X- dx

Si l'on remplace x-dx par {x- — a^) dx + a'^dx, la dernière intégrale se décompose en deux autres dont celle du premier membre. On en conclut

dx

<ijdx\x' — a- = X \Ix' - a- — a- J y|f^^ dxS/c^^'^^^^ = |V^' — a^— -ï- Log [x + \/x'~ — «-)•

De là résulte facilement la valeur de S

ab

x\x' — (â ^Log

et. en se servant de l'équation de la courbe,

XII ab ,

i! \ .ncr

Le premier terme de S mesure l'aire du triangle OPM (fig. 10). Donc le second terme, pris en valeur absolue, mesure l'aire du secteur OAM (secteur hyperbolique).

Si fhyperbole est rapportée à ses asymptotes, son équation est xy = k^. L'aire comprise entre la courbe, l'asymptote OX et deux parallèles à l'autre asymptote d'abscisses Xo et x, a pour mesure (A étant l'angle des asymptotes)

I — dx = k" sin a Log —

C'est cette propriété dos logarithmes népériens qui leur a fait donner le nom de logarithmes hyperboliques.

On remarquera que l'aire S augmente indéfiniment quand x tend vers l'infini ou quand Xo tend vers 0. La portion du plan comprise entre une branche de la courbe et ses asymptotes a donc une aire illimitée.

IV Cycloïde. Si l'on prend pour variable d'intégration l'angle t (n" 240), on aura

ydx = a" (1 — cos t)'- dt.

L'aire S de la cycloïde, comptée depuis l'origine oh t = 0 jusqu'à l'ordonnée qui répond à l'angle t, aura pour mesure

o . r^A MO j, of^t . , , sinfcosfA S = a" (1 — cos ty dt=^ a" {-^ smt-] ^ 1

Retranchons cette aire OMP (fig. 11) de celle du rectangle OPFG qui a pour valeur 2ax = 2a- {t — sin 0, le reste, c'est-à-dire l'aire OMFG sera égale à