin A i^ w,o, et sin ). ï M/o;.

Elle a donc pour valeur la limite conmiune de ces deux sommes quand tous les 0, tcmdent vers zéro. 11 vient ainsi, par définition de l'intégrale définie,

(1) S =- sin A j f{x)dx

Si l'on suppose maintenant que f{x) soit constamment négatif dans l'intervalle {a, b), le raisonnement précédent subsiste, sauf que toutes les mesures considérées sont négatives et la formule (1) donne pour S une valeur négative. Les aires calculées par cette formule sont donc positives quand la courbe est située au dessus de l'axe des x et négatives quand la courbe est située en dessous.

Enfin, si la courbe traverse une ou plusieurs fois l'axe OX, la formule fournit seulement la différence entre les aires situées de part et d'autre de cet axe. Dans ce cas, si l'on veut calculer l'aire totale, il faut donc évaluer séparément les aires positives et négatives et faire la somme de leurs valeurs absolues.

Lorsque les axes sont rectangulaires, sin a = 1. La formule se simplifie et prend la forme la plus habituelle

rb rb

(2) S = f{x) dx^ \ y dx,

ja Ja

287. Les formules précédentes permettent d'évaluer l'aire comprise entre deux courbes. Supposons que ces courbes aient pour équations

et que l'on ait constamment fi{x) < f^ix). L'aire S comprise entre les deux courbes et les deux ûro'ûes x^a et x = b, sera la différence algébrique entre les deux aires Sg et Si comprises entre ces deux droites et l'axe des i\ mais limitées respectivement à chacune des deux courbes. On a donc S ^ Sg — Sj. Si les axes sont rectangulaires, la formule (2) s'applique au calcul de Sg et de S, et il vient

(3) S= Ç[fjx)-n{x)]dx.

Si les axes sont obliques, l'intégrale précédente doit être multipliée par sin a.

La formule (3) s'emploie pour calculer l'aire d'une courbe fermée, qui n'est rencontrée qu'en deux points par une parallèle à l'axe des y. Dans ce cas, l'équation de la courbe fournit pour y les deux valeurs \\{x) et \\[x) que l'on doit substituer dans la formule et l'on prend pour a et 6 les valeurs extrêmes de x sur la courbe.

288. Applications coordonnées cartésiennes) . — I Parabole. Lapara-

bole, rapportée à un diamètre OX et à la tangente à l'extrémité de ce diamètre, a pour équation y- =--- '^px, d'où

ax)=\/^\/x.

L'aire comprise, au dessus de l'axe OX, entre cet axe, la courbe et la corde d'abscisse x, sera donc

s = y'ip sin X \x dx = y'ip sin a ~x '^ = '^xy sin a.

Cette aire vaut donc les deux tiers du p^irallélogramme construit sur les deux côtés rectilignes x et y de l'aire considérée. La relation analogue existe entre les aires correspondantes situées en dessous de l'axe OX. Donc le segment détaché de la parabole par une corde quelconque est égal aux deux tiers du parallélogramme construit sur sa corde et sur sa flèche (portion du diamètre conjugué intérieure au segment).

11. Cercle. L'équation d'un cercle en coordonnées rectangulaires est

Le segment situé au dessus du diamètre OX entre les cordes x = 0 eix = x, a donc pour valeur

S = dx\/ a-i — x^= ^V ^^ — ^* + "ûT ^^"^ ^*" '

ainsi (ju'il résulte de la valeur de l'intégrale indétinie, calculée au n° 165.

Si X = a, on obtient l'aire du quart de cercle iza- ; 4. Donc l'aire du cei'cle entier est r.a^.

III Ellipse. L'ellipse étant rapportée à ses axes, son équation se

ramène à la forme

Le segment situé au dessus de l'axe OX entre les cordes a; -= 0 et X =- X, s'obtient en multipliant par b : a l'aire que nous venons d'obtenir pour le cercle. Donc l'aire de l'ellipse entière sera TMb.

IV Hyperbole. L'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes est de

la forme

L'aire S comprise (fig. 40) entre l'arc de courbe AM, l'axe horizontal OX et la verticale MP d'abscisse x{x > a) a pour valeur

dx \Jx^

Calculons d'abord l'intégrale indéfinie. Une intégration par parties donne

1 dx \Jx- — a- = X \Jx- — a- — y