TV
sin t cos t
ce qui est précisément l'aire du segment ^^' ^^' AMQ déterminé, dans le cercle générateur,
par la perpendiculaire MQ sur le diamètre AB. On a donc surf. OMFG = surf. AMQ.
A l'extrémité de l'arcade, / = 2?: et S = 3~a-. Donc l'aire totale entre une arcade de cycloïde et sa base est triple de l'aire du cercle générateur.
289. Quadrature des secteurs (coordonnées polaires). — Considérons une courbe plane ayant pour équation en coordonnées polaires
r = /(O), et supposons que /(O) soit une fonction continue de 0 entre Oj et H (« > e,).
Proposons-nous d'évaluer l'aire du secteur compris entre un arc de la courbe et les deux rayons vecteurs d'inclinaisons 0, et H. Pour cela, nous décomposerons cette aire en secteurs élémentaires par des rayons vecteurs intermédiaires d'inclinaisons successives 62.... 6/,..., 0„ et soit 0„^i = (-). L'aire d'un secteur quelconque, limité par deux rayons consécutifs d'inclinaisons ô, et O/4., , est comprise entre celles des deux secteurs circulaires de même ouverture (0,.^, — b,) mais ayant respectivement pour rayons le minimum ;«, et le maximum M< de A^) dans l'intervalle (6<, O/41). Ces deux secteurs circulaires ont
respectivement pour mesures ^wi (Oj-j , — 0,) et ^M^tOi+i— G,). Donc le secteur entier de la courbe sera compris entre les deux sommes :
yi m= (0,^,-0,), iï Mï(ee+. -0,).
Si l'on multiplie indéfiniment le nombre des secteurs élémentaires, de manière à faire tendre vers zéro toutes leurs ouvertures (6j+i — 0,), ces deux sommes tendent vers une limite commune qui sera la valeur de S. Cette limite est une intégrale définie ; on a donc
(4) S = y m'd^ = ^ r-^rn.
Remarque L On peut appliquer la formule (4) à des courbes qui décrivent plusieurs spires autour du pôle. Dans ce cas, l'intervalle d'intégration peut croître au delà de quatre angles droits et la formule représente l'aire totale balayée par le rayon vecteur quand il tourne dans le même sens de 9 à 0. Donc, quand le rayon tourne de plus d'un tour, les aires décrites se recouvrent l'une l'autre.
Remarque II. On peut transformer la formule (4) de manière à la rendre immédiatement applicable au cas des coordonnées cartésiennes. On a, en effet,
.i' = rcosO, i/ = rsin8,
d'où
xdy — ydœ = r*d9
Supposons que x et y soient exprimés en fonction d'une variable t qui varie de t^ à /^ quand le point {x, y) décrit l'arc qui limite le secteur. En prenant t comme variable la formule (4) se transformera dans la suivante :
290. Applications ^Coordonnées polaires). — I. Spirale d'Archimède: r = a^. L'aire S depuis l'origine jusqu'au rayon vecteur r a pour mesure
-ir--fi>'
dH
Si l'on fait 0 = 2-, on obtient l'aire entourée par la première spire,
savoir r- T.^a'^.
II. Spirale logarithmique : r ^ ae . Cette courbe décrit une infinité de spires autour de l'origine. Cherchons l'aire du secteur S com-
pris entre un arc de la courbe et les deux rayons vecteurs r, et R d'inclinaisons Qj et (-J. On aura
2 jjj 4w ^ ' 4m I
Si l'on fait tendre &, vers — oo, ?'i tend vers zéro et S vers R'^ : 4m. 1
On obtient ainsi la limite de la somme des aires entourées par un ■
nombre illimité de spires qui se rapprochent iiidétiniment du pôle.
III. Lemniscate : r^ = a- cos 2 0. Cette courbe se compose de deux feuilles symétriques. L'aire du secteur compris entre l'axe polaire et le rayon d'inclinaison h sera
^cos29rfe-=4^sin20.
Si l'on fait 8 = -rt : 4, on obtient l'aire a'^ : 4 d'une demi-feuille. L'aire totale de la courbe est a-.
291. Aire limitée par une courbe fermée. Notion des intégrales curvilignes. — On appelle contour fermé simple un contour fermé qui ne se coupe pas lui-même. Un tel contour enferme une aire que l'on peut se proposer d'évaluer.
Nous savons déjà calculer cette aire lorsque le contour se réduit au quadrilatère curviligne envisagé au n^^ST. Ce contour se compose de deux parallèles à l'axe des y d'abscisses a et è et de deux courbes AiBi et AgBo qui ferment le quadrilatère, et qui ont pour équations dans l'intervalle {a, b)
L'aire intérieure au contour a, dans ce cas, pour valeur (ii» 287)
ri, 4}
(6) S =- I y^dx- — Ly^iLi.
Ces deux intégrales ont la même forme ydx et, pour achever de les déterminer, il suffit de faire connaître les arcs A,,B., et AiB, que parcourt le point {x, y) pendant l'intégration et le sens dans lequel se ftiit le parcours. Nous dirons donc que ces deux intégrales sont des intégrales curvilignes (') et nous les représenterons par les notations
ydj.\ 1 ydx.
AoHî . A,B,
(1) Les intégrales curvilignes sont présentées ici au point de vue le plus élémentaire. Leur définition générale sera donnée au § 3.
Cette notation désigne l'arc par ses extrémités ; on écrit d'abord le point de départ, ce qui fait connaître le sens du parcours. Renverser ce sens revient à intervertir les limites a et & dans les intégrales et, par conséquent, à changer leur signe. L'équation (6) peut donc s'écrire maintenant
(7) S = I ydx — ydoc = | ydx + ydx.
J AoB.,; J AiBi; J .AoBo J BiAi
Un contour fermé peut être parcouru dans deux sens différents. On appelle sens direct celui qui laisse à gauche l'intérieur de l'aire. L'autre est le sens rétrograde. Donc, dans les dernières intégrales, les arcs A.Bg et B,Â, sont parcourus dans le sens rétrograde.
Considérons maintenant un contour simple C, formé d'un nombre limité d'arcs successifs sur chacun desquels x varie toujours dans le même sens quand on décrit le contour. Ce cas est évidemment très général. Appelons intégrale effectuée sur le contour et désignons par
I ydx
JiC)
la somme des intégrales curvilignes effectuées successivement dans le sens direct sur chacun des arcs successifs qui composent Ij contour. Je dis que l'aire S intérieure au contour aura pour mesure
(8) S = — ( ydx
En effet, en menant des parallèles à l'axe des y, on peut décomposer l'aire S en morceaux, dont les frontières respectives n'empruntent que deux arcs distincts du contour C et qu'on peut, par conséquent, évaluer par la formule (7). L'aire de chaque morceau se mesure par la somme des intégrales effectuées dans le sens rétrograde sur les deux portions du contour C qui lui servent de frontières. Faisons la somme de ces aires ; nous obtiendrons l'intégrale effectuée dans le sens rétrograde sur tout le contour, c'est-à-dire la formule (8).
liemarque J. liC contour C peut aussi comprendre des portions de droites. 11 n'y a de remarque à faire que pour celles qui seraient parallèles à l'axe des y. Dans ce cas, comme elles n'interviennent pas dans l'évaluation des morceaux, elles ne doivent pas intervenir non plus dans l'évaluation de l'aire totale. (iCpendant, si l'on attribue la valeur 0 à l'intégrale effectuée sur ces lignes (ce qui est naturel, X étant constant et dx nul), on peut étendre l'intégration à tout le contour et considérer la formule (8) comme générale.
Remarque IL La formule (8) sera d'une application immédiate si X et y sont exprimés en fonctions continues d'une variable auxiliaire t et admettent des dérivées continues par rapport à t. Supposons, en effet, que le point [x, y) décrive tout le contour G dans le sens rétrograde quand t varie de ti à T. Prenons t comme variable ; l'aire S intérieure au contour C s'évaluera par la formule
(9) S^£\/^df.
dt
Remarque III. Nous avons établi la formule (8) en considérant y comme fonction de x. On peut établir une formule analogue en considérant X comme fonction de y. Mais il faut supposer des conditions correspondantes. Cette formule sera
(10) S = f xdy,
car le contour doit être parcouru dans le sens direct pour que l'intégrale soit positive.
La combinaison des formules (8) et (10) donne encore une formule, souvent employée,
S^^^j^xdy-^j^ydx, que l'on écrit plus simplement
(11) ii = ^^j^ixdy - ydx).
Ces nouvelles formules s'appliquent avantageusement comme la formule (8), au cas où la courbe est donnée par une représentation paramétrique. (^)
292. Application. — Une corde de longueur constante c -\- c' se meut d^un mouvenuînt continu en appuyant ses extrémités sur une courbe fermée donnée C. Uaire coinprise entre la courbe et le lieu du point M qui partage la corde en deux segments c et c',« ji^ur mestcre ~cc\ quelle qu£ soit la courbe donnée.
Désignons par K la courbe décrite par M et supposons que cette courbe forme un contour simple. Soient (a^,, J/,) et [x^, y.) les coordonnées variables des extrémités de la corde ; celles du point M seront
f A-, -\r c'x^ c.Vi + c'y 2
C; Les démonstrations les plus générales des formules (8). (lO) et (il) seront données au § 3.
Imaginons que les coordonnées soient exprimées en fonction d'un paramètre t qui varie de ^j à T quand les extrémités de la corde décrivent la courbe C. Prenons t comme variable. Les aires S et I] intérieures aux courbes 0 et K pourront s'évaluer par les intégrales :
où l'on suppose les x et les y exprimés en fonction de t. On en déduit par soustraction
ce' n ^ — - = ^c ^ c')2 1^ ^y-^ — i/i) (^^-^2 - ^^^i) •
Menons à partir de l'origine une droite égale et parallèle à la corde. Les coordonnées de l'extrémité seront r, = y.^ — ^^ et ; -— o^g — x^. Or cette extrémité décrit un cercle de rayon (c + c'). L'intégrale qui figure dans In dernière équation n'est autre chose que l'intégrale de t,c/; effectuée sur ce cercle. Donc elle mesure l'aire du cercle et sa valeur est - (c + c')-. Il vient donc
S — S = -cc'.
Si les courbes C et K ne se coupent pas, le théorème est donc démontré. Si elles se coupent, il reste vrai, à condition d'attribuer des signes contraires aux aires situées de part et d'autre de la courbe C. Mais le théorème tomberait en défaut si le lieu du point M ne constituait pas un contour simple. Le théorème suppose encore les courbes C et K soumises aux conditions que nous avons indiquées au n° précédent pour que les foi'mules soient légitimes.
Exercices.
